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三、立體的體積第4節(jié)一、微元法二、平面圖形的面積定積分的幾何應(yīng)用

第6章表示為1、什么問(wèn)題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)

有關(guān)的2)U

對(duì)區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過(guò)“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義一個(gè)整體量;2、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“積零為整,無(wú)限累加”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法稱為微元法

(或元素法

)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第二節(jié)二、平面圖形的面積設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)例2.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有例3.求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:三、立體的體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有例5.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a

時(shí),就得半徑為a的球體的體積例6.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.

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