專題33圓中的重要模型之圓冪定理模型

專題33圓中的重要模型之圓冪定理模型圓冪定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀由德國數(shù)學家施泰納（Steiner）或者法國數(shù)學家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。模型1.相交弦模型條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點E，點E在圓O內(nèi)。結(jié)論：。例1．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）如圖，點，，，在上，，．若，，則的長是．

【答案】【分析】如圖，連接，設(shè)交于點，根據(jù)題意可得是的直徑，，設(shè)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出，根據(jù)，勾股定理求得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)交于點，

∵是的直徑，，，，在中，，，，，設(shè)則，，，，中，，，，又，，，，，，，，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·山東濟寧一模）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．(1)求證；(2)當時，求CE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)同弧所對圓周角相等可得，再由對頂角相等得，故可證明緒論；（2）根據(jù)可得由可得出連接AE，可證明，得出代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求出，從而可求出緒論．【詳解】（1）∵所對的圓周角是，∴，又，∴；（2）∵△是等邊三角形，∴∵，∴∴∵∴，∴∴連接如圖，∵∴∴∠又∠，∴△∴，∴∴，∴（負值舍去）∴，解得，【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2023·江西宜春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀與思考：九年級學生小剛喜歡看書，他在學習了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，的兩弦相交于點P．求證：．證明：如圖1，連接．∵，．∴，（根據(jù)）∴@，∴，∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．任務(wù)：(1)請將上述證明過程補充完整．根據(jù)：____________；@：____________．(2)小剛又看到一道課后習題，如圖2，AB是的弦，P是上一點，，，，求的半徑．【答案】(1)有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；；(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）延長交圓O于點D，延長交圓O于點F，設(shè)圓O的半徑為rcm，則，，根據(jù)（1）中結(jié)論代入求解即可．【詳解】（1）連接．∵，．∴，（有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）∴，∴，∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．故答案為：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；；（2）延長交圓O于點D，延長交圓O于點F，設(shè)圓O的半徑為rcm，則，，根據(jù)（1）中結(jié)論得，即為，解得：或（不符合題意，舍去），的半徑為．【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理等，理解題意，熟練掌握運用圓的相交弦定理是解題關(guān)鍵．模型2.雙割線模型條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點E和點G。結(jié)論：例1．（2023·遼寧葫蘆島·一模）已知：如圖，、是⊙的割線，，，.則=.例2．（2023·四川成都·九年級?？茧A段練習）如圖，為的割線，且，交于點C，若，則的半徑的長為．【答案】【分析】延長交圓于點D，連接、，由圓內(nèi)接四邊形內(nèi)對角互補性質(zhì)可得，結(jié)合鄰補角互補可得，繼而證明，由相似三角形對應(yīng)邊成比例解得，由此計算，最后根據(jù)線段的和差解題即可．【詳解】如圖，延長交圓于點D，連接、，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴半徑為，故答案為：．【點睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．例3．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．當直線與圓有兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關(guān)的定理．比如，割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請補充完整．已知：如圖①，過外一點作的兩條割線，一條交于、點，另一條交于、點．求證：．證明一：連接、，∵和為所對的圓周角，∴______．又∵，∴______，∴______．即．研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接、，即可得到學習過的圓內(nèi)接四邊形．那么或許割線定理也可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明．請根據(jù)提示，獨立完成證明二．證明二：連接、，【答案】證明一：，∽，；證明二見解析【分析】（1）證明∽即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，進一步證明∽【詳解】解：證明一：連接、，∵和為所對的圓周角，∴．又∵，∴∽，∴．即．故答案為：，∽，，證明二：連接、，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，又∵，∴，又∵，∴∽，∴，即．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．模型3.切割線模型條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結(jié)論：例1．（2023·江蘇南通·中考模擬）如圖，已知是的切線，為切點，與相交于．兩點，，，則的長等于（

)

