專題08有理數(shù)乘方及混合運(yùn)算（3大考點(diǎn)11種題型）

專題08有理數(shù)乘方及混合運(yùn)算（3大考點(diǎn)+11種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類聚焦考點(diǎn)一：乘方考點(diǎn)二：有理數(shù)的混合運(yùn)算考點(diǎn)三：科學(xué)記數(shù)法題型一：有理數(shù)冪的概念理解題型二：有理數(shù)的乘方運(yùn)算題型三：有理數(shù)乘方逆運(yùn)算題型四：乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律題型五：乘方的應(yīng)用題型六：有理數(shù)四則混合運(yùn)算題型七：有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用題型八：算“24”點(diǎn)題型九：含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算題型十：用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)題型十一：將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)考點(diǎn)一：乘方（1）一般地，我們把n個(gè)相同因數(shù)a相乘，記作，即．（2）定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的運(yùn)算結(jié)果叫做冪，在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．讀作a的n次方（“2次方”又可以讀作“平方”，“3次方”又可以讀作“立方”）．（3）讀法：讀作a的n次方，看作運(yùn)算結(jié)果時(shí)，讀作a的n次冪．（4）特別地：，，（n為正整數(shù)）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)．考點(diǎn)二：有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）運(yùn)算順序：先乘方，后乘除，再加減；同級(jí)運(yùn)算從左到右；如果有括號(hào)，先算小括號(hào)，后算中括號(hào)，再算大括號(hào)．（2）去括號(hào)：括號(hào)前帶負(fù)號(hào)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)，即，．（3）各種運(yùn)算定律和運(yùn)算法則都適用于有理數(shù)運(yùn)算．考點(diǎn)三：科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)寫成（其中，是正整數(shù)），這種形式的記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法．題型一：有理數(shù)冪的概念理解【例1】．（2022下·上海徐匯·六年級(jí)位育中學(xué)校考期中）的底數(shù)是．【答案】6【分析】根據(jù)冪的定義解答即可：在中，a叫底數(shù)，n叫做指數(shù)；【詳解】解：的底數(shù)是6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了與兩者的區(qū)別：的底數(shù)是a，表示n個(gè)a相乘的積；底數(shù)是a，表示n個(gè)a相乘的積的相反數(shù)．【變式1】．（2022下·上海楊浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）5.24中底數(shù)是，乘方結(jié)果的符號(hào)為．【答案】5.2負(fù)號(hào)【分析】利用乘方的意義判斷即可得到結(jié)果．【詳解】解：5.24中底數(shù)是5.2，乘方結(jié)果的符號(hào)為負(fù)號(hào)，故答案為：5.2，負(fù)號(hào)．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海寶山·六年級(jí)?？计谥校┑讛?shù)是，指數(shù)是的冪可寫成．【答案】【分析】根據(jù)冪的書寫規(guī)則即可求解．【詳解】解：底數(shù)為，指數(shù)為2，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的概念，關(guān)鍵是注意分?jǐn)?shù)為底時(shí)，需要把底數(shù)加括號(hào)．【變式3】．（2021下·上海奉賢·六年級(jí)?？计谥校?014個(gè)相乘用冪的形式可表示為．【答案】【分析】根據(jù)冪的定義知道是底數(shù)，指數(shù)是2014，由此即可表示2014個(gè)相乘．【詳解】解：2014個(gè)相乘可以表示為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：個(gè)因數(shù)的積這個(gè)因數(shù)的次冪．一個(gè)負(fù)數(shù)的偶次冪通常情況下寫成它相反數(shù)的偶次冪．【變式4】．（2021下·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）寫成乘方的形式是，結(jié)果是．【答案】/【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義，以及乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：寫成乘方的形式是，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方的定義是解題的關(guān)鍵．題型二：有理數(shù)的乘方運(yùn)算【例2】．（2021下·上海徐匯·六年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谥校敬鸢浮?6【詳解】．故答案為：16．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則．【變式1】．（2021下·上海松江·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則求解即可．【詳解】解：；故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì)題目，熟知乘方運(yùn)算法則是關(guān)鍵．【變式2】．（2021下·上海寶山·六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法以及乘法運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘方以及乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．【變式3】．（2021下·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┝惺接?jì)算：的相反數(shù)與它的倒數(shù)的積的2021次冪是多少？【答案】【分析】根據(jù)題意列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，有理數(shù)的乘方，根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2021下·上海青浦·六年級(jí)校聯(lián)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；【詳解】解：原式==．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5】．