微積分-經(jīng)管類-上冊4.1 空間解析幾何簡介

數(shù)量關(guān)系

—第4章空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—

點,

線,

面基本方法

—

坐標法;向量法坐標,方程（組）多元函數(shù)微分學(xué)

第4章第1節(jié)一、空間直角坐標系二、空間兩點間的距離三、曲面方程的概念四、常見的曲面及其方程空間解析幾何簡介ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點O,

坐標面

卦限(八個)ⅠzOx面在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標)原點O(0,0,0);坐標軸:坐標面:二、空間兩點間的距離得兩點間的距離公式:設(shè)兩點與過點分別作垂直于三個坐標軸的平面，

這六個平面圍成一個長方體，其棱長分別為例1.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點例2.

在z

軸上求與兩點等距解:

設(shè)該點為解得故所求點為及離的點.三、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).故所求方程為例3.

求動點到定點方程.特別,當(dāng)M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例4.

研究方程解:

配方得可見此方程表示一個球面說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為球心為一個球面,或點,或虛軌跡.四、常見的曲面及其方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般方程.任取一組滿足上述方程的數(shù)則1.平面

特殊情形?當(dāng)

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點的平面;?當(dāng)

A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xOy

面的平面;平行于yOz

面的平面；平行于zOx

面的平面.特別,當(dāng)平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.時,平面方程為例5.

求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程定義2.一條平面曲線2.旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:建立yOz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yOz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？例6.

求坐標面xOz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為3.柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在

xOy面上，表示圓C,沿圓周C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準線為xOy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線xOz

面上的曲線l3.母線柱面,準線

xOy

面上的曲線l1.母線準線

yOz面上的曲線l2.母線4.二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)特別,當(dāng)p=q時為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x