A． B．16cm C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知得到的長，再根據(jù)切割線定理即可求得的長【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選D．【點睛】本題是對圓知識的綜合考查，熟練掌握圓及相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.例2．（2023·河南鄭州·一模）復(fù)習鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線．切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長．閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學著作．它是歐洲數(shù)學的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認為是歷史上學習數(shù)學幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36﹣2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，A是⊙O外一點，．求證：．【答案】AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線，AB2＝AC?AD，見解析【分析】按照題設(shè)要求，寫出“已知”和“求證”，然后證明△ABC∽△ADB，即可求解．【詳解】解：（已知：如圖，A是⊙O外一點，）AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線．求證：AB2＝AC?AD．故答案為：AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線，AB2＝AC?AD，證明：連接BD，連接BO并延長交⊙O于點E，連接CE，∵AB是⊙O的切線，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∵BE是圓的直徑，∴∠BCE＝90°＝∠E+∠CBE，∴∠ABC＝∠E，而∠E＝∠CDB，∴∠ABC＝∠BDC，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴，∴AB2＝AC?AD．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．例3．（2022·河南駐馬店·校考二模）在數(shù)學課上，當老師講到直線與圓的位置關(guān)系時，張明同學突發(fā)奇想，特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》，這本書是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學著作．它是歐洲數(shù)學的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認為是歷史上學習數(shù)學幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題362圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例中項．（比例中項的定義：如果、、三個量成連比例即，則叫做和的比例中項）(1)為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，是圓外一點，是圓的切線，直線為圓的割線．求證：證明：(2)已知，，則的長度是．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)比例中項的定義寫出“求證”，連接并延長交于點，連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)線段和差求出，再根據(jù)（1）的結(jié)論即可得．【詳解】（1）求證：．證明：如圖，連接并延長交于點，連接，是的切線，，，由圓周角定理得：，，，在和中，，，，．（2）解：，，，由（1）已證：，，解得或（不符題意，舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)和圓周角定理是解題關(guān)鍵．模型4.弦切角模型條件：如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。結(jié)論：1）；2）；3）。例1．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）小銳同學是一個數(shù)學學習愛好者，他在一本數(shù)學課外讀物上看到一個課本上沒有的與圓相關(guān)的角弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角），并嘗試用所學的知識研究弦切角的有關(guān)性質(zhì)．（1）如圖，直線與⊙O相切于點，，為⊙O上不同于的兩點，連接，，．請你寫出圖中的兩個弦切角______；（不添加新的字母和線段）（2）小銳目測和可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結(jié)論，你能幫小銳用幾何推理的方法證明結(jié)論的正確性嗎？已知：如圖，直線與⊙O相切于點，，為圓上不同于的兩點，連接，，．求證：．（3）如果我們把上述結(jié)論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理______．【答案】（1），，，（任意寫出兩個即可）；（2）見解析；（3）弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角【分析】（1）根據(jù)弦切角的定義加以識別即可；（2）過點C作直徑CF，連接DF，借助于同弧所對的圓周角相等，將∠DEC轉(zhuǎn)化為∠F，所以只需證∠DCB=∠F即可．（3）由題意可歸納：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．【詳解】解：（1）弦CD、CE分別與切線CB構(gòu)成的弦切角為：∠DCB，∠ECB；弦CD、CE分別與切線CA構(gòu)成的弦切角為：∠DCA，∠ECA．故答案為：，，，（任意寫2個即可）（2）證明：過作直徑，連接．∵是直徑，∴．∴．又∵與相切于點，∴．∴．∴．∴．∴．（3）弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理及推論、直角三角形的兩銳角互余等知識點，熟知上述圖形的相關(guān)性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，對新定義的理解及問題的概括能力是關(guān)鍵.例2．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考三模）人類會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國的墨子給出圓的概念：“圓，一中同長也．”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等，這個定義比古希臘數(shù)學家歐幾里得給圓下的定義要早100多年．與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù)．(1)如圖1，是的切線．點C，D在上．求證：；(2)如圖2，是的切線．連接交于點D，為的直徑．若，，的半徑為5，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）連接，并延長交于點M，連接，先證明，再根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等得出，即可證明；（2）連接，，證明，得出，證明，得出，即，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，并延長交于點M，連接，如圖所示：∵是的直徑，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：連接，，如圖所示：∵是的直徑，∴，∴，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，與（1）同理可得，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理，直徑所對的圓周角為直角，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．例3．（2023·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，為的切線，點為切點，為內(nèi)一條弦，即為弦切角．(1)古希臘數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5個公設(shè)和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內(nèi)容是：“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，為的切線，點為切點，為內(nèi)一條弦，點在上，連接，，，．求證：．證明：(2)如圖3，為的切線，為切點，點是上一動點，過點作于點，交于，連接，，．若，，求弦的長．【答案】(1)見解析(2)21【分析】（1）如圖2，延長交于，連接，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論；（2）如圖3，連接，根據(jù)勾股定理得到，據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：求證：，證明：如圖2，延長交于，連接，是的直徑，，，為的切線，，，，，；即；（2）如圖3，連接，，，，為的切線，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模型5.托勒密定理模型條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結(jié)論：例1．（2023·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學家，他的著作《天文學大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學書”，托勒密有時把它叫作《數(shù)學文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．已知：如圖1，四邊形內(nèi)接于．求證：下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖2，作，交于點E．∵∴（依據(jù)1）∴（依據(jù)2）∴∴∵∴∵∴即∴∴∴∴任務(wù)：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：________________________________．依據(jù)2：________________________________．（2）如圖3，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，，點D為的中點，求的長．【答案】（1）同弧所對的圓周角相等，兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（2）【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，相似三角形的判定即可解決問題．（2）首先證明，由托勒密定理，構(gòu)建方程求出即可．【詳解】解：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”是同弧所對的圓周角相等．“依據(jù)2”是兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．故答案為：同弧所對的圓周角相等；兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．（2）∵為的直徑，∴，∵點D為的中點，∴，∴，∴在中，∵∴在中，∵∴，∴【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，托勒密定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題．例2．（2023·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對角.如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則.【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？如圖②，某數(shù)學興趣小組進行深入研究發(fā)現(xiàn)：證明：如圖③，作，交于點.