（2023下·上海黃浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）已知x、y為有理數(shù)，且，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)16(2)(3)6【分析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得，，再代入（1）（2）（3）中的式子運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：，，，解得：，，∴；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得，．題型三：有理數(shù)乘方逆運(yùn)算【例3】．（2023上·廣東汕尾·七年級(jí)校考期中）滿足等式的x的值為．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算，根據(jù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴滿足等式的x的值為，故答案為：．【變式1】．（2023上·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則．【答案】【分析】本題考查的是乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算，由，可得答案，掌握乘方運(yùn)算的含義是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故答案為：【變式2】．（2022下·上海楊浦·七年級(jí)?？计谀┤绻粋€(gè)數(shù)的平方是，那么這個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算即可求出答案．【詳解】解：，這個(gè)數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的乘方運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3】．（2023上·湖北恩施·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若a的平方是4，則a的值是．【答案】【分析】根據(jù)的平方的結(jié)果為4進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴a的值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算，熟知的平方的結(jié)果為4是解題的關(guān)鍵．題型四：乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律【例4】．（2023上·河南信陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在，，，0中，非負(fù)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)乘方中的符號(hào)問(wèn)題，判斷每個(gè)數(shù)的正負(fù)號(hào)即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，，0中，只有0是非負(fù)數(shù)．故選：A．【變式1】．（2023下·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）任何一個(gè)有理數(shù)的偶次冪必是（）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)乘方的性質(zhì)：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，0的任何次冪都是0，從而可判斷．【詳解】解：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何次冪都是0，故任何一個(gè)有理數(shù)的偶數(shù)次冪必是非負(fù)數(shù)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方，正數(shù)與負(fù)數(shù)，有理數(shù)，解答的關(guān)鍵是對(duì)有理數(shù)的乘方的性質(zhì)的掌握．【變式2】．（2023上·河南漯河·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如果一個(gè)數(shù)的15次冪是負(fù)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)的2021次冪是．（填“正數(shù)”或“負(fù)數(shù)”）【答案】負(fù)數(shù)【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的15次冪是負(fù)數(shù)，得到這個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)，進(jìn)而得到這個(gè)數(shù)的2021次冪也是負(fù)數(shù)．【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)的奇次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，故一個(gè)數(shù)的15次冪是負(fù)數(shù)，可知這個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)，所以這個(gè)數(shù)的2021次冪還是負(fù)數(shù)；故答案為：負(fù)數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算．熟練掌握正數(shù)的奇次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023上·河南漯河·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)整數(shù)為時(shí)，；若是正整數(shù)，則．【答案】奇數(shù)0【分析】的奇次方為，的偶次方為；再分類討論即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)整數(shù)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)整數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)，∴，當(dāng)整數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)，；故答案為：奇數(shù)，0【點(diǎn)睛】本題考查的是負(fù)1的奇次方與偶次方，熟記乘方的含義與乘方的符號(hào)確定方法是解本題的關(guān)鍵．【變式4】．（2023上·新疆烏魯木齊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知有理數(shù)n、m滿足，則．【答案】【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性及乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律，依題意得，，再代入原式即可求解，熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性及乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：，即：，，即：，，故答案為：．題型五：乘方的應(yīng)用【例5】．（2023上·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某種霉菌的生長(zhǎng)速度是每天增加1倍，若經(jīng)過(guò)14天，霉菌能長(zhǎng)滿整個(gè)缸面，請(qǐng)問(wèn)長(zhǎng)滿半個(gè)缸面所用的時(shí)間是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)題意運(yùn)用乘方的定義進(jìn)行求解．此題考查了乘方定義的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)．