【經(jīng)典含解析及考點卡片】2017-2021年河南中考數(shù)學真題分類匯編之三角形和四邊形

2017-2021年河南中考數(shù)學真題分類匯編之三角形和四邊形

一.選擇題（共6小題）

1.（2021?河南）關于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是（）

A.四條邊相等B.對角線相等

C.對角線互相垂直D.是軸對稱圖形

2.（2017?河南）我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2

的正方形ABC。的邊A8在x軸上，A8的中點是坐標原點。，固定點A,B,把正方形沿

箭頭方向推，使點力落在y軸正半軸上點。'處，則點C的對應點C'的坐標為（）

A.（V3-1）B.（2,1）C.（1,愿）D.（2,V3）

3.（2017?河南）如圖，在“ABCD中，對角線AC,8。相交于點O,添加下列條件不能判

A.AC1BDB.AB=BCC.AC=BDD.Z1=Z2

4.（2019?河南）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,/。=90°,AD=4,BC=3.分別

以點4,C為圓心，大于2AC長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線交于點F,

2

交4c于點。.若點。是AC的中點，則CO的長為（）

B

A.25/2B.4C.3D.^/7o

5.（2020?河南）如圖，在△ABC中，AB=BC=gNB4C=30°,分別以點A,C為圓

心，AC的長為半徑作弧，兩弧交于點D,連接DA,DC,則四邊形ABCD的面積為（）

6.（2020?河南）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,邊BC在x軸上，頂點A,B的坐標分

別為（-2,6）和（7,0）.將正方形OCDE沿x軸向右平移，當點E落在A8邊上時，

二.填空題（共2小題）

7.如圖，ZMAN=90°，點C在邊AM上，AC=4,點B為邊AN上一動點，連接BC,△

A'8c與△ABC關于BC所在直線對稱，點。，E分別為AC,BC的中點，連接OE并

延長交A'B所在直線于點F,連接A'E.當aA'EF為直角三角形時，AB的長

8.（2020?河南）如圖，在邊長為2圾的正方形A8CZ）中，點E,尸分別是邊A8,8c的中

點，連接EC,FD,點G,H分別是EC,FD的中點，連接GH,則GH的長度為

9.(2021?河南)下面是某數(shù)學興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，請

仔細閱讀，并完成相應的任務.

小明：如圖1,(1)分別在射線OA,08上截取OC=。。，OE=OF(點C,E不重合);

(2)分別作線段CE,DF的垂直平分線/I,11,交點為P,垂足分別為點G,H；(3)

作射線OP,射線OP即為NAOB的平分線.

簡述理由如下：

由作圖知，ZPGO=ZPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以RtaPGO&RtZ\P”。，

則/POG=NPOH,即射線。尸是/AO8的平分線.

小軍：我認為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進如下，如圖2,(1)

分別在射線OA,上截取OC=。。，OE=O尸(點C,E不重合)；(2)連接OE,CF,

交點為P;(3)作射線OP.射線OP即為NAOB的平分線.

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤”L

(2)小軍作圖得到的射線OP是/AOB的平分線嗎？請判斷并說明理由.

(3)如圖3,已知乙4。8=60°,點E,尸分別在射線OA,08上，且。E=。產(chǎn)=技1.點

C,。分別為射線04,08上的動點，且OC=O。，連接。E,CF,交點為P,當/CPE

=30°時，直接寫出線段OC的長.

10.(2017?河南)如圖，在等邊三角形ABC中，AC=4,點。，E分別是邊AC,BC的中

點，點Q,E同時沿射線。E的方向以相同的速度運動，某一時刻分別運動到點M,N處,

連接CM,CN,AM,BN.

(1)寫出圖1中的一對全等三角形；

(2)如圖2所示，當點M在線段QE延長線上時，畫出示意圖，判斷(1)中所寫的一

對三角形是否仍然全等，并說明理由；

(3)在點。運動的過程中，若△ACM是直角三角形，直接寫出此時線段CN的長度.

11.(2020?河南)將正方形A8CD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB',記旋轉(zhuǎn)角為a,連

接BB',過點力作OE垂直于直線88,，垂足為點E,連接。B',CE.