∵，∴，∴

即

（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊外接圓，點為上一點，且，，求的長.【答案】【舊知再現(xiàn)】互補，

110；【問題創(chuàng)新】見解析；【應(yīng)用遷移】【分析】【重溫舊知】根據(jù)圓周角定理，得出，，化簡得出，利用等腰三角形的兩個底角相等和圓內(nèi)接四邊形對角互補，即可得；【提出問題】所得等式兩邊加上AD?BC，右邊變形后即可得證；【應(yīng)用遷移】由上題的結(jié)論，根據(jù)為等邊三角形，可得AB=AC=BC，代入化簡即可求出PA的長.【詳解】（1）如圖示：連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理，則有：，∴∴圓內(nèi)接四邊形的對角互補；∵，∴在等腰三角形ABD中，∴（2）證明：如圖，∵∴，即，又∵，∴∴，即∴，∴，（3）由（2）可知∵是等邊三角形，∴，∴，∴即.【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．課后專項訓練1．（2023山東九年級課時練習）如圖AB與圓O相切于A，D是圓O內(nèi)一點，DB與圓相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，則圓的半徑為．【答案】【分析】連接BC并延長，交圓于F，過O作OE⊥BF，連接，證明，則可得AB2＝BC?BF，進而求得DE＝，OD＝2，勾股定理求解即可．【詳解】解：連接BC并延長，交圓于F，過O作OE⊥BF，連接∵BA是圓O的切線，切點為A，在中，則又AB2＝BC?BF，∵BC＝DC＝3，AB＝6，∴BF＝12，CF＝9，∴DE＝，OD＝2，∴OE＝＝＝，CE＝，∴OC＝＝＝．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，證明AB2＝BC?BF，是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，兩個同心圓，過大圓上一點A作小圓的割線，交小圓于B、C兩點，且圖中圓環(huán)的面積為，則．【答案】4【分析】設(shè)圓心為O，作與小圓相切，切點為M，與大圓交于點D，連接，根據(jù)勾股定理及題意得出，過點O作，連接，繼續(xù)利用勾股定理進行等量代換得出，即可求解．【詳解】解：設(shè)圓心為O，作與小圓相切，切點為M，與大圓交于點D，連接，如圖所示：∴，∴，∵，∴，過點O作，連接，∴，，∴，即，∵，∴，故答案為：4．【點睛】題目主要考查勾股定理解三角形，切線的性質(zhì)，垂徑定理等，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2023·重慶九年級期末）如圖，從圓外一點引圓的切線，點為切點，割線交于點、．已知，，則．【答案】【分析】根據(jù)切割線定理，可求PB=18，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方可求S△ABP：S△DAP=PB2：PA2=9：4．【詳解】由切割線定理可得PA2=PD×PB，∵PA=12，PD=8∴PB=18．由弦切角和公共角易知△ABP∽△DAP．∴S△ABP：S△DAP=PB2：PA2=9：4．故答案為9：4【點睛】本題應(yīng)用了切割線定理和相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方．4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，過點引圓的兩條割線和，分別交圓于點和，連結(jié)，則在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你認為成立的比例式的序號都填上）．【答案】②③【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法得到，△PAD∽△PCB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等從而可得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴，∴①錯誤；②正確；③連接AC，BD，∵∠P=∠P，∠PBD=∠PCA，∴△PAC∽△PDB，∴，∴，正確；故答案為：②③．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意到題目中的相似三角形是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）四邊形內(nèi)接于圓，對角線交點為E，，若、都是整數(shù)，則的值為．【答案】3或4【分析】證明△ABD∽△AEB，求出AD，從而得到DE，再證明△AEC∽△BED，得到BE·CE=12，根據(jù)BE，CE都是整數(shù)可得所有可能的取值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BE，CE都是整數(shù)，從而得到DE的取值．【詳解】解：∵AB=AC=4，AE=2，∴∠ADB=∠ADC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD=∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴，即，∴AD=8，∴DE=6，∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED，∴，即，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整數(shù)，則BE和CE可取的值為3，4或2，6或1，12；∵AB=AC=4，∴BC＜AB+AC=8，∴BC=3+4=7，∴BE的值為3或4，故答案為：3或4．【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出適當?shù)南嗨迫切蔚玫骄€段關(guān)系．6．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）如圖，為正的外接圓，為劣弧上任一點，的延長線和的延長線交于點．(1)求；(2)求證：．