【詳解】解：由題意得，該霉菌第14天生長(zhǎng)面積是第13天的2倍，∴長(zhǎng)滿半個(gè)缸面所用時(shí)間是13天.故答案為：D.【變式1】．（2021上·廣東佛山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分②是下部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，受此啟發(fā)，則．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的應(yīng)用；根據(jù)題意可以寫出前幾部分的面積，從而可以發(fā)現(xiàn)各部分面積的變化規(guī)律，再根據(jù)圖形可知陰影部分的面積和部分⑥的面積相等，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：由題意可知，部分①面積是，部分②面積是，部分③面積是，…，則陰影部分的面積是，陰影部分的面積是；∴．故答案為：．【變式2】．（2021下·上海楊浦·六年級(jí)?？计谀┤簦瑒t，．【答案】12【分析】根據(jù)偶次方和絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可．【詳解】解：∵，∴a1=0，3ab1=0，解得a=1，b=2，故答案為：1，2．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，①非負(fù)數(shù)有最小值是零；②有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍然是非負(fù)數(shù)；③有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零．【變式3】．（2022下·上海徐匯·六年級(jí)位育中學(xué)?？计谥校┤?，那么=；【答案】1【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性，求出a，b的值即可；【詳解】解：由題意得：a2=0，a=2；b+=0，b=；∴a+3b=2+（1）=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)代數(shù)式的和：如果幾個(gè)非負(fù)代數(shù)式的和為零，那么每個(gè)代數(shù)式都等于零．【變式4】．（2023上·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期中）在日常生活中，我們用十進(jìn)制來(lái)表示數(shù)，如．計(jì)算機(jī)中采用的二進(jìn)制，即只需要0和1兩個(gè)數(shù)字就可以表示數(shù)，如二進(jìn)制中的，可以表示十進(jìn)制中的10，那么二進(jìn)制中的表示十進(jìn)制中的．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)十進(jìn)制中的數(shù)與二進(jìn)制中的數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：；故答案為：．題型六：有理數(shù)四則混合運(yùn)算【例6】．（2021下·上海徐匯·六年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谥校敬鸢浮?【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的減法運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算即可．【詳解】解：；故答案為：0【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2021下·上海浦東新·六年級(jí)上海中學(xué)東校?？计谥校┮阎硎緝蓚€(gè)有理數(shù)，規(guī)定一種新運(yùn)算“*”為：，那么的值為．【答案】22【分析】直接根據(jù)新運(yùn)算法則列式求解即可．【詳解】解：．故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解新運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．【變式2】．（2021下·上海嘉定·六年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．提取公因數(shù)是本題的簡(jiǎn)便計(jì)算方法．【變式3】．（2021下·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)上海市延安初級(jí)中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的四則運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算．熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．題型七：有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【例7】．（2023下·上海靜安·六年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┧拇蟀l(fā)明之一的黑火藥，它所用原料硝酸鉀、硫磺、木炭的重量比為．要配制這種火藥180千克，則需硫磺千克【答案】18【分析】用火藥的總總量乘以硫磺所占比例即可．【詳解】解：，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，得出硫磺所占比例．【變式1】．（2021下·上海徐匯·六年級(jí)校考期中）如圖，初次見(jiàn)面通常以握手示禮．我們可以用點(diǎn)來(lái)表示每個(gè)人，連接兩點(diǎn)的線段數(shù)量表示握手的次數(shù)．如果握手的人數(shù)是9，那么握手的總次數(shù)是．握手圖標(biāo)握手人數(shù)握手次數(shù)21

3346【答案】36【分析】設(shè)握手次，根據(jù)圖表中給出的類比規(guī)律，可知當(dāng)有個(gè)人時(shí)，握手次數(shù)為，根據(jù)此規(guī)律可求出握手次數(shù)．【詳解】解：設(shè)握手次，則，．故握手的總次數(shù)是36次．故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查理解題意的能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖表給的信息找出握手總次數(shù)和人數(shù)的關(guān)系式，從而可列出方程求解．【變式2】．（2021下·上海楊浦·六年級(jí)校考期中）請(qǐng)你利用加減乘除將數(shù)字，，，連接起來(lái)使得運(yùn)算的結(jié)果為：（數(shù)字的順序由你自己來(lái)定）【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】根據(jù)題意可得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的運(yùn)算，牢記有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型八：算“24”點(diǎn)【例8】．（2023下·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）“巧算24點(diǎn)”是一種數(shù)學(xué)游戲，游戲方式簡(jiǎn)單易學(xué)，能健腦益智．比如給出四個(gè)數(shù)字3、8、8、9，就可用加、減、乘、除（可加括號(hào)）把這四個(gè)數(shù)算成24，而且每個(gè)數(shù)字必須用一次且只能用一次，那么算式是或者，下面給出數(shù)字1、3、4、6，請(qǐng)你用加減乘除列出算式，算出24，此算式是．