2024屆中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)學(xué)科筆試模擬試題

2024屆中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)學(xué)科筆試模擬試題數(shù)學(xué)共15道試題，其中填空題14道，每題6分，解答題1道，16分，共計(jì)100分．一、填空題（本題共14小題，每小題6分，共84分）1．已知正整數(shù)a，b，c滿足，則的組數(shù)是__________．2．若函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)，則a的所有可能取值是__________．3．全集U有2024個(gè)元素，若，，，則__________．4．已知，是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，則__________．5．函數(shù)的值域是__________．6．已知，則的取值范圍是__________．7．的小數(shù)點(diǎn)后第100位數(shù)字是__________．8．投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體（各面標(biāo)有1，2，3，4，5，6），當(dāng)各次所得數(shù)字之和為6的整數(shù)倍時(shí)停止，則投擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是__________．9．?dāng)?shù)列，，則命題“，，”的否定是__________．10．在數(shù)字和中，更大的數(shù)字是__________．11．已知圓錐的高為1，底面直徑，則一螞蟻從點(diǎn)A沿著側(cè)面爬到點(diǎn)B，爬行距離的最小值是__________．12．函數(shù)滿足，，，且，則__________．13．直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是__________．14．已知，，，則y的取值范圍是__________．二、解答題（本題共1小題，共16分）15．已知斐波那契數(shù)列滿足，，求的個(gè)位數(shù)字．?dāng)?shù)學(xué)筆試試題解析一、填空題（本題共14小題，每小題6分，共84分）1．解：整理得．當(dāng)時(shí)，，只可能是，，；當(dāng)時(shí)，，解得，其中，2，3，4，共4組；當(dāng)時(shí)，，解得，無(wú)正整數(shù)解．顯然當(dāng)時(shí)亦無(wú)正整數(shù)解，則共有5組正整數(shù)解．2．解：設(shè)其二重零點(diǎn)為m，另一實(shí)根為n，則由韋達(dá)定理可知，解得．3．解：，類似的有，且，由集合的容斥原理有，等號(hào)可在時(shí)取得．4．解：整理得，因此，因此，進(jìn)而，，因此．5．解：變形可得，設(shè)，，則表示動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q和y軸的距離之和，由幾何意義顯然有．6．解：由于，即．另一方面有，因此，即．令可得，因此．一方面，，即，因此所求下界是，在，，時(shí)可取等；另一方面，我們只需求的最小值即可，由幾何意義可知其等價(jià)于點(diǎn)到單位圓面內(nèi)點(diǎn)的距離再減去2，因此當(dāng)，時(shí)取得最小值．即所求上界是，因此取值范圍是．7．解：設(shè)．則由特征方程可知其遞推式為．但注意到，都是整數(shù)，由數(shù)學(xué)歸納法可知是整數(shù)，但顯然有，因此所求小數(shù)點(diǎn)后第100位數(shù)字是9．8．解：注意到無(wú)論此前投擲情況如何，下一次投擲均有的幾率使得所求數(shù)字之和為6的整數(shù)倍，因此可轉(zhuǎn)換為的幾何分布，其數(shù)學(xué)期望．9．解：其否定是“，，”．10．解：同時(shí)取e為底的對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)換為比較和的大?。O(shè)，則，即在上單調(diào)遞減，因此，代回可知．11．解：考察其側(cè)面展開圖，半徑，弧長(zhǎng)，解得．因此爬行距離的最小值是．12．解：令可得，從而；另一方面有，因此，即．令可得，因此．13．解：0，1，2個(gè)交點(diǎn)．14．解：．二、解答題（本題共1小題，共16分）15．解：來(lái)吧happy起來(lái)吧直接開始枚舉吧！為什么可以枚舉呢，注意到連續(xù)兩項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字組成的二元數(shù)組最多僅有100種不同的情況，在1958項(xiàng)的前提下必然