【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補和為正三角形即可求出；（2）證明即可求出．【詳解】（1）解：為正三角形，．四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴；（2）證明：由（1）知，，∵，又∵，∴．∴則又∵，∴．【點睛】本題考查圓與三角形的綜合問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用這些知識是關(guān)鍵．7．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，點C，D在上，平分，過點D作的垂線交的延長線于點E，交的延長線于點F，連接．(1)求證：是的切線；(2)求證：(3)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，由題可知，D已經(jīng)是圓上一點，欲證為切線，只需證明即可；（2）連接．由（1）知，為的直徑，由得，又，所以，所以，因為，所以，即可證明；（3）連接，根據(jù)勾股定理求出，進而根據(jù)三角形的中位線定理可得的長，從而得的長．【詳解】（1）如圖，連接．∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵∴∴∴半徑，∴是的切線；（2）如圖，連接．∵∴∵為的直徑，∴，∴，∵，

∴，∴∵∴，∵四點共圓，∴，∴，∴，∵，∴，

∴，∵，∴∴，∴，在中，，∴，∴．（3）如圖，連接，交于點H．∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，

∴，∵，∴，∵∴∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定，掌握三角形的中位線定理，勾股定理，角平分線的定義，切線的判定等知識點是解題的關(guān)鍵．8．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，P是以O(shè)為圓心的兩個同心圓外一點，過P點的兩條直線分別與大圓O交于A、B、C、D四個點，其中一條直線交小圓O于F點，F(xiàn)為線段的中點，，，垂足為E．(1)求證：為小圓O的切線；(2)若，，求大圓的半徑．

【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）連接，，由，F(xiàn)是中點，依據(jù)等腰三角形三線合一可得，結(jié)合是小圓O的半徑，即可證得是小圓O的切線；（2）連接，，由設(shè)，，結(jié)合題，即，再由三線合一可得即，易證得，即可求得、，及、，在中由即可求得的值，從而求得即大圓O的半徑·【詳解】（1）連接，，∵，F(xiàn)是中點，∴，∵是小圓O的半徑，∴是小圓O的切線；