(1)如圖1,當a=60°時，ADEB'的形狀為，連接BD,可求出些一的值

CE

為;

(2)當0°VaV360°且aW90°時，

①(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成

立，請說明理由；

②當以點B',E,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出的值.

B'E

如圖1,在△OAB和△OCQ中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,連接AC,

8。交于點M.填空：

①此的值為:

BD

②NAM8的度數(shù)為

(2)類比探究

如圖2,在△Q4B和△0C。中，/AOB=/COO=90°,/04B=/OC￡)=30°,連接

AC交B。的延長線于點M.請判斷柜的值及N4WB的度數(shù)，并說明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，將△OCO繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,8。所在直線交于點M,若?！?

=1,OB=H請直接寫出當點C與點例重合時AC的長.

B

'B

圖1圖2備用圖

2017-2021年河南中考數(shù)學真題分類匯編之三角形和四邊形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

1.（2021?河南）關于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是（）

A.四條邊相等B.對角線相等

C.對角線互相垂直D.是軸對稱圖形

【考點】菱形的性質(zhì)；軸對稱圖形.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)逐一推理分析即可選出正確答案.

【解答】解：A.菱形的四條邊相等，正確，不符合題意，

B.菱形的對角線互相垂直且平分，對角線不一定相等，不正確，符合題意，

C.菱形的對角線互相垂直且平分，正確，不符合題意，

D.菱形是軸對稱圖形，正確，不符合題意，

故選：B.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的基本性質(zhì)并能正確分析推理是解題的關

鍵.

2.（2017?河南）我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2

的正方形A8C。的邊A3在x軸上，A8的中點是坐標原點O,固定點A,B,把正方形沿

箭頭方向推，使點。落在y軸正半軸上點￡?'處，則點C的對應點C'的坐標為（）

A.（?,1）B.（2,1）C.（1,?）D.（2,?）

【考點】正方形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理.

【分析】由已知條件得到AD1=AD=2,4O=LB=1,根據(jù)勾股定理得到OD'=

2

,虹），~2_0=V3，于是得到結(jié)論.

【解答】解：=AD=2,

A0=AA8=1,

2

:"0D,=VAD?2-OA2=^

,:C'D'=2,C'D'//AB,

：.C（2,遍），

故選：D.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是

解題的關鍵.

3.（2017?河南）如圖，在。ABC。中，對角線AC,8。相交于點O,添加下列條件不能判

定nABCD是菱形的只有（）

A.ACLBDB.AB=BCC.AC=BDD.Nl=/2

【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì).菱形的判定方法即可一一判斷.

【解答】解：A、正確.對角線垂直的平行四邊形的菱形.

8、正確.鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

C、錯誤.對角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是菱形.

。、正確.可以證明平行四邊形ABC。的鄰邊相等，即可判定是菱形.

故選：C.

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握菱形

的判定方法.

4.（2019?河南）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,ZD=90°,AD=4,BC=3.分別

以點A,C為圓心，大于上AC長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線BE交AO于點F,

交AC于點O.若點。是AC的中點，則CD的長為（)

E

A.2&B.4C.3D.^/lQ

【考點】勾股定理；作圖一基本作圖；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形.

【分析】連接FC,根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC,由垂直平分線的性質(zhì)得出AF

=FC.再根據(jù)ASA證明△FOA絲△8OC,那么AF=BC=3,等量代換得到FC=AF=3,

利用線段的和差關系求出FD=AD-AF^\.然后在直角△尸DC中利用勾股定理求出CD

的長.

【解答】解：如圖，連接FC,則OE垂直平分AC,

貝ijAF=FC.

'：AD//BC,

：.ZFAO=ZBCO.

在△FOA與△BOC中，

"ZFAO=ZBCO

-OA=OC，

ZAOF=ZCOB

：./\FOA^/\BOC(ASA),

；.AF=8C=3,

；.FC=AF=3,F0=AO-AF=4-3=1.

在△F￡?C中，VZD=90°,

ACD2+DF2=FC2,

.".CD2+12=32,

:.CD=2?.

故選：A.

E

臚

【點評】本題考查了作圖-基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì)，難度適中.求出C尸與。尸是解題的關鍵.

5.（2020?河南）如圖，在△ABC中，AB=BC=EZBAC=30°,分別以點A,C為圓

心，AC的長為半徑作弧，兩弧交于點D,連接DA,DC,則四邊形ABCD的面積為（）

【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力.

