新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案42平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

課標(biāo)要求考情分析

1.了解平面向量基本定理及其意

義.1.本節(jié)是高考中的?？純?nèi)容，涉及

2.掌握平面向量的正交分解及其平面向量基本定理的應(yīng)用，向量的

坐標(biāo)表示.坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算.

3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、2.命題形式多種多樣，題型以選

減法與數(shù)乘運(yùn)算.擇題、填空題為主，常以創(chuàng)新型的

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共題目出現(xiàn)，屬中低檔題.

線的條件.

知識(shí)點(diǎn)一平面向量基本定理

如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)丕共線向量，那么對(duì)于這一平面

內(nèi)的任意向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)力,彩，使。=2⑹+A2C2.

其中，不共線的向量約，C2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組

基底.

知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

設(shè)a=(x”yi),b=(m,”)，則a+b=(為+尤2,/+應(yīng))，a—b=(x\

一必)”一，2)，2a=(如，Ri),⑷

2.向量坐標(biāo)的求法

(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

-A

(2)設(shè)A(xi,yi),Bg了2),則A，=Cx2—沏，y2—yi),

—?

\AB\=(X2—X1)2+?2—y1)2.

知識(shí)點(diǎn)三平面向■共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),>=(X2,玫)，其中力WO.a,b共線0即丫2—Eyi=

0.

1.思考辨析

判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“義”)

(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底.(X)

(2)若a,》不共線，且21。+〃1方=22。+42萬(wàn)，則41=義2,〃1=〃2.(J)

—?—?

(3)在等邊三角形ABC中，向量A3與的夾角為60。.(X)

(4)若。=(汨，y),b=g,玖)，則。〃b的充要條件可表示成3=

".(X)

(5)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.(J)

(6)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐

標(biāo).(V)

2.小題熱身

(1)已知平面向量。=(1,1),6=(1,—1),貝響量;a—前=(D)

A.(—2,—1)B.(—2,1)

C.(-1,0)D.(-L2)

―?-?

(2)已知點(diǎn)40/)，5(3,2),向量4。=(—4,一3),則向量8。=(A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

177

⑶已知向量a=(2,3),ft=(—1,2),若加〃+泌與a—2辦共線，貝?斤

1

=

2

(4)向量0,力麗足a+5=(-1,5),a—5=(5,—3),則力=(—3,4).

—?-A—?—?

(5)在平行四邊形ABC。中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M為BC

的中點(diǎn)，則MN=二;生土?xí)ㄓ谩?，力表示?

1313

解析:⑴因?yàn)閍=（l,l）,6=（1,-1）,所以3q—；。=5（1』）一不（1,

(2)根據(jù)題意得46=(3/)，???8C=4C-A8=(—4,-3)-(3,1)=(-

7,-4).故選A.

(3)由已知條件有ina+nb=(2mf3tn)+(—2n)=(2m—nt3m+2n),a

2m-n

-2A=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),由3+汕與。-25共線，則有:—

3m+2〃m1

=—-—,所以〃-2加=12m+8〃，所以]=-]

(4)由〃+/>=(-1,5),。一〃=(5,—3),

得26=(—1,5)—(5,—3)=(—6,8),

所以*=1(—6,8)=(-3,4).

33

(5)因?yàn)锳N=3NC,所以AN=a4C=Z(a+〃),

又因?yàn)锳M=a+g瓦

所以MN=AN—AM=[(a+》)一(0

考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用

【例1】如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是A3的中點(diǎn)，且AN=T

-A-?-A->

NC,6N與CM相交于點(diǎn)E,設(shè)AC=b,則AE等于（）

211,2

A.尹+予B.ga+gb

20P,所以。P=wOA+[O8.由OM=mOB,ON=nOAt所以。B=^OM,

“1ff1f1f1

OA=~ON,所以。尸=赤0加+“ON,因?yàn)镸,P,N三點(diǎn)共線，故通

133

+薪=1,當(dāng)機(jī)=w時(shí)，77=].故選C.

考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例2】(1)己知點(diǎn)M(5,—6)和向量Q=(1,-2),若MN=-3a,

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()

A.(2,0)B.(-3,6)

C.(6,2)D.(-2,0)

-A-?

(2)在△A8C中，點(diǎn)P在8C上，且8P=2PC,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

-A-?-?

若%=(4,3),PQ=(1,5),則BC=.

【解析】(1)MN=-3。=—3(1,—2)=(—3,6),

設(shè)Mx,y),則MN=(x-5,y+6)=(—3,6),

x-5=-3,x=2,

所以，即＜

丁+6=6,b=o.

⑵???42=PQ_%=(_3,2),

???AC=2AQ=(-6,4).

-A-A-A-A-A

VPC=B4+AC=(-2,7),JBC=3PC=(-6,21).

【答案】(1)A(2)(-6,21)

方法技巧

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已

知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則.

1.若向量a=(2/)，5=(—1,2),c=((，引，則c可用向量a,b

表示為(A)

A.za+ftB.

-3,1^31,

C.^a+^bu.^a—^b

解析：設(shè)c=xa+)也則(0,1j=(2x-y,x+2y),所以

2%一產(chǎn)0,[1

5解得＜2則c=ia+〃.

2

x+2y,v=i

2.已知平行四邊形48CQ中，AQ=(3,7),46=(—2,3),對(duì)角線

AC與BD交于點(diǎn)、O,則。。的坐標(biāo)為(D)

A.(一35)B.&5)

1(1

解析:AC=A3+AD=(-2,3)+(3,7)=(1/0),???0。=洲。=6，5

：.CO=——5

考點(diǎn)三平面向■共線的坐標(biāo)表示

【例3】(1)若I,B,C,。四點(diǎn)共線，且滿足AB=(3a,2a)3#0),

0)=(2,t),則，等于()

A/D#.3

C.3D.-3

(2)已知向量a=(加,4),b=(3,—2),且a〃"則加=.

(3)設(shè)向量mb滿足同=2小，6=(2』)，且。與b的方向相反，則

a的坐標(biāo)為.

—?—?

【解析】(1)因?yàn)锳,B,C,。四點(diǎn)共線，所以43〃CO,故3。?，

4

=2(7-2,￡=].故選B.

(2)由題意知一2機(jī)—12=0,m=—6.

(3)因?yàn)閎=(2,1),且。與方的方向相反，所以設(shè)。=(2九2)(A<0),

因?yàn)棰?2小，所以422+22=20,A2=4,2=—2.所以〃=(—4,—2).

【答案】(1)B(2)-6(3)(-4,-2)

方法技巧

(1)向量共線的兩種表示形式

設(shè)。=(汨，yi),b=(xz,>2),①a〃〃=a=2〃SW0)；?a//b<^x\yz

-X2y\=0.

(2)兩向量共線的充要條件的作用

判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點(diǎn)共線問題；另外，利用兩

向量共線的充要條件可以列出方程(組％求出未知數(shù)的值.

1.已知點(diǎn)41,3)，8(4,-1),則與同方向的單位向量是(A)

A.&V)B.修_1)

(34)(43]

C.H，5)D.H，5)

―?—?-?

解析：AB=OB-OA=(4,-1)-(1,3)=(3,一4),

-A

???與A5同方向的單位向量為二-=[；,一習(xí).

\AB\

2.設(shè)向量OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(~bfO)f其中O