【答案】【分析】根據(jù)加減乘除運(yùn)算法則列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海徐匯·六年級(jí)上海市西南位育中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)1，3，5，5四個(gè)數(shù)進(jìn)行“加、減、乘、除、乘方”混合運(yùn)算（每個(gè)數(shù)只能使用一次），其計(jì)算結(jié)果為24，請(qǐng)列出算式：（填一個(gè)算式即可）【答案】（答案不唯一）【分析】結(jié)合所給數(shù)字及結(jié)果的特點(diǎn)，利用“加、減、乘、除、乘方”進(jìn)行嘗試，即可得出答案．【詳解】解：，或，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）樂(lè)樂(lè)有5張寫著以下數(shù)字的卡片．請(qǐng)你按要求抽出卡片，解決下列問(wèn)題．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相乘的積最大，求出最大值；(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除的商最小，求出最小值；(3)從中取出4張卡片．用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使計(jì)算結(jié)果為24，請(qǐng)寫出一種符合要求的運(yùn)算式子．（注：每個(gè)數(shù)字只能用一次）【答案】(1)15(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）找出兩張卡片，使其積最大即可；（2）找出兩張卡片，使其商最小即可；（3）找出四張卡片，利用24點(diǎn)游戲規(guī)律列出算式即可．【詳解】（1）解：抽取的2張卡片是、，乘積的最大值為15．（2）抽取的2張卡片是、1，商的最小值．（3）抽取的4張卡片是、1、3、4，算式為或（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）現(xiàn)有5張卡片寫著不同的數(shù)字，利用所學(xué)過(guò)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算按要求解答下列問(wèn)題（每張卡片上的數(shù)字只能用一次）．

(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為_(kāi)________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為_(kāi)_______．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為_(kāi)________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大，乘積的最大值為_(kāi)_________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數(shù)字運(yùn)算結(jié)果為24．寫出兩個(gè)不同的等式，分別為，．【答案】(1)9(2)11(3)6(4)90(5)，【詳解】（1）解：這五個(gè)數(shù)中，最小的兩個(gè)數(shù)是3和6，所以要使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為．故答案為：9；（2）解：這五個(gè)數(shù)中，最小的兩個(gè)數(shù)是6，最大的數(shù)是5，所以要使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為．故答案為：11；（3）解：取出6和1，相除得．所以商的最大值為6；故答案為：6（4）解：取出6，3,5，則乘積的最大值為．故答案為：90；（5）解：，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減乘除以及混合運(yùn)算，熟知有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．題型九：含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【例9】．（2021下·上海松江·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】7【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加法，注意符號(hào)．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意運(yùn)算的順序和符號(hào)的判定．【變式1】．（2021下·上海閔行·六年級(jí)上海上師初級(jí)中學(xué)校考期中）計(jì)算：.【答案】【分析】先算乘方，再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．利用乘方分配律可以使本題計(jì)算更簡(jiǎn)單．【變式2】．（2021下·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）．【答案】【分析】先運(yùn)算乘方，然后運(yùn)算括號(hào)，再運(yùn)算乘除，最后加減解題．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答．【詳解】解：＝＝＝＝．【變式4】．（2021下·上海松江·六年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)平方運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算、絕對(duì)值運(yùn)算、立方運(yùn)算及有理數(shù)除法運(yùn)算分別計(jì)算后，再由有理數(shù)加減運(yùn)算法則求解即可得到答案．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5】．（2022下·上海楊浦·六年級(jí)校考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】先乘方，再乘法，去絕對(duì)值，最后加減運(yùn)算．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，先乘方，再乘除，去絕對(duì)值，進(jìn)行加減運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程中注意正負(fù)符號(hào)的變化．【變式6】．（2021下·上海徐匯·六年級(jí)上海市西南模范中學(xué)校考期中）要求的值等于多少，直接求非常困難，因?yàn)槭且粋€(gè)非常大的數(shù)．因此，我們可以用方程的方法來(lái)做．設(shè)，則有，即，作簡(jiǎn)單的變形：，則．請(qǐng)你在理解基礎(chǔ)上，模仿上述方法求下式的值：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則有，依照例題求解即可；（2）設(shè)，則有，依照例題求解即可．【詳解】（1）設(shè)則有，即，作簡(jiǎn)單的變形：，則∴；（2）設(shè)則有，即，作簡(jiǎn)單的變形：則∴．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是仿照例子計(jì)算．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大．題型十：用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)【例10】．（2021下·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）青浦區(qū)第六次全國(guó)人口普查主要數(shù)據(jù)顯示，全區(qū)鎮(zhèn)街道（含青東農(nóng)場(chǎng)）常住人口約為萬(wàn)人．人口數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．人 B．人 C．人 D．