【分析】連接BO交AC于。，根據(jù)已知條件得到8。垂直平分AC,求得BOLAC,AO

=C。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到乙4c8=/8AC=30°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到

ZDAC=ZDCA=60°,求得A。=8=愿48=3,于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接BO交AC于O,

\"AD=CD,AB=BC,

垂直平分AC,

：.BDLAC,40=CO,

.?.NACB=NBAC=30°,

\'AC=AD=CD,

...△4C￡）是等邊三角形，

：.ZDAC=ZDCA=60°,

:.NBAD=NBCD=90°,NADB=NCDB=30°,

,:AB=BC=M，

：.AD=CD=y/^\B=3,

，四邊形A8CO的面積=2X￡x3X、/§=3?，

故選：D.

【點評】本題考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和

性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

6.(2020?河南)如圖，在△A8C中，ZACB=90Q,邊3c在x軸上，頂點A,B的坐標分

別為(-2,6)和(7,0).將正方形OCDE沿x軸向右平移，當點E落在AB邊上時，

【考點】正方形的性質(zhì)：坐標與圖形變化-平移.

【專題】矩形菱形正方形；運算能力.

【分析】根據(jù)已知條件得到AC=6,OC=2,OB=7,求得BC=9,根據(jù)正方形的性質(zhì)

得至IJDE=OC=OE=2,求得O‘E'=0,C=2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BO'

=3,于是得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，設正方形?！瓹'O'E'是正方形OCZJE沿x軸向右平移后的正方

形，

?.?頂點A,8的坐標分別為(-2,6)和(7,0),

：.AC=6,OC=2,08=7,

：.BC=9,

.?四邊形OCQE是正方形，

,.DE=OC=OE=2,

'.O'E'=0'C=2,

：E'O'J_BC,

"B0'E'=ZBCA=90",

\E'O'//AC,

?△BO'E'sXBCA,

?E'O'=B0'.

AC-BC

.?-2-1一BO'9

69

:BO'=3,

\OC=7-2-3=2,

,.當點E落在A8邊上時，點。的坐標為（2,2）,

方法二：設直線AB的解析式為y^kx+b,

:頂點A,8的坐標分別為(-2,6)和(7,0).

.[-2k+b=6

17k+b=0'

.?N4CB=90°,邊8c在x軸上，，C點的坐標為(-2,0),

?.正方形OCQE的邊長為2,

-.E(0,2),設點E沿x軸平移后落在48邊上的坐標為(a,2),

由尸一全號得,2=貨+學

??〃=4,

當點E落在48邊上時，點。的坐標為(2,2),

故選:B.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確

的識別圖形是解題的關鍵.

二.填空題（共2小題）

7.如圖，ZMAN=90a，點C在邊AM上，AC=4,點B為邊AN上一動點，連接8C,△

A'8C與aABC關于所在直線對稱，點￡>,E分別為AC,BC的中點，連接。E并

延長交A'3所在直線于點F,連接A'￡當△△'EF為直角三角形時,AB的長為」點

【考點】三角形中位線定理；軸對稱的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】推理填空題；分類討論.

【分析】當△/!'EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當/A，EF=90°時，如圖1,根據(jù)對稱的性質(zhì)和平行線可得：4C=AE=4,根據(jù)直角

三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC=24E=8,最后利用勾股定理可得AB的長；

②當NAFE=90°時，如圖2,證明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

【解答】解：當￡F為直角三角形時，存在兩種情況：

①當/4EF=90°時，如圖1,

'BC與△ABC關于BC所在直線對稱，

."C=4C=4,ZACB=ZA'CB,

:點。，E分別為AC,BC的中點,

：.D.E是△ABC的中位線，

J.DE//AB,

：?NCDE=NMAN=9U°,

:?NCDE=ZA'EF,

：.ZACB=ZA'EC,

l

：.ZA'CB=ZAECf

???AC=A'E=4,

8△4C8中，YE是斜邊BC的中點，

???8C=2A'E=8,

222

由勾股定理得：AB=BC-AC9

：?AB=\82_42=4我;

②當NA'FE=90°時，如圖2,

VZADF=ZA=ZDFB=90°,

/.ZABF=90°,

「△A'BC與△ABC關于BC所在直線對稱,

AZABC=ZCBA,=45°,

:?△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=AC=4；

綜上所述，A8的長為4y或4；

故答案為：4。^或4；

【點評】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形

的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問題.

