數(shù)學(xué)教材梳理古典概型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、基本事件的概念和概率在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件.如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能基本事件的概率為。一次試驗(yàn)中，只可能出現(xiàn)一種結(jié)果,即產(chǎn)生一個(gè)基本事件,任何兩個(gè)基本事件是互斥的（不可能同時(shí)發(fā)生的），如擲骰子試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)只能出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)數(shù)，任何兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不可能在一次試驗(yàn)中同時(shí)發(fā)生.且任何隨機(jī)事件都可以表示成基本事件的和(至少有一個(gè)發(fā)生）,在擲骰子試驗(yàn)中，隨機(jī)事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"由基本事件出現(xiàn)“2點(diǎn)”“4點(diǎn)”“6點(diǎn)”共同組成.誤區(qū)警示在計(jì)算基本事件的概率時(shí)要明確基本事件與基本事件的總數(shù)之間的關(guān)系，如擲骰子的試驗(yàn)中,P（“1點(diǎn)")=P（“2點(diǎn)”)=…=P（“6點(diǎn)”)=。而如果將事件看成是偶數(shù)點(diǎn)或奇數(shù)點(diǎn),則事件的總數(shù)就不再是6而是2,P(偶數(shù)點(diǎn)）=P（奇數(shù)點(diǎn))=.二、古典概型的特點(diǎn)我們將滿足下述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型。（1）所有的基本事件只有有限個(gè)；(2）每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的;一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性.誤區(qū)警示并不是所有的試驗(yàn)都符合古典概型.例如，在適宜的條件下“種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件只有兩個(gè):發(fā)芽、不發(fā)芽。而“發(fā)芽”或“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)一般是不均等的。又如,從規(guī)格直徑為300mm±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測(cè)量其直徑d，測(cè)量值可能是從299.4mm到300。6mm之間的任何一個(gè)值,所有可能的結(jié)果有無限多個(gè)，這兩個(gè)試驗(yàn)都不屬于古典概型。只具有有限性的不是古典概型，只具有等可能性的也不是古典概型，生活中還有許多這樣的例子.三、古典概型的概率公式如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，某個(gè)事件A包含了其中為m個(gè)等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為，即在古典概型中,P(A）=。這個(gè)公式只適應(yīng)于計(jì)算古典概率，而古典概型中的“等可能性”的判斷是很重要的，如先后拋擲兩枚硬幣,求“一枚出現(xiàn)正面，另一枚出現(xiàn)反面”的概率.因?yàn)橄群髵仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可出現(xiàn)“正，正”“正,反"“反，正”“反，反”這4種等可能的結(jié)果,而“一枚出現(xiàn)正面，另一枚出現(xiàn)反面”這一事件包括“正，反”“反，正”兩種結(jié)果，因此“一枚出現(xiàn)正面，另一枚出現(xiàn)反面”的概率是P==，但答本題時(shí)，有時(shí)錯(cuò)誤地認(rèn)為先后拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，只會(huì)出現(xiàn)“2個(gè)正面”、“2個(gè)反面”、“1正1反”這3種情況，從而得到P=的結(jié)論，實(shí)際上上述3種情況不是等可能的。深化升華在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的n個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合I，這n個(gè)結(jié)果就是集合I的n個(gè)元素，各基本事件均對(duì)應(yīng)于集合I的含有1個(gè)元素的子集，包含m個(gè)結(jié)果的事件A對(duì)應(yīng)于I的含有m個(gè)元素的子集A.因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個(gè)數(shù)〔記作：card（A)〕與集合I元素個(gè)數(shù)〔記作：card(I）〕的比值即P（A）=。方法歸納用這個(gè)式子計(jì)算概率時(shí),關(guān)鍵是求出m、n,其中n為一次試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，m為某個(gè)事件所包含的結(jié)果數(shù).求n時(shí)應(yīng)注意這n種結(jié)果必須是等可能的，且要注意這m個(gè)結(jié)果一定是這n個(gè)結(jié)果的一部分。四、求等可能性事件的概率的步驟首先反復(fù)閱讀題目，收集整理題目中各種信息；其次判斷本試驗(yàn)是否是等可能的，利用列舉法等知識(shí)計(jì)算本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；然后指出事件A是什么，它包含多少個(gè)基本事件；最后利用古典概型的計(jì)算公式計(jì)算事件A的概率。典題·熱題知識(shí)點(diǎn)古典概型的概率計(jì)算例1兩個(gè)完全相同的均勻的正方體玩具，各個(gè)面上分別刻有1,2,3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，將這兩個(gè)玩具同時(shí)擲一次。兩個(gè)玩具的數(shù)字之和共有多少種不同的結(jié)果？其中數(shù)字之和為12的有多少種情況?數(shù)字之和為6的共有多少種情況？分別計(jì)算這兩種情況的概率。思路分析：擲骰子有36個(gè)基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型.可利用圖表法求解基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件數(shù)。解：兩個(gè)玩具同時(shí)擲的結(jié)果可能出現(xiàn)的情況如下表：第一枚數(shù)字和123456723456783456789456789105678910116789101112第二枚123456其中共有36種不同情況，但數(shù)字之和卻只有2,3,4，5，6,7,8,9,10,11,12共11種不同結(jié)果，從中可以看出，出現(xiàn)2的只有1種情況，而出現(xiàn)12的也只有1種情況，它們的概率均為,因?yàn)橹挥屑?、乙均?或均為6時(shí)才有結(jié)果。出現(xiàn)數(shù)字之和為6的共有(1,5），（2，4）,(3,3）,（4,2）,（5,1)5種情況，所以其概率為。誤區(qū)警示數(shù)字之和實(shí)際上只有2,3，4,5，6，7，8,9,10，11，12共11種不同結(jié)果，但它們出現(xiàn)的可能性卻不相等,會(huì)出現(xiàn)“兩端小，中間大”的情況，所以并不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為n=11,直接利用古典概型的計(jì)算公式.例2在箱子中裝有十張卡片,分別寫有1到10的十個(gè)整數(shù)，從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數(shù)x,然后再放回箱子中；第二次再從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數(shù)y，試求x+y是10的倍數(shù)概率.思路分析：可用逐一列舉的方法求古典概型基本事件個(gè)數(shù).解：先后兩次抽取卡片時(shí)，每次都有10種結(jié)果，故有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y)共有10×10=100個(gè).x+y是10的倍數(shù)，它包含下列數(shù)對(duì)：(1，9)，（2,8),(3，7)，(4，6),(5,5),(6，4），(7，3），(8，2），（9,1),（10,10)共10個(gè).故x+y是10的倍數(shù)概率P（A）=。誤區(qū)警示利用古典概型的計(jì)算公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：（1）所有的基本事件必須是互斥的；（2）m為事件A所包含的基本事件數(shù),求m值時(shí),要做到不重不漏。問題·探究思想方法探究問題運(yùn)用古典概型來求解概率問題，可以構(gòu)建不同的古典概型嗎？探究過程：可以從不同的角度來構(gòu)建古典概型，求解古典概型概率問題,關(guān)鍵是把什么看作是一個(gè)基本事件（即一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果）,一般說來，在建概率模型時(shí)，把什么看作是一個(gè)基本事件(即一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果)是人為規(guī)定的，我們只要求：每次試驗(yàn)有一個(gè)且只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)，例如：擲一粒均勻的骰子時(shí)，根據(jù)問題的需要，可以認(rèn)為有6個(gè)結(jié)果（向上的點(diǎn)數(shù)是1，向上的點(diǎn)數(shù)是2,…，向上的點(diǎn)數(shù)是6),