人【答案】C【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)，將原數(shù)化為的形式，其中，n為整數(shù)，n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)．【詳解】解：萬(wàn)人用科學(xué)記數(shù)法表示為人，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)的方法：將原數(shù)化為的形式，其中，n為整數(shù)，n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)．【變式】．（2021下·上海松江·六年級(jí)校考階段練習(xí)）用科學(xué)記數(shù)法表示：上海的面積約為平方千米平方千米．【答案】【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法的表示方法可直接得出答案，要注意絕對(duì)值大于1的數(shù)字科學(xué)記數(shù)法的表示形式為：，其中，n為正整數(shù)．【詳解】解：上海的面積約為平方千米平方千米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，屬于基礎(chǔ)題，正確確定中和的值是解決本題的關(guān)鍵．題型十一：將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)【例11】．（2024上·河北石家莊·七年級(jí)校聯(lián)考期末）的整數(shù)位數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題主要考查了把科學(xué)計(jì)數(shù)法表示的數(shù)邊為原數(shù)，根據(jù)，可以的整數(shù)位數(shù)是6，據(jù)此可得答案．【詳解】解：，這是一個(gè)六位數(shù)，整數(shù)位數(shù)是6，故選B．【變式1】．（2024上·河北廊坊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)整數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，那么原數(shù)中“0”的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法與原數(shù)的轉(zhuǎn)化，將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)轉(zhuǎn)化為原數(shù)，即可求出0的個(gè)數(shù)．【詳解】解：∴原數(shù)中有5個(gè)．故選：C．【變式2】．（2021下·上海嘉定·六年級(jí)校考期中）用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)有個(gè)整數(shù)位．【答案】【分析】科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的整數(shù)位數(shù)比多1，是位．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的原數(shù)的整數(shù)位數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是考查把科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原．將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)位所得到的數(shù)．把一個(gè)數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把科學(xué)記數(shù)法還原是兩個(gè)互逆的過(guò)程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)是否正確的方法．一、單選題1．（2023上·甘肅定西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）世界文化遺產(chǎn)長(zhǎng)城總長(zhǎng)約米，將數(shù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了絕對(duì)值大于1的科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定的值．根據(jù)絕對(duì)值大于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，的值為整數(shù)位數(shù)少1．【詳解】解：大于1，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，，∴用科學(xué)記數(shù)法表示為，故選：B．2．（2021下·上海松江·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則下列結(jié)論中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則求解即可．【詳解】∵，A、，選項(xiàng)成立，不符合題意；B、，選項(xiàng)不成立，符合題意；C、，選項(xiàng)成立，不符合題意；D、，選項(xiàng)成立，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則．3．（2023上·四川宜賓·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）樂(lè)樂(lè)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到了神奇的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，按如圖所示的程序運(yùn)算，若輸入一個(gè)有理數(shù)x，則可相應(yīng)的輸出一個(gè)結(jié)果．若輸入的值為，則輸出的結(jié)果為()A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，把代入程序中計(jì)算，判斷結(jié)果與0的大小，以此類推，得到結(jié)果大于0，輸出即可．【詳解】解：把代入運(yùn)算程序得：，把代入運(yùn)算程序得：，故輸出的結(jié)果為7．故選：B．4．（2023上·浙江寧波·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在，，，，，中，是非負(fù)數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值、相反數(shù)、乘方的定義逐個(gè)計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，；故非負(fù)數(shù)有：，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，正數(shù)與負(fù)數(shù)，相反數(shù)，絕對(duì)值，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·遼寧撫順·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)互為相反數(shù)的是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】此題考查了有理數(shù)的乘方，相反數(shù)，以及絕對(duì)值，各項(xiàng)中兩式計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】A、，，不互為相反數(shù)；B、，不互為相反數(shù)；C、，不互為相反數(shù)；D、，，互為相反數(shù)，故選：D．6．（2021下·上海閔行·六年級(jí)?？计谥校?