8.（2020?河南）如圖，在邊長為2圾的正方形ABCD中，點E,尸分別是邊AB,8C的中

點，連接EC,FD,點G,H分別是EC,尸。的中點，連接G",則G”的長度為1.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)：勾股定理：正方形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力.

（分析】方法一:連接CH并延長交AD于P,連接PE,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到N4=90°,

AD//BC,AB=AO=8c=2。5，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD=CF=M，根據(jù)勾股定

理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論.

方法二：設。凡CE交于O,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NB=/r>CF=90°,BC=CD=AB,

根據(jù)線段中點的定義得到BE=CF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=DF,NBCE=N

CDF,求得OFLCE,根據(jù)勾股定理得到CE=DF=q6⑥2+2=萬,點G,

H分別是EC,PC的中點，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：方法一：連接CH并延長交AZ）于尸，連接尸E,

?.?四邊形ABC。是正方形，

AZA=90°,AD//BC,AB=AD=BC=2^

,:E,尸分別是邊A8,8c的中點,

AE=CF=/X2料=如，

'JAD//BC,

:.NDPH=NFCH,

:2DHP=NFHC,

,:DH=FH,

:ZDH烏△CFH(A4S),

：.PD=CF=y/2>

:.AP=AD-PD=?,

P￡=VAP2+AE2=V(V2)2+(V2)2=2

?.?點G,”分別是EC,CP的中點，

.?.G”=&P=1；

2

方法二：設。F,CE交于0,

:四邊形A8CZ)是正方形，

:.NB=NDCF=90°,BC=CD=AB,

?點E,尸分別是邊AB,BC的中點，

:.BE=CF,

:.△CBEmADCF(SAS),

：.CE=DF,NBCE=NCDF,

VZCDF+ZCFD=90°,

:.NBCE+NCFD=90°,

：.ZC0F=90°,

：.DF±CE,

；?CE=DF=d(2&)2+(&)2=VT5,

?.?點G,，分別是EC,PC的中點，

：.CG=FH=J^-,

2

；NDCF=90°,C0±DF,

：.ZDCO+ZFCO=ZDCO+ZCDO=90°,

:?/FCO=/CDO,

9：ZDCF=ZCOF=90Q,

：./\COF^/\DOC,

ACF=OF,

**DFCF，

:.C產(chǎn)=0尸?。尸，

...np-CF2-（V2）2-VW

DFV105

QH^,0￡）=Wlo.,

105

VZCOF=ZCOD=90°,

:.△COFs^DCF,

??---O-F--=:--O-C-,

OCOD

：.Od=OF*OD,

OG=CG-0C=^^--2vl^=2/1^,

2____5_10

'"G={OG240H2=梏*=\,

故答案為：1.

9：

【點評】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別

圖形是解題的關鍵.

三.解答題（共4小題）

9.（2021?河南）下面是某數(shù)學興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，請

仔細閱讀，并完成相應的任務.

小明：如圖1,（1）分別在射線OA,OB上截取OC=。。，OE=OF（AC,E不重合）;

（2）分別作線段CE,OF的垂直平分線/1,12,交點為P,垂足分別為點G,H；（3）

作射線。尸，射線OP即為NAQB的平分線.

簡述理由如下：

由作圖知，NPGO=/PHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以RtZXPGOgRtZXP”。，

則/POG=NPOH,即射線OP是NA03的平分線.

小軍：我認為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進如下，如圖2,（1）

分別在射線0A,上截取0C=。。，0E=0尸（點C,E不重合）；（2）連接DE,CF,

交點為P;（3）作射線0P.射線0P即為NA08的平分線.

（2）小軍作圖得到的射線0P是/A08的平分線嗎？請判斷并說明理由.

（3）如圖3,已知/AOB=60°,點E,尸分別在射線0A,。8上，且0匹=。/=心1.點

C,。分別為射線0A,08上的動點，KOC=OD,連接。E,CF,交點為P,當NCPE

=30°時，直接寫出線段OC的長.

【考點】三角形綜合題.

【專題】幾何綜合題；應用意識.

