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2022-2023學(xué)年吉林省延邊朝鮮族自治州汪清四中高三第六次月考試卷(數(shù)學(xué)試題理)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則()A. B. C.1 D.22.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為()A. B. C. D.24.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.5.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)(指標(biāo)值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)6.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.7.運(yùn)行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為99,則判斷框中可以填()A. B. C. D.8.若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知雙曲線,為坐標(biāo)原點(diǎn),、為其左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在的漸近線上,,且,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.10.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)(其中),求得的回歸方程是,則下列說(shuō)法正確的是()A.至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B.若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對(duì)所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)11.正方形的邊長(zhǎng)為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.12.幻方最早起源于我國(guó),由正整數(shù)1,2,3,……,這個(gè)數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對(duì)角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.5050二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為.14.的展開(kāi)式中,的系數(shù)為_(kāi)______(用數(shù)字作答).15.執(zhí)行以下語(yǔ)句后,打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:_____.16.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;(Ⅱ)若的最小值為1,求的最小值.18.(12分)已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).(1)若a,且a≠0,證明:函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn);(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.(12分)等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項(xiàng),第3項(xiàng),第4項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.20.(12分)隨著改革開(kāi)放的不斷深入,祖國(guó)不斷富強(qiáng),人民的生活水平逐步提高,為了進(jìn)一步改善民生,2019年1月1日起我國(guó)實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策,其政策的主要內(nèi)容包括:(1)個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元;(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除;(3)專項(xiàng)附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費(fèi)用②子女教育費(fèi)用③繼續(xù)教育費(fèi)用④大病醫(yī)療費(fèi)用等.其中前兩項(xiàng)的扣除標(biāo)準(zhǔn)為:①贍養(yǎng)老人費(fèi)用:每月扣除2000元②子女教育費(fèi)用:每個(gè)子女每月扣除1000元.新個(gè)稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下:級(jí)數(shù)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)不超過(guò)3000元的部分超過(guò)3000元至12000元的部分超過(guò)12000元至25000元的部分超過(guò)25000元至35000元的部分稅率3102025(1)現(xiàn)有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要贍養(yǎng)老人,除此之外,無(wú)其它專項(xiàng)附加扣除.請(qǐng)問(wèn)李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為多少?(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況,現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領(lǐng)的相關(guān)資料,通過(guò)整理資料可知,有一個(gè)孩子的有400人,沒(méi)有孩子的有100人,有一個(gè)孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人,沒(méi)有孩子的人中有50人需要贍養(yǎng)老人,并且他們均不符合其它專項(xiàng)附加扣除(受統(tǒng)計(jì)的500人中,任何兩人均不在一個(gè)家庭).若他們的月收入均為20000元,依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,試估計(jì)在新個(gè)稅政策下這類人群繳納個(gè)稅金額的分布列與期望.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)是線段PC中點(diǎn),G為線段EC中點(diǎn).Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.22.(10分)如圖中,為的中點(diǎn),,,.(1)求邊的長(zhǎng);(2)點(diǎn)在邊上,若是的角平分線,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點(diǎn),進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,單減,當(dāng)時(shí),,單增;當(dāng)時(shí),,,當(dāng),,當(dāng)時(shí),單減,當(dāng)時(shí),單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當(dāng)與()相切時(shí),得,解得;當(dāng)與()相切時(shí),滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題3.B【解析】
首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪,點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處,根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短,利用勾股定理,求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬,圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處,所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短,所以處理方法就是將面切開(kāi)平鋪,利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.4.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進(jìn)而得出,由得出可計(jì)算出,由此可計(jì)算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),,則,,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對(duì)于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),故B正確;對(duì)于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對(duì)于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分,不是最強(qiáng)的,故D錯(cuò)誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】
由的解集,可知及,進(jìn)而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因?yàn)?,所以的解集為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,即可容易求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此時(shí)要輸出的值為99.此時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,涉及判斷條件的選擇,屬基礎(chǔ)題.8.D【解析】
由題可知,可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為方程有兩解,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上,即曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn),即方程有兩解,即有兩解,令,則,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故時(shí)取得極大值,也即為最大值,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以滿足條件.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.9.D【解析】
根據(jù),先確定出的長(zhǎng)度,然后利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式,化簡(jiǎn)后可得到的值,即可求漸近線方程.【詳解】如圖所示:因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以漸近線方程為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線中的長(zhǎng)度關(guān)系求解漸近線方程,難度一般.注意雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長(zhǎng)度的一半.10.D【解析】
對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn),但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯(cuò)誤;所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯(cuò)誤;若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯(cuò)誤;相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.11.C【解析】
分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù),可求,而,化簡(jiǎn)求解.【詳解】解:建立以為原點(diǎn),以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè),,,則,,由,即,得.所以=,所以當(dāng)時(shí),的最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃小⒚苛?、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對(duì)角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問(wèn)題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.4【解析】
由題意結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.據(jù)此可知:的最小值為4.【點(diǎn)睛】條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.14.60【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng),即可求得的系數(shù).【詳解】因?yàn)椋?,則所求項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:60【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.15.1【解析】
根據(jù)程序框圖直接計(jì)算得到答案.【詳解】程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的取值如下所示:是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán),所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:1故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.16.3【解析】
分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為:3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)的求解,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),令,作出的圖像,結(jié)合圖像即可求解;(Ⅱ)結(jié)合絕對(duì)值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼湊為,結(jié)合基本不等式即可求解;【詳解】(Ⅰ)令,作出它們的大致圖像如下:由或(舍),得點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,由對(duì)稱性知,點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2,因此不等式的解集為.(Ⅱ)..取等號(hào)的條件為,即,聯(lián)立得因此的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式、基本不等式,屬于中檔題18.(1)見(jiàn)解析(2)(3)【解析】
(1)若函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn),則,即有解,即可求證;(2)由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍;(3)由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【詳解】(1)證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)(2)解:由題,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以(3)解:由題,,由于,所以,所以(*)在R上有解,令,則,所以方程(*)變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件:,即,得【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn)的理解,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力.19.(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)題意同時(shí)利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.【詳解】(1)依題意得:,所以,所以解得設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以又(2)由(1)知,因?yàn)棰佼?dāng)時(shí),②由①②得,,即,又當(dāng)時(shí),不滿足上式,.數(shù)列的前2020項(xiàng)的和設(shè)③,則④,由③④得:,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì),錯(cuò)位相減法求和,考查學(xué)生的邏輯推理能力,化歸與轉(zhuǎn)化能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.是中檔題.20.(1)李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為元,(2)分布列詳見(jiàn)解析,期望為1150元【解析】
(1)分段計(jì)算個(gè)人所得稅額;
(2)隨機(jī)變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】解:(1)李某月應(yīng)納稅所得額(含稅)為:29600?5000?1000?2000=21600元
不超過(guò)3000的部分稅額為3000×3%=90元
超過(guò)3000元至12000元的部分稅額為9000×10%=900元,
超過(guò)12000元至25000元的部分稅額為9600×20%=1920元
所以李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+1920=2910元,
(2)有一個(gè)孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?1000?2000=12000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900=990元
有一個(gè)孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?1000=14000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900+400=1390元;
沒(méi)有孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?2000=13000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900+200=1190元;
沒(méi)有
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