，0，，，，，中是負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)負(fù)數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：∵是正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)，是正數(shù)，，是負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是負(fù)數(shù)概念，絕對(duì)值的意義，乘方的意義，掌握在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“－”，叫做負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2024上·河北保定·七年級(jí)校聯(lián)考期中）有個(gè)填寫運(yùn)算符號(hào)的游戲：在“”中的每個(gè)□內(nèi)，填入“”，“”，“”，“”中的某一個(gè)（可重復(fù)使用），然后計(jì)算結(jié)果，若，則□內(nèi)填寫的符號(hào)為；【答案】×【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算，分別將“”，“”，“”，“”代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，，，∴□內(nèi)填寫的符號(hào)為：×，故答案為：×8．（2023上·湖北荊州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“☆”，規(guī)則如下：．例如：，則的值為．【答案】【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算．根據(jù)新定義運(yùn)算法則，計(jì)算即可．【詳解】解：，，故答案為：．9．（2021下·上海徐匯·六年級(jí)校考期中）如圖，數(shù)軸上表示三個(gè)數(shù)的點(diǎn)的位置，用“<”、“>”或“=”比較大?。海?/p>

【答案】<【分析】由數(shù)軸得出，然后根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行判斷．【詳解】解：由數(shù)軸得：，∴，，∴，故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，判斷出式子的正負(fù)是解題的關(guān)鍵．10．（2021下·上海松江·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則．【答案】【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y，再代值計(jì)算即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以，，則，，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、乘方運(yùn)算和代數(shù)式求值，正確求出x、y的值是解題的關(guān)鍵．11．（2023上·吉林四平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）2023年杭州舉辦了第19屆亞運(yùn)會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)售出約3050000張門票，3050000這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，是非負(fù)數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，是負(fù)數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定的值以及的值．【詳解】解：3050000這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，故答案為：．12．（2023上·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，先算括號(hào)內(nèi)的乘法，再進(jìn)行乘方運(yùn)算，再把兩個(gè)冪相加即可得到結(jié)果，掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．13．（2023上·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了有理數(shù)大小比較，有理數(shù)乘方計(jì)算，絕對(duì)值的求解，先算出絕對(duì)值的大小，再計(jì)算乘法，最后進(jìn)行比較即可．【詳解】解：，，，故答案為：．14．（2023上·吉林松原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種新運(yùn)算▽：對(duì)任意有理數(shù)a、b都有，如，則．【答案】2019【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的減法運(yùn)算，正確理解新定義運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再計(jì)算括號(hào)外即可．【詳解】解：，則原式，故答案為：2019．15．（2023下·上海松江·六年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算，若輸入x的值為，則輸出y的值為．

【答案】【分析】將代入求出結(jié)果即可．【詳解】解：把代入得：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，準(zhǔn)確計(jì)算．16．（2022下·上海楊浦·六年級(jí)?？计谀┮阎?、表示兩個(gè)有理數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“”為：（其中為有理數(shù)），如果，那么的值為．【答案】【分析】根據(jù)、表示兩個(gè)有理數(shù)，（其中為有理數(shù)），把，代入，解答即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題關(guān)鍵為，把其代入求解即可．三、解答題17．（2021下·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．18．（2021下·上海·六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】首先根據(jù)乘方運(yùn)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)以及有理數(shù)除法法則進(jìn)行運(yùn)算，然后再相加減即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．19．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)雨花外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)5(2)【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，乘法分配律；（1）運(yùn)用乘法分配律展開(kāi)，進(jìn)一步運(yùn)用有理數(shù)的乘法法則、加減法法則處理；（2）運(yùn)用有理數(shù)的乘方法則、乘法、除法法則運(yùn)算處理；【詳解】（1）解：（2）解：20．（2021下·上海寶山·六年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：．【答案】【分析】先計(jì)算乘方和括號(hào)內(nèi)運(yùn)算、除法轉(zhuǎn)化為乘法，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加法即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．21．（2021下·上?！ち昙?jí)?？茧A段