第23節(jié) 空間幾何體的表面積與體積（原卷版）

第23節(jié)空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)知識要夯實名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3基本技能要落實考點(diǎn)一空間幾何體的體積【例1】(2020·天津卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________.【例2】如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A. B. C. D.【方法技巧】1.(直接法)規(guī)則幾何體：對于規(guī)則幾何體，直接利用公式計算即可.若已知三視圖求體積，應(yīng)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，進(jìn)而利用公式求解.2.(割補(bǔ)法)不規(guī)則幾何體：當(dāng)一個幾何體的形狀不規(guī)則時，常通過分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計算.經(jīng)常考慮將三棱錐還原為三棱柱或長方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺體還原為錐體.3.(等積法)三棱錐：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個面作為三棱錐的底面.(1)求體積時，可選擇“容易計算”的方式來計算；(2)利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”，關(guān)鍵是在面中選取三個點(diǎn)，與已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A.3 B. C.1 D.2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.8π－ B.4π－C.8π－4 D.4π＋考點(diǎn)二多面體與球的切、接問題【例2】在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A.4π B. C.6π D.【方法技巧】1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【跟蹤訓(xùn)練】1.三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為()A.23π B.π C.64π D.π達(dá)標(biāo)檢測要扎實一、單選題1．由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長都相等的四棱錐），四個側(cè)面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為（

）A． B．C． D．2．已知一個圓錐的體積為，其側(cè)面積是底面積的2倍，則其底面半徑為（

）A． B．3 C． D．3．已知圓錐的表面積為3π，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．4．魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為（

）A． B． C． D．5．已知中，，，其頂點(diǎn)都在表面積為的球O的表面上，且球心O到平面ABC的距離為2，則的面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．106．在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為（

）A． B． C． D．7．四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（

）．A．過點(diǎn)E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2B．四面體ABCD的體積為C．AC與BD的公垂線段的長為D．過作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：48．已知正三棱錐和正四棱錐的所有棱長均為2，如圖將三棱錐的一個面和正四棱錐的一個側(cè)面重合在一起，得到一個新幾何體，則下列關(guān)于該新幾何體說法不正確的是（

）A． B．C．新幾何體為三棱柱 D．正四棱錐的內(nèi)切球半徑為二、多選題9．用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為，則關(guān)于上、下兩空間圖形的說法正確的是（

）A．側(cè)面積之比為 B．側(cè)面積之比為C．體積之比為 D．體積之比為10．一棱長等于1且體積為1的長方體的頂點(diǎn)都在同一球的球面上，則該球的體積可能是（

）A． B． C． D．11．如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的動點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐SO的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，E為線段AB上的動點(diǎn)，則的最小值為12．已知圖1中，、、、是正方形各邊的中點(diǎn)，分別沿著、、、把、、、向上折起，使得每個三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個如圖2所示的多面體，則（

）A．是正三角形B．平面平面C．直線與平面所成角的正切值為D．當(dāng)時，多面體的體積為三、填空題13．詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》，是古代人對一些特殊錐體的稱呼．在《九章算術(shù)?商功》中，把四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中平面，，，則四面體PABC的外接球的表面積為______．14．如圖，在棱長為1的正方體中，、、分別為線段、、的中點(diǎn)，下述四個結(jié)論：①直線、、共點(diǎn)；②直線、為異面直線；③四面體的體積為；④線段上存在一點(diǎn)使得直線平面．其中所有正確結(jié)論的序號為___________．15．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，為中點(diǎn)，，則球的體積為_______.16．早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構(gòu)成四種規(guī)則的立體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個面和多面角都全等．如圖，正二十面體是由20個等邊三角形組成的正多面體，共有12個頂點(diǎn)，30條棱，20個面，是五個柏拉圖多面體之一．如果把按計算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于___________．四、解答題17．有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度為）六角螺帽共重，已知該種規(guī)格的螺帽底面是正六邊形，邊長是，內(nèi)孔直徑為，高為，（1）求一個六角螺帽的體積；（精確到）（2）問這堆六角螺帽大約有多少個？（參考數(shù)據(jù)：）18．如圖，某幾何體的下部分是長?寬均為8，高為3的長方體，上部分是側(cè)棱長都相等且高為3的四棱錐，求：（1）該幾何體的體積；（2）該幾何體的表面積.19．養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12m，高為4m．養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）．(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪個方案更經(jīng)濟(jì)些？20．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圓錐形（如圖）.現(xiàn)把半徑為10cm的圓形蛋皮分成相同的5個扇形，用一個扇形蛋皮圍成錐形側(cè)面（蛋皮厚度忽略不計），