（2）連接，，∵，∴設(shè)，，∵，則，∵，∴，∵是圓O的直徑，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴，即，解得，（不合題意，舍去），∴，大圓O的半徑為·【點睛】本題考查了切線的證明，等腰三角形的判定及性質(zhì)，直徑所對的角是指教，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識綜合求解·9．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）歐幾里德，古希臘著名數(shù)學家．被稱為“幾何之父”．他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認為是歷史上最成功的教科書．他在第三卷中提出這樣一個命題：“由已知點作直線切于已知圓”．如圖1，設(shè)點是已知點，圓是已知圓，對于上述命題，我們可以進行如下尺規(guī)作圖：①連接，作線段的中點；②以為圓心，以為半徑作圓，與圓交于兩點和；③連接、，則、是圓的切線．(1)按照上述作圖步驟在圖1中補全圖形；(2)為了說明上述作圖的正確性，需要對其證明，請寫出證明“、是圓的切線”的過程；(3)如圖2，連接并延長交圓于點，連接，已知，，求圓的半徑．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；（2）畫圓得到半徑相等，然后推論出直角即可證切線；（3）根據(jù)相似得到邊的數(shù)量關(guān)系，列方程求解即可．【詳解】（1）如圖，（2）連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵是圓半徑，∴是圓的切線，同理可得，是圓的切線．（3）連接交于點，連接，∵、是圓的切線，∴∵∴是線段的垂直平分線，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，設(shè)圓的半徑為，∴，在中，，∴，解得（負值舍去）【點睛】此題考查圓的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是通過相似三角形得到邊的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程求解．10．（2023·山東聊城·九年級統(tǒng)考期中）頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖①所示：PA切⊙O于點A，AB是⊙O的一條弦，∠PAB就是⊙O的一個弦切角．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：弦切角等于它夾弧所對的圓周角．根據(jù)下面的“已知”和“求證”，寫出“證明”過程，并回答后面的問題．（1）如圖1，PA是⊙O的切線，A為切點，AC為直徑，∠PAB夾弧所對的圓周角為∠C．求證：∠PAB＝∠C．（2）如圖2，PA是⊙O的切線，A為切點，∠PAB夾弧所對的圓周角為∠D．求證：∠PAB＝∠D．（3）如圖3，AB為半⊙O的直徑，O為圓心，C，D為半⊙O上兩點，過點C作半⊙O的切線CE交AD的延長線于點E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由切線的性質(zhì)可知，∠CAP＝90°，所以∠CAB+∠PAB＝90°．再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，∠CAB+∠C＝90°，所以∠PAB＝∠C．（2）如圖2，作直徑AC，連接BC，利用（1）中的結(jié)論及同弧所對的圓周角相等可得結(jié)論．（3）連接AC，由題意可知，△ACE∽△ABC，結(jié)合（1）中的結(jié)論易得△DCE∽△BAC，得出比例，進而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵PA切⊙O于點A，∴∠CAP＝90°，∴∠CAB+∠PAB＝90°．又∵AC是直徑，∴∠B＝90°，∴∠CAB+∠C＝90°，∴∠PAB＝90°∠CAB＝∠C．（2）證明：如圖，過點A作直徑AC，連接BC，∵AP為切線，由（1）得，∠PAB＝∠C，又∵∠C＝∠D，∴∠PAB＝∠D．（3）連接AC，CD，∵EC為⊙O的切線，由①得∠ECA＝∠B，又∵∠AEC＝∠ACB＝90°∴△ACE∽△ABC，∴，∠CAE=∠BAC，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理AC=，∴，∴，又∵CE為⊙O的切線，∴∠DCE＝∠EAC，∴∠DCE=∠BAC，又∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△DCE∽△BAC，∴，∴，∴．【點睛】本題考查弦切角，直徑所對圓周角性質(zhì)，切線性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握弦切角，直徑所對圓周角性質(zhì)，切線性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點H．點A在上，點B在上，．

(1)求證：．(2)求證：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對稱圖形，使其交直徑于點G．若，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明即可；（2）連接，交于點，根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件證明垂直平分即可；（3）利用對稱的性質(zhì)作輔助線，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題即可．【詳解】（1）和是所對的圓周角，，，∴，∴，∴．（2）連接，交于點，

與為一組平行弦，即：，，，，，，，，是的垂直平分線，．（3）連接、，過點作，垂足為，設(shè)點的對稱點，連接、，，，∴，，，是等腰三角形，，，，，為直徑，，，，，，，在中，，，，，在中，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的綜合問題，同弧所對圓周角相等、構(gòu)建合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、熟悉銳角三角函數(shù)解決直角三角形．1