專題223相似三角形的判定與性質(zhì)（一）（舉一反三）（滬科版）（原卷版）

專題22.3相似三角形的判定與性質(zhì)（一）【八大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求面積】 2【題型2添加條件使兩三角形相似】 3【題型3根據(jù)圖形數(shù)據(jù)判斷兩三角形相似】 4【題型4坐標(biāo)系中確定坐標(biāo)使兩三角形相似】 5【題型5確定相似三角形的對(duì)數(shù)】 7【題型6相似三角形的證明】 8【題型7找格點(diǎn)中的相似三角形】 9【題型8由圖形相似求線段長(zhǎng)度】 10【知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的性質(zhì)】①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求面積】【例1】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)校考期中）如圖，△OAB∽△OCD，且OA:OC=6:5,∠A=α,∠B=β,△OAB與△OCD的面積分別是A．OBCD=65 B．αβ=【變式11】（2023春·九年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校﹥蓚€(gè)相似三角形的面積之差為3cm2，周長(zhǎng)比是2：3，那么較小的三角形面積是【變式12】（2023春·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，若ΔABC∽ΔDCE，則ΔDCE的面積是【變式13】（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=33cm，AF=23（1）求DE的長(zhǎng)；（2）求平行四邊形ABCD的面積．【知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．【題型2添加條件使兩三角形相似】【例2】（2023春·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，下列條件中，不能得到△ABP與△ECP相似的是（

A．ABCE=BPCP B．C．∠BAP=∠EPC【變式21】（2023春·北京石景山·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，標(biāo)記了△ABC與△DEF邊、角的一些數(shù)據(jù)，如果再添加一個(gè)條件使△ABC【變式22】（2023春·四川雅安·九年級(jí)雅安中學(xué)?？计谥校└鶕?jù)下列各組條件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（

）A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10【變式23】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)南陽(yáng)市第十三中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，下列四個(gè)條件中：①AC2=AP?AB；②AB?CP=AP?CBA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【題型3根據(jù)圖形數(shù)據(jù)判斷兩三角形相似】【例3】（2023春·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④【變式31】（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△MNP．下列四個(gè)三角形，與△MNP相似的是（A．B． C．D．【變式32】（2023春·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是老師畫出的△ABC，已標(biāo)出三邊的長(zhǎng)度．下面四位同學(xué)畫出的三角形與老師畫出的△ABC不一定相似的是（

A．

B．

C．

D．

【變式33】（2023春·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知圖中有兩組三角形，其邊長(zhǎng)和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，對(duì)于各組中的兩個(gè)三角形而言，下列說(shuō)法正確的是（）A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似【題型4坐標(biāo)系中確定坐標(biāo)使兩三角形相似】【例4】（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（

）

A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【變式41】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A、B、C、D都是格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），動(dòng)點(diǎn)E在線段AC上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是1,1，則當(dāng)△ADE與△ABC相似時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是

【變式42】（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，它與A,C兩點(diǎn)形成的三角形與△ABC相似，則

【變式43】（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+2和x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，在第二象限內(nèi)找一點(diǎn)P，使△PAO和

A．2 B．3 C．4 D．5【題型5確定相似三角形的對(duì)數(shù)】【例5】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，把ΔABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ΔADE，當(dāng)點(diǎn)D剛好落在BC上時(shí)，連結(jié)CE，設(shè)AC,DE，相交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形（不含全等）的對(duì)數(shù)有（A．1 B．2 C．3 D．4【變式51】（2023春·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交AD于G

，AF⊥BE于F

，圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）A．5 B．7 C．8 D．10【變式52】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級(jí)校考期中）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，且∠OAD=∠OCB，延長(zhǎng)AD、CB交于點(diǎn)P，那么圖中的相似三角形的對(duì)數(shù)為．【變式53】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．)4【題型6相似三角形的證明】【例6】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知∠B=∠E(1)求CE的長(zhǎng)；(2)求證：△ABC【變式61】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接DE，BD2=BC·BE.證明：△BCD∽△BDE.

【變式62】（2013·廣西河池·中考真題）請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全坐標(biāo)系及缺失的部分，并在橫線上寫恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容．圖中各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A1，0，B6，0，C1，3，D6，

解：M（，）證明：∵CA⊥AB，∴∠CAM=∠DBM=∵CA=AM=3∴∠ACM=∠AMC（∴∠ACM=12(180°-∴∠ACM在△ACM與△BDM中，∴△ACM【題型7找格點(diǎn)中的相似三角形】【例7】（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則圖中的三角形中與△ABC相似的是（

A．△FBE B．△BED C．△DFE【變式71】（2023春·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是

【變式72】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知△ABC是6×6的網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形，那么該網(wǎng)格中所有與△ABC相似且有一個(gè)公共角的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（

A．1 B．2 C．3 D．4【變式73】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：我們知道，凸四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這個(gè)凸四邊形叫做“自相似四邊形”．如圖，點(diǎn)A、B、C是正方網(wǎng)格中的格點(diǎn)，在網(wǎng)格中確定格點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是“自相似四邊形”，符合條件的格點(diǎn)D的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【題型8由圖形相似求線段長(zhǎng)度】【例8】（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)為O，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上，連接EF，EO，F(xiàn)O，∠EOF

(1)如圖1，若EF垂直平分AO，AB=8，AD=4，則AE的長(zhǎng)為(2)如圖2，若BE=3，F(xiàn)D=1，則EF的長(zhǎng)為【變式81】（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上，∠ADE=60°

A．1 B．43 C．2 D．【變式82】（2023春·四川南充·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交AB于點(diǎn)

(1)如圖1，當(dāng)DE=DA時(shí)，求證：(2)如圖2，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中DEEF(3)如圖3，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連接DF交AC于點(diǎn)G，將△GEF沿EF翻折得到△HEF，連接DH交EF于點(diǎn)