專題29規(guī)律探究題（共14道）（教師版）（02期）-2023年中考數(shù)學真題分類訓練

專題29規(guī)律探究題(14道)一、單選題1．(2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形是正方形，曲線叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，循環(huán)．當時，點的坐標是(

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A． B． C． D．【答案】A【分析】由題得點的位置每4個一循環(huán)，經(jīng)計算得出在第三象限，與，，，…符合同一規(guī)律，探究出，，，...的規(guī)律即可．【詳解】解：由圖得，，…點C的位置每4個一循環(huán)，，∴在第三象限，與，，，…符合規(guī)律，∴坐標為．故選：A．【點睛】本題考查了點的坐標的規(guī)律的探究，理解題意求出坐標是解題關鍵．2．(2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題)如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為()

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求解即可．【詳解】解：，，，，…，；∴，故選∶C．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關鍵．3．(2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題)在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可衡”數(shù)學活動中，“智多星”小強設計了一個數(shù)學探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進行操作：第1次操作后得到整式串m，n，；第2次操作后得到整式串m，n，，；第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是(

)A． B．m C． D．【答案】D【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循環(huán)，再求解第四次操作后所有的整式之和為：，結(jié)合，從而可得答案．【詳解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；第2次操作后得到整式串m，n，，；第3次操作后得到整式串m，n，，，；第4次操作后得到整式串m，n，，，，；第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；歸納可得：以上整式串每六次一循環(huán)，∵，∴第2023次操作后得到的整式中各項之和與第1次操作后得到整式串之和相等，∴這個和為，故選D【點睛】本題考查的是整式的加減運算，代數(shù)式的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并總結(jié)概括規(guī)律并靈活運用是解本題的關鍵．4．(2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題)數(shù)學家高斯推動了數(shù)學科學的發(fā)展，被數(shù)學界譽為“數(shù)學王子”，據(jù)傳，他在計算時，用到了一種方法，將首尾兩個數(shù)相加，進而得到．人們借助于這樣的方法，得到(n是正整數(shù))．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中，且是整數(shù)．記，如，即，即，即，以此類推．則下列結(jié)論正確的是(

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A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圖形尋找規(guī)律，再利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：第1圈有1個點，即，這時；第2圈有8個點，即到；第3圈有16個點，即到，；依次類推，第n圈，；由規(guī)律可知：是在第23圈上，且，則即，故A選項不正確；是在第23圈上，且，即，故B選項正確；第n圈，，所以，故C、D選項不正確；故選B．【點睛】本題考查圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關鍵．5．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題)觀察下邊的數(shù)表(橫排為行，豎排為列)，按數(shù)表中的規(guī)律，分數(shù)若排在第a行b列，則的值為(

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……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023【答案】C【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數(shù)，分母與其所在行數(shù)一致．【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數(shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故在第20列，即；向前遞推到第1列時，分數(shù)為，故分數(shù)與分數(shù)在同一行．即在第2042行，則．∴故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識點，解題的關鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性．二、填空題6．(2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形，，，，…都是平行四邊形，頂點，，，，，…都在軸上，頂點，，，，…都在正比例函數(shù)()的圖象上，且，，，…，連接，，，，…，分別交射線于點，，，，…，連接，，，…，得到，，，…．若，，，則的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形可先求得，，，，，，，，，從而得，，，，利用三角形的面積公式即可得解．【詳解】解：∵，，，∴點與點的橫坐標相同，，，，，∴軸，∴，∵，∴，∵四邊形，，，，…都是平行四邊形，∴，，，，∴，，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，同理可得，，，，，，，∴，，∴，∵在上，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形，坐標規(guī)律，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)是解題關鍵．7．(2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題)如圖，是正三角形，點A在第一象限，點、．將線段繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；將線段繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；將線段繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；將線段繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；……以此類推，則點的坐標是．

【答案】【分析】首先畫出圖形，然后得到旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)，然后求出點在射線的延長線上，點在x軸的正半軸上，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示，

由圖象可得，點，在x軸的正半軸上，∴．旋轉(zhuǎn)3次為一個循環(huán)，∵∴點在射線的延長線上，∴點在x軸的正半軸上，∵，是正三角形，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴同理可得，，，∴，∴，∴，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴如圖所示，過點作軸于點E，

