2024-2025學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（二）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?2x?3>0}，B={1,2,3,4}，則A∩B=A.{1,2} B.{1,2,3} C.{3,4} D.{4}2.下列函數(shù)中在(π4,π2]A.y=cos(2x+π2) B.y=sin2x 3.已知a=log32，b=log43，c=0.51.2，比較aA.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c4.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π4)?3(ω>0)在[0,A.[256,296) B.[5.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若1a1+A.78 B.74 C.726.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足?x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有[f(x1A.(0,4) B.(0,+∞) C.(3,4) D.(2,3)7.已知角α，β滿足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)sinα，則tanβ=(

)A.13 B.17 C.168.已知x>0，y>0，且ex=x2A.y>e2 B.y2>ex+2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且公差d≠0，2a15A.a16=8

B.若S9=S10，則d=43

C.若d=?2，則Sn的最大值為S2110.已知f(x)=2x3?3xA.當(dāng)a=1時，若f(x)有三個零點，則b的取值范圍是(0,1)

B.當(dāng)a=1且x∈(0,π)時，f(sinx)<f(sin2x)

C.若f(x)滿足f(1?x)=2?f(x)，則a?2b=2

D.若f(x)存在極值點x011.設(shè)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)和g′(x)，滿足g(x)?f(1?x)=1，f′(x)=g′(x+3)，且g(x+1)為奇函數(shù)，則下列說法正確的是(

)A.f(0)=0 B.g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.f(x)的一個周期是4 D.k=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數(shù)列{an}滿足a3=5，a2n=2an+1，2an+113.函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f(4x?x14.若正實數(shù)a，b滿足a(lnb?lna+a)≥bea?1，則1ab四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記?ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知b+c?ab+c+a(1)求A；(2)若D為BC邊上一點，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=3，求sin16.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ln(1)證明：曲線y=f(x)是中心對稱圖形;(2)若f(2m?1)+f(m)<4，求實數(shù)m的取值范圍．17.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}，{bn}，an=(?1)n+2n，bn=an+1?λan(λ>0)，且{18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ex?a+ax2?3ax+1，a∈R．

(1)當(dāng)a>1時，試判斷f(x)在[1,+∞)上零點的個數(shù)，并說明理由；

(2)當(dāng)x≥0時，19.(本小題12分)

若存在常數(shù)k(k>0)，使得對定義域D內(nèi)的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)?f(x2)|≤k|x1?x2|成立，則稱函數(shù)f(x)在其定義域D上是“k?利普希茲條件函數(shù)”．

(1)判斷函數(shù)f(x)=1x是否是區(qū)間[1,+∞)上的“1?利普希茲條件函數(shù)”？并說明理由；

(2)已知函數(shù)f(x)=x3是區(qū)間[0,a](a>0)上的“3?利普希茲條件函數(shù)”，求實數(shù)a參考答案1.D

2.A

3.D

4.A

5.B

6.C

7.B

8.B

9.ABD

10.AD

11.BCD

12.2n13.(0,2)

14.e415.(1)

b+c?ab+c+a=(b+c)2?a2=b2+2bc+c2?a2=bc

，

則

b2(2)法①：如圖在

?ACD

中，由余弦定理C=3+16?23×4×32在

?ACD

中由正弦定理

CDsin∠DAC=ADsinC

，

即

因為

0<C<π3

，故

cos在

?ABC

中

sinB=sin法②：同解法①

CD=7

，在

?ACD

中由正弦定理

CD即

712=4sin又因為

∠ADC=∠BAD+∠B=B+π2

，即

cosB+π2=?法③同上

CD=7

，在直角

?ABD

中

BD=c2+3由(1)問知

a2=b2+c2+bc

，所以

c2+3+72=c2+4c+16

，

即

c法④如圖由(1)知

A=2π3

，則

∠CAD=因為

S?ABC=12×4csin2π3=12×3c+12×4×3sinπ6

，在

?ABC

中，由正弦定理

asinA=bsinB

，即

27

16.解：(1)由x2?x>02?x≠0，解得0<x<2，

f(2?x)+f(x)=ln2?xx+2(2?x)+(1?x)3+lnx2?x+2x+(x?1)3=4，

所以f(x)關(guān)于點(1,2)中心對稱．

(2)f(x)=lnx2?x+2x+(x?1)3=lnx?ln(2?x)+2x+(x?1)3，

f′(x)=1x+12?x+2+3x?12，17.解：(1)由an=(?1)n+2n，bn=an+1?λan(λ>0)，可得b1=a2?λa1=5?λ，

b2=a3?λa2=7?5λ，b3=a4?λa3=17?7λ，

由{bn}為等比數(shù)列，可得b22=b1b3，即(7?5λ)2=(5?λ)(17?7λ)，

解得λ=2(?118.解：(1)∵f(1)=e1?a?2a+1，f′(x)=ex?a+2ax?3a，則f′(1)=e1?a?a；

當(dāng)a>1時，f′′(x)=ex?a+2a>0，f′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

∵f′(1)=e1?a?a<e1?1?1=0，f′(a)=1+2a2?3a=(2a?1)(a?1)>0，

∴存在唯一的x0∈(1,a)，使得f′(x0)=0，

當(dāng)x∈(1,x0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(x0,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

又∵f(1)=e1?a?2a+1<e1?1?2+1=0，∴f(x0)<f(1)<0．

又∵f(3)=e3?a+1>0，

∴a>1時，f(x)在[1,+∞)上有且只有1個零點．

(2)①當(dāng)a>1時，f(1)=e1?a?2a+1<e0?2+1=0，與當(dāng)x≥0時，f(x)≥0矛盾，∴a>1時不滿足題意；

②當(dāng)a≤1時，f(0)=e?a+1>0，f′(x)=ex?a+2ax?3a，f′′(x)=ex?a+2a，f′′(0)=e?a+2a，

設(shè)g(x)=e?x+2x，x≤1，則g′(x)=?e?x+2，令g′(x)=0，得x=?ln2；

∴x∈(?ln2,1)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；x∈(?∞,?ln2)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；

∴g(x)≥g(?ln2)=2?2ln2>0，∴f′′(x)>0恒成立，∴f′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增；

(i)若f′(0)=e?a?3a≥0，則f′(x)≥f′(0)≥0，∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增；

∴f(x)≥f(0)>0恒成立，滿足題意．19.解：(1)依題意，?x1,x2∈[1,+∞),|f(x1)?f(x2)|=|1x1?1x2|=1x1x2|x1?x2|,

注意到

x1，x2∈[1,+∞)，因此

x1x2≥1，從而