專題135三角形中的八大經(jīng)典模型（舉一反三）（滬科版）

專題13.5三角形中的八大經(jīng)典模型【八大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1A字模型】 1【題型28字模型】 4【題型3雙垂直模型】 8【題型4飛鏢模型】 16【題型5風箏模型】 21【題型6兩內角角平分線模型】 24【題型7兩外角角平分線模型】 30【題型8內外角角平分線模型】 38【知識點1A字模型】【條件】△ADE與△ABC.【結論】∠AED+∠ADE=∠B+C.【證明】根據(jù)三角形內角和可得，∠AED+∠ADE=180°∠A，∠B+C=180°∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.【題型1A字模型】【例1】（2023春·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（

）A．360o B．250o C．180o D．140o【答案】B【分析】根據(jù)三角形內角和定理得出∠A+∠B=110°，進而利用四邊形內角和定理得出答案．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°∠C，∴∠1+∠2=360°110°=250°，故選：B．【點睛】本題主要考查了多邊形內角和定理，根據(jù)題意得出∠A+∠B的度數(shù)是解題關鍵．【變式11】（2023春·八年級單元測試）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點B,C，連接BC【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和證明即可．【詳解】解：∵∠DBC和∠ECB是∴∠DBC又∵∠A∴∠DBC【點睛】本題主要考查三角形外角的性質，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．【變式12】（2023春?常州期中）如圖，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，點D、E分別在AB、BC上．連接DE，∠DEB＝42°．（1）求∠A的度數(shù)；（2）判斷DE與AC之間的位置關系，并說明理由．【分析】（1）設∠C的度數(shù)為x，根據(jù)三角形的內角和列出方程解答即可；（2）根據(jù)平行線的判定解答即可．【詳解】解：（1）設∠C的度數(shù)為x°，則∠A的度數(shù)為（x+28）°，△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝68°，可得：x+x+28+68＝180，解得：x＝42，所以∠C＝42°，∠A＝70°，（2）∵∠DEB＝42°，∠C＝42°，∴∠DEB＝∠C，∴DE∥AC．【變式13】（2023春·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知∠A=40°，則∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)為【答案】280°【分析】根據(jù)三角形的內角和定理分別求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后結果．【詳解】∵∠A=40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°∠A=140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°，故答案為280°．【點睛】本題考查了三角形內角和定理的運用，熟練掌握三角形內角和為180度是解題的關鍵．【知識點28字模型】【條件】AD、BC相交于點O.【結論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)【證明】在△ABO中，由內角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對頂角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.【題型28字模型】【例2】（20152016學年北京市懷柔區(qū)八年級上學期期末數(shù)學試卷（帶解析））如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D=28°，則∠A．62° B．152° C．208°【答案】C【詳解】∵如圖可知∠BED=∠F又∵∠BED∴∠F又∵∠CGE∴∠C又∵∠D∴∠A故選C．點睛：本題主要考查了三角形內角和定理即三角形外角與內角的關系，解答本題的關鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此題難度不大．【變式21】（20132014學年初中數(shù)學蘇教版八年級上冊第一章練習卷（帶解析））如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．【答案】90°；65°【分析】由ΔABC?ΔADE，可得∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠【詳解】解：∵ΔABC∴∠DAE∴∠∠DGB綜上所述：∠DFB=90°，【點睛】本題主要考查三角形全等的性質，解題的關鍵是找到相應等量關系的角，做題時要結合圖形進行思考．【變式22】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應（填“增加”【答案】減少10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關系，進行計算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，同時涉及到了三角形的內角和與對頂角相等的知識；解決本題的關鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊含了數(shù)形結合的思想方法．【變式23】（2023春·八年級期末）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進而將問題轉化為求四邊形ADEF的內角和，（2）與（1）方法相同轉化為求六邊形ABCDEF的內角和，（3）使用上述方法，轉化為求五邊形ABCDE的內角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內角和，四邊形的內角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【點睛】本題考查三角形的內角和、多邊形的內角和的計算方法，適當?shù)霓D化是解決問題的關鍵．【知識點3雙垂直模型】【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【題型3雙垂直模型】【例3】（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期末）如圖1，線段AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB=∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于點H，EH的反向延長線交AF于點G．①求證EG⊥AF；②求∠F的度數(shù)．【提示：三角形內角和等于180度】【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②45°．【分析】（1）利用同角的余角相等即可證明；（2）①想辦法證明∠EAG+∠AEG=90°即可解決問題；②利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（【詳解】（1）∵AB⊥BC，∴∠EAB+∠AEB=90°，∵AE⊥ED，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠CED．（2）①∵AF平分∠BAE，∴∠EAG=12∠EAB∵EH平分∠DEC，∴∠HED=12∠CED∵∠EAB=∠CED，∴∠HED=∠EAG，∴∠HED+∠AEG=90°，∴∠EAG+∠AEG=90°，∴∠EGA=90°，∴EG⊥AF．②作FM∥CD，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴FM∥AB，∴∠DFM=∠CDF=12∠CDE，∠AFM=∠FAB=12∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB【點睛】本題考查三角形內角和定理、平行線的性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式31】（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F，求證：證明：∵AE平分∠CAB∴∠CAE=∠FAB∵∠ACE∴∠CAE+∠CEF∵CD是△ABC∴∠FDA∴∠FAB∴∠CEF=∠AFD（∵∠CFE=∠AFD∴∠CFE=∠CEF【答案】角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；等角的余角相等；對頂角相等；等量代換【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠CAE=∠FAB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠CAE+∠【詳解】解：證明：∵AE平分∠CAB∴∠CAE∵∠ACE∴∠CAE∵CD是△ABC∴∠FDA∴∠FAB∴∠CEF∵∠CFE=∠∴∠CFE故答案為：角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；等角的余角相等；對頂角相等；等量代換【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，角平分線的定義，余角的性質，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵，此題難度不大．【變式32】（2023春·山東青島·八年級山東省青島第五十九中學校考期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點(1)判斷△DBF(2)求證：AD⊥【答案】(1)△DBF(2)證明見解析．【分析】（1）利用等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，證明∠CBA=∠CAB=45°，再利用BF∥AC得到（2）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG＝90°，需證明∠CAG＝∠BCF，只要證明三角形全等，即可．【詳解】（1）解：△DBF∵等腰Rt△ABC中，∴∠CBA∵BF∥∴∠ABF∴∠CBA+∠ABF∵DE⊥AB，∴∠BDF∴∠BFD∴△DBF（2）證明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∴∠BDE＝45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF＝90°．∴∠BFD＝45°＝∠BDE．∴BF＝DB．又∵D為BC的中點，∴CD＝DB．∴BF＝CD．在△CBF和△ACD中，BF∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF＝∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA＝90°，∴∠CAD+∠GCA＝90°．∴∠AGC=90°，即AD⊥CF．【點睛】本題考查了三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質以及判定定理、垂直的定義、等腰三角形的性質以及判定是解題的關鍵．【變式33】（2023春·山東濟南·八年級濟南育英中學校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠B=90°，點D在射線BC上運動，DE⊥AD（1）如圖1，若∠BAC=60°，當AD平分∠BAC（2）如圖2，當點D在線段BC上時，①判斷∠EDC與∠②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分線相交于點G，隨著點D的運動，（3）如圖3，當點D在BC的延長線上時，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分線和∠DEF的角平分線的反向延長線相交于點G，【答案】（1）30°；（2）①∠EDC=∠BAD，理由見解析；②∠G的度數(shù)不變，理由見解析；（3）不變，45°.【分析】（1）先求出∠ACB=30°，再利用角平分線得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出結論；（2）①利用直角三角形的兩銳角互余和等角的余角相等即可得出結論；②先利用①的結論得出∠BAD+∠DEF=90°，進而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的內角和即可得出結論；（3）利用三角形的外角和三角形的內角和即可得出結論．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=30°∴∠ADC=120°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠EDC=∠ADC∠ADE=30°；（2）①相等，在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，∵∠ADE=90°，∴∠EDC+∠ADB=90°，∴∠EDC=∠BAD；②∠G的度數(shù)不變，理由：∵EF⊥BC，∴∠EDF+∠DEF=90°，∵∠ADB+∠EDF=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵∠BAD+∠ADB=90°，∴∠BAD+∠DEF=90°，∵∠BAD、∠DEF的角平分線相交于點G，∴∠DAG=12∠BAD，∠DEG=12∠∴∠DAG+∠DEG=12（∠BAD+∠DEF）=45°∵∠DAE+∠DEA=90°，∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°，∴∠G=45°；（3）∠G的度數(shù)不變化，理由：如圖3，∵AD⊥DE，∴∠ADB+∠BDE=90°，∵EF⊥BD，∴∠DEF+∠BDE=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵EM是∠DEF的角平分線，∴∠DEM=12∠DEF=12∠∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=12∠BAD，延長DE交AG于N∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE，∴∠ENG=∠AEN+∠EAG=90°+∠DAE+∠EAG=90°+∠DAG=90°+12∠BAD∴∠G=180°（∠ENG+∠GEN）=180°（∠ENG+∠DEM），=180°（90°+12∠BAD+12∠=90°12（∠BAD+∠ADB）=45°【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，直角三角形的性質，三角形的內角和和外角的性質，解（1）的關鍵是求出∠ADC=120°，解（2）的關鍵是求出∠DAG+∠DEG=45°，解（3）的關鍵是利用三角形的外角的性質．【知識點4飛鏢模型】【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.