數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：二面角及其度量

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.在60°的二面角α-a—β內(nèi)有一點(diǎn)P，P到α、β的距離分別為3和5，求P到棱a的距離（）A。B.C.14D。答案:A2.已知α-l-β為直二面角，A、B在l上，AC、BD分別在面α、β內(nèi),且AC與l的夾角為45°(如下圖的位置），BD⊥l,AC=，AB=2,BD=4，求CD的長(）A.B.C。D。4答案：C3。過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，作PA⊥平面ABCD，若PA=AB，求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小（)A.30°B。45°C.60°D。90°答案：B4.在梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90°,AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD，PA=a,則二面角P—CD-A為_______________。答案:arctan5.如右圖，ABCD是正方形,E是AB的中點(diǎn)，如果將△DAE和△CBE分別沿DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點(diǎn)為P，求面PCD與面ECD所成的二面角_________________.答案：30°6。如右圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求證：平面ABC⊥平面BSC.證明：∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°,∴AB=AC,取BC的中點(diǎn)O,連AO、SO,則AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS為二面角A—BC—S的平面角。設(shè)SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°。∴BC=a，SO=a,AO2=AC2-OC2=a2—a2=a2.∴SA2=AO2+OS2.∴∠AOS=90°.從而平面ABC⊥平面BSC。7.如右圖，PA⊥平面ABC,AC⊥BC，PA=AC=1，BC=，求二面角A-PB-C的大小.解：如題圖,作CH⊥AB于H,因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以CH⊥PA,從而CH⊥平面PAB.作HD⊥PB于D,連結(jié)CD,由三垂線定理得CD⊥PB,所以∠CDH為二面角A—PB—C的平面角.在Rt△ACB中，CH=?！逷A⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.在等腰直角三角形PCB中,易知CD=1，在Rt△CHD中，sin∠CDH==.故二面角A—PB-C的大小是arcsin。8.如右圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P是AD的中點(diǎn)，求二面角A—BD1解：過P作PF⊥AD1于F,∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥PF，∴PF⊥平面ABD1。由點(diǎn)F作FE⊥BD1于E,連結(jié)EF，則PE為平面ABD1的斜線，EF為PE在平面ABD1內(nèi)的射影，則PE⊥BD1.∴∠PEF為二面角A—BD1—P的平面角.∵Rt△AFP∽Rt△ADD1,∴，∴PF=。在△PBD1中，PD1=PB=，∵PE⊥BD1，∴BE=BD1=.在Rt△PBE中，PE=，在Rt△PEF中，sin∠PEF=,∴∠PEF=30°,∴二面角A-BD1—P的大小為30°。9。如右圖，在底面是直角梯形的四棱錐Ｓ-ABCD中，∠ABC＝90°,ＳA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝。求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。解析：如右圖，延長BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱。∵AD∥BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB.∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線。又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影?！郈S⊥SE。∴∠BSC是所求二面角的平面角.∵SB=,BC=1,BC⊥SB，∴tan∠BSC=，即所求二面角的正切值為。綜合運(yùn)用10。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分別是AB、BC、DD1的中點(diǎn)。求二面角M-B1解：用三垂線定理求二面角.BE⊥B1N，Q點(diǎn)為垂足，∵M(jìn)B⊥平面BB1N，BQ為斜線MQ在平面BB1中的射影，且BQ⊥B1N，∴MQ⊥B1N?！唷螧QM為二面角M-B1N—B的平面角。設(shè)AB=1,在Rt△BEC中，BC=1，BE=,cos∠NBQ=。在Rt△BNQ中,BQ=BNcos∠NBQ=·=。在Rt△MBQ中,tan∠MQB===，sin∠MQB=.∴二面角M—B1N—B的正弦值為.11.已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1=AB=1,M是CC1的中點(diǎn)，求面A1解:對無棱二面角傳統(tǒng)方法是先做出棱來，本題延長A1M交AC于N，連接BN,則可確定∠A1BA是所求二面角之平面角。以向量法解決這一類問題可以回避做圖找角的過程。這里只要求出兩半平面的法向量，求法向量夾角就可以了。簡解:如右圖建系，設(shè)面A1MB的法向量n=（1,m，n),由·n=0、·n=0,得m=,n=。又面ABC的法向量p=(0,0，1)，可解得cos〈n,p〉，即<n,p>=45°.因此，所求二面角的大小為45°.拓展研究12。如下圖，幾何體∠APC=90°，∠APB=60°,PB=BC=4,PC=3，求二面角B—PA-C的大小。解析：作BD⊥AP,D為垂足,∵CP⊥AP，∴二面角B-PA—C的大小等于〈，〉.在Rt△PBD中，BD=PB·sin∠BPA=4·sin60°=23，DP=BP·cos∠BPA=4·