∵，∴，∴，∴，，∴點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)．正確確定每次旋轉(zhuǎn)后點與旋轉(zhuǎn)中心的距離長度是關鍵．8．(2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題)1261年，我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開的多項式中各項系數(shù)之和為．【答案】【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意得：展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，故答案為：．【點睛】此題考查了多項式的乘法運算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律．9．(2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題)已知，都是邊長為2的等邊三角形，按下圖所示擺放．點都在x軸正半軸上，且，則點的坐標是．

【答案】【分析】先確定前幾個點的坐標，然后歸納規(guī)律，按規(guī)律解答即可．【詳解】解：由圖形可得：如圖：過作軸，

∵∴∴,同理：∴點的橫坐標為1，點的橫坐標為2，點的橫坐標為3，……縱坐標三個一循環(huán)，∴的橫坐標為2023，∵，674為偶數(shù)，∴點在第一象限，∴．故答案為．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、坐標規(guī)律等知識點，先求出幾個點、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解答本題的關鍵．10．(2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題)在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖(1)有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖(2)，有5個三角形，記作；再分別連接圖(2)中間的小三角形三邊中點得到圖(3)，有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．(結(jié)果用含n的代數(shù)式表示)

【答案】/【分析】根據(jù)題意得出，進而即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關鍵．11．(2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，點A在軸上，點B在軸上，，連接，過點O作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；…；按照如此規(guī)律操作下去，則點的坐標為．

【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形依次求出的坐標，再根據(jù)其規(guī)律寫出的坐標即可．【詳解】解：在平面直角坐標系中，點A在軸上，點B在軸上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均為等腰直角三角形，，根據(jù)圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：點的坐標為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，以及點的坐標變化規(guī)律問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是依次求出的坐標，找出其坐標的規(guī)律．12．(2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在直線上，頂點B在x軸上，垂直軸，且，頂點在直線上，；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第一個；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第二個；如此下去，……，則的面積是．【答案】【分析】解直角三角形得出，，求出，證明，，得出，，總結(jié)得出，從而得出．【詳解】解：∵，∴，∵軸，∴點A的橫坐標為，∵，∴點A的縱坐標為，∴，∴，∵，∴設，則，∴，∴，∴，，∵，∴，∴平分，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，，∵軸，軸，∴，，∵軸，軸，軸，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，同理，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形面積的計算，平行線的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)規(guī)律探究，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是得出一般規(guī)律．13．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是正方形，點的坐標為，是以點為圓心，為半徑的圓?。皇且渣c為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點，，，為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點的坐標是．【答案】【分析】將四分之一圓弧對應的A點坐標看作順時針旋轉(zhuǎn)，再根據(jù)A、、、、的坐標找到規(guī)律即可．【詳解】∵A點坐標為，且為A點繞B點順時針旋轉(zhuǎn)所得，∴點坐標為，又∵為點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)所得，∴點坐標為，又∵為點繞C點順時針旋轉(zhuǎn)所得，∴點坐標為，又∵為點繞A點順時針旋轉(zhuǎn)所得，∴點坐標為，由此可得出規(guī)律：為繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)，且半徑為1、2、3、、n，每次增加1．∵，故為以點C為圓心，半徑為2022的順時針旋轉(zhuǎn)所得故點坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查了點坐標規(guī)律探索，通過點的變化探索出坐標變化的規(guī)律是解題的關鍵．三、解答題14．(2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題)［材料閱讀]用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究的值，其中．例求的值．方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知的結(jié)果等于該正方形的面積，即．方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖②可知的結(jié)果等于，，，…，…等各條豎直線段的長度之和，即兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距為1，所以，．

【實踐應用】任務一

完善的求值過程．

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知______．方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖④可知因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為______，所以，______．任務二

參照上面的過程，選擇合適的方法，求的值．任務三

用方法2，求的值(結(jié)果用表示)．【遷移拓展】長寬之比為的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形．觀察圖⑤，直接寫出的值．

【答案】任務一，方法1：；方法2：，；任務二，；任務三，；[遷移拓展]【分析】任務一，仿照例題，分別根據(jù)方法1，2進行求解即可；任務二，借助函數(shù)和得出交點坐標，進而根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距為2，即可得出結(jié)果；任務三

參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，得出交點坐標，即可求解；[遷移拓展]觀察圖⑤第一個正方形的面積為，第二個正方形的面積為，……進而得出則的值等于長寬之比為的矩形減去1個面積為的正方形的面積，即可求解．【詳