2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考二輪復(fù)習(xí)增分強(qiáng)化練二十五概率離散型隨機(jī)變量及其分布理含解析

PAGE增分強(qiáng)化練(二十五)考點(diǎn)一古典概型與幾何概型1．一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1－6的6個(gè)大小和形態(tài)都相同的小球，其中1到4號(hào)球是紅球，其余兩個(gè)是黃球，若從中任取兩個(gè)球，則取的兩個(gè)球顏色不同，且恰有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率是()A.eq\f(1,15) B.eq\f(2,15)C.eq\f(3,15) D.eq\f(4,15)解析：盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1－6的6個(gè)大小和形態(tài)都相同的小球，其中1到4號(hào)球是紅球，5,6號(hào)是黃球，從中任取兩個(gè)球，有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15種狀況，恰有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)且顏色不同的有16,25,36,45共有4種狀況，故所求概率P＝eq\f(4,15).故選D.答案：D2．(2024·合肥模擬)某商場(chǎng)進(jìn)行購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則是：在一個(gè)封閉的紙箱中裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4,5的五個(gè)小球，每次摸獎(jiǎng)須要同時(shí)取出兩個(gè)球，每位顧客最多有兩次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號(hào)碼連號(hào)，則中獎(jiǎng)，摸獎(jiǎng)結(jié)束；若第一次未中獎(jiǎng)，則將這兩個(gè)小球放回后進(jìn)行其次次摸球．若與第一次取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相同，則為中獎(jiǎng)．依據(jù)這樣的規(guī)則摸獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50) D.eq\f(41,100)解析：分兩種狀況，第一種第一次摸到連號(hào)，則概率為P(A)＝eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，其次種狀況對(duì)應(yīng)概率為P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)－4,C\o\al(2,5))·eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(3,50)，所以概率為P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50)，故選C.答案：C考點(diǎn)二相互獨(dú)立事務(wù)和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1．(2024·內(nèi)江模擬)設(shè)隨機(jī)變量X～N(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是()(注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0．6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9544.A．7539 B．7028C．6587 D．6038解析：由題意知，正方形的邊長(zhǎng)為1，所以正方形的面積為S＝1，又由隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布X～N(1,1)，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱，且σ＝1，又由P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826，即P(0<X<2)≈0.6826，所以陰影部分的面積為S1＝1－eq\f(0.6826,2)＝0.6587，由面積比的幾何概型可得概率為P＝eq\f(S1,S)＝0.6587，所以落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是10000×0.6587＝6587，故選C.答案：C2．(2024·南昌模擬)某品牌餐飲公司打算在10個(gè)規(guī)模相當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開(kāi)設(shè)加盟店，為合理支配各地區(qū)加盟店的個(gè)數(shù)，先在其中5個(gè)地區(qū)試點(diǎn)，得到試點(diǎn)地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)分別為1,2,3,4,5時(shí)，單店日平均營(yíng)業(yè)額y(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下：加盟店個(gè)數(shù)x(個(gè))12345單店日平均營(yíng)業(yè)額y(萬(wàn)元)10.910.297.87.1(1)求單店日平均營(yíng)業(yè)額y(萬(wàn)元)與所在地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)x(個(gè))的線性回來(lái)方程；(2)該公司依據(jù)回來(lái)方程，確定在其他5個(gè)地區(qū)中，開(kāi)設(shè)加盟店個(gè)數(shù)為5,6,7的地區(qū)數(shù)分別是2,1,2.小趙與小王都打算加入該公司的加盟店，但依據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從這5個(gè)地區(qū)的30個(gè)加盟店中隨機(jī)抽取一個(gè)加入．記事務(wù)A：小趙與小王抽取到的加盟店在同一個(gè)地區(qū)，事務(wù)B：小趙與小王抽取到的加盟店預(yù)料日平均營(yíng)業(yè)額之和不低于12萬(wàn)元，求在事務(wù)A發(fā)生的前提下事務(wù)B發(fā)生的概率．(參考數(shù)據(jù)及公式：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝125，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，線性回來(lái)方程eq\o(y,\s\up11(^))＝eq\o(b,\s\up11(^))x＋eq\o(a,\s\up11(^))，其中eq\o(b,\s\up11(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up11(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up11(^))eq\x\to(x).)解析：(1)由題可得，eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9，設(shè)所求線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up11(^))＝bx＋a，則eq\o(b,\s\up11(^))＝eq\f(125－135,55－45)＝－1，將eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9代入，得eq\o(a,\s\up11(^))＝9－(－3)＝12，故所求線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up11(^))＝－x＋12.(2)依據(jù)回來(lái)方程，加盟店個(gè)數(shù)為5的地區(qū)單店預(yù)料日平均營(yíng)業(yè)額為7萬(wàn)元，加盟店個(gè)數(shù)為6的地區(qū)單店預(yù)料日平均營(yíng)業(yè)額為6萬(wàn)元，加盟店個(gè)數(shù)為7的地區(qū)單店預(yù)料日平均營(yíng)業(yè)額為5萬(wàn)元；P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,7)×2,C\o\al(2,30))＝eq\f(77,435)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6),C\o\al(2,30))＝eq\f(35,435)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,11).考點(diǎn)三隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1．(2024·云南質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(1,2)，則D(2ξ＋3)＝________.解析：∵隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(1,2)，∴D(ξ)＝2，則D(2ξ＋3)＝22×D(ξ)＝8.答案：82．(2024·保定模擬)某次聘請(qǐng)分為筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié)，且只有筆試過(guò)關(guān)者方可進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，筆試與面試都過(guò)關(guān)才會(huì)被錄用．筆試需考完全部三科，且至少有兩科優(yōu)秀才算筆試過(guò)關(guān)，面試需考完全部?jī)煽魄覂煽凭鶠閮?yōu)秀才算面試過(guò)關(guān)．假設(shè)某考生筆試三科每科優(yōu)秀的概率均為eq\f(2,3)，面試兩科每科優(yōu)秀的概率均為eq\f(3,4).(1)求該考生被錄用的概率；(2)設(shè)該考生在此次聘請(qǐng)活動(dòng)中考試的科目總數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．解析：(1)該考生被錄用，說(shuō)明該考生筆試與面試均得以過(guò)關(guān)．所以P＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋C\o\al(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·\f(1,3)))·eq\f(3,4)·eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).(2)易得ξ的可能取值為3,5.∴P(ξ＝3)＝1－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋C\o\al(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·\f(1,3)))＝1－eq\f(20,27)＝eq\f(7,27)，P(ξ＝5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\