【結論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個內角和)【證明】如上右圖，連接AD并延長到E，則：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質為兩個三角形外角和定理證明.【題型4飛鏢模型】【例4】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠A．72° B．70° C．65° D．60°【答案】B【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內角和定理求出∠BOC,再利用鄰補角的性質求出∠DEO，再根據(jù)四邊形的內角和求出∠【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∠OAB∴∠AOB同理得∠∵∠AOB∴∠BOC=360°-(180°-∠=∠B∵∠BED∴∠DEO∴∠DFO=360°-35°-108°-107°=∴∠DFC故選：B．【點睛】本題考查三角形內角和定理，多邊形內角和，三角形的外角的性質，鄰補角的性質，解題關鍵是會添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進行求解．三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；鄰補角性質：鄰補角互補．【變式41】（2023春·八年級期末）如圖，已知在△ABC中，∠A=40°，現(xiàn)將一塊直角三角板放在△ABC上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點B,C，直角頂點D落在A．90° B．60° C．50° D．40°【答案】C【分析】由三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°90°=90°∴∠ABD+∠故選C．【點睛】本題主要考查三角形內角和定理，靈活運用三角形內角和定理成為解答本題的關鍵．【變式42】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，已知四邊形ABDC，求證∠BDC【答案】見解析【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內角和定理可得結果；方法2作射線AD，根據(jù)三角形的外角性質得到∠3=∠B+∠1，方法3延長BD，交AC于點E，兩次運用三角形外角的性質即可得出結論．【詳解】方法1如圖所示，連接BC.在△ABC中，∠A+∠在△BCD中，∵∠∴∠BDC方法2如圖所示，連接AD并延長.∵∠3是△ABD∴∠3=∠1+同理，∠4=∠2+∠ACD∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD即∠BDC方法3如圖所示，延長BD，交AC于點E.∵∠DEC是△∴∠DEC∵∠BDC是△∴∠BDC∴∠BDC【點睛】本題考查了三角形的外角性質：解題的關鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內角的和．也考查了三角形內角和定理．【變式43】（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）如圖，若∠EOC=115°，則∠【答案】230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點睛】本題主要考查三角形內角和定理和三角形外角的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握三角形外角性質．【知識點5風箏模型】【條件】四邊形ABPC，分別延長AB、AC于點D、E，如上左圖所示.【結論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證.【題型5風箏模型】【例5】（2023春·重慶渝北·八年級?？计谥校┤鐖D,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質可知∠BED=∠B'ED,∠BDE【詳解】由折疊的性質可知∠∵∠1+∠∴∠∴∠故選C【點睛】本題主要考查折疊的性質及三角形內角和定理，掌握折疊的性質及三角形內角和定理是解題的關鍵.【變式51】（2023春·八年級期末）如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A．14° B．15° C．28° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內角和定理和平角定義證得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根據(jù)折疊性質得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，進而求得∠1＋∠2=110°即可求解．【詳解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故選：B．【點睛】本題考查折疊性質、三角形的內角和定理、平角定義，熟練掌握折疊性質是解答的關鍵．【變式52】（2023春·八年級期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，將∠C沿DE翻折，使點C落在△ABC外的點C'【答案】100°【分析】根據(jù)三角形內角和定理求出∠C，根據(jù)折疊的性質求出∠【詳解】解：∵∠A=65°，∴∠C由折疊的性質可知，∠C∴∠3=∠1+∠C∴∠2=∠C故答案是：100°．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理、折疊的性質，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．【變式53】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質、折疊變換等知識，解題的關鍵是正確添加輔助線，靈活應用所學知識，屬于中考?？碱}型．【知識點6兩內角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點I.【結論】【證明】∵BI是∠ABC平分線，∴∵CI是∠ACB平分線，∴由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.【題型6兩內角角平分線模型】【例6】（2023春·江蘇蘇州·八年級期中）直線MN與直線PQ垂直相交于點O，點A在直線PQ上運動，點B在直線MN上運動．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC（3）如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及反向延長線相交于E、F，在△AEF【答案】（1）不發(fā)生變化，∠AEB=135°；（2）不發(fā)生變化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【分析】（1）根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠（2）延長AD、BC交于點F，根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，進而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形內角和定理可知∠F=45°，再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，進而得出∠E的度數(shù)，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=