【分析】（1）由作圖得，NPGO=NPHO=90°,OG=OH,OP=OP,可知RtAPGO

會n△P”。的依據(jù)”L；

（2）由作圖得，OC=OC,OE=OF,再根據(jù)對頂角相等、公共角等條件可依次證明△

DOEQCOF、/\CPE^/\DPF.從而得至【JNPOE=NPOR所以。尸

是NAOB的平分線；

（3）連接OP,由已知條件可證明NOPC=NOCP=75°,從而得OP=OC,再過點P

作OA的垂線構造含有特殊角的直角三角形，利用其三邊的特殊關系求出OC的長.

【解答】解：(1)如圖1,由作圖得，OC=OD,OE=OF,PG垂直平分CE,PH垂直

平分。F,

:.NPGO=NPHO=90°,

OE-OC=OF-OD,

：.CE=DF,

vCG=ACE,DH=LDF,

22

：.CG=DH,

OC+CG=OD+DH,

:.OG=OH,

"：OP=OP,

；.RtAPGO注RtAPHO(HL),

故答案為：⑤.

(2)射線OP是NAOB的平分線，理由如下：

如圖2,VOC=OD,ZDOE=ZCOF,OE=OF,

.?.△OOE絲△CO尸(SAS),

：.ZPEC^ZPFD,

；NCPE=NDPF,CE=DF,

.".△CPfi^ADPF(AAS),

：.PE=PF,

VOE=OF,NPEO=NPFO,PE=PF,

:.△OPE^AOPF(SAS),

Z.ZPOE=ZPOF,即ZPOA=ZPOB,

射線OP是NAOB的平分線.

(3)如圖3,OC<OE,連接OP,作PM_LO4,則/PMO=/PME=90°,

由(2)得，OP平分NAOB,ZPEC=ZPFD,

：.ZPEC+300=ZPFD+300,

VZAOB=60Q,

：.ZPOE=ZPOF^^ZAOB=30°,

2

：/CPE=30°,

ZOCP=ZPEC+ZCPE=ZPEC+300,ZOPC=ZPFD+ZPOF=ZPFD+300,

：.ZOCP=ZOPC=1.(180°-ZPOE)=Ax(180°-30°)=75°,

22

：.OC=OP,ZOPE=75°+30°=105°,

???NOPM=90°-30°=60°,

：.ZMPE=105°-60°=45°,

ZMEP=90°-45°=45°,

；?MP=ME,

設則OM=MP?tan60°=正優(yōu)，

由OE=J§+1,得m+J0%=?+1,解得〃?=1,

：.MP=ME=\,

：.OP=2MP=2,

JOC=OP=2；

如圖4,OOOE,連接OP,作PMJLOA,則/PMO=NPMC=90°,

同理可得，ZPOE=ZPOF=^ZAOB=30°,ZOEP=ZOPE=15°,NOPM=60°,

2

ZMPC=ZMCP=45°,

???OE=OP=4^-\,

MC=MP=-1OP=』OE=丫々+1,

222_

.??OM=MP?tan600=返ilx丘士運

22

OC=OM+MC=3+^+6+1=2+西

22

綜上所述，OC的長為2或2+“.

oDB

圖4

A

圖3

【點評】此題重點考查角平分線的作法、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)

值、解直角三角形、二次根式的化簡等知識與方法，根據(jù)三角形全等的判定定理證明三

角形全等是解題的關鍵，解第（3）題需作輔助線構造含特殊角的直角三角形，且需要分

類討論，求出所有符合條件的值.

10.（2017?河南）如圖，在等邊三角形ABC中，AC=4,點D,E分別是邊4C,BC的中

點，點D,E同時沿射線QE的方向以相同的速度運動，某一時刻分別運動到點M,N處,

連接CM,CN,AM,BN.

（1）寫出圖1中的一對全等三角形；

(2)如圖2所示，當點"在線段DE延長線上時，畫出示意圖，判斷(1)中所寫的一

對三角形是否仍然全等，并說明理由；

(3)在點。運動的過程中，若△ACM是直角三角形，直接寫出此時線段CN的長度.

【考點】三角形綜合題.

【專題】三角形.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定得出即可；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定解答即可：

(3)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：(1)全等三角形有：AADM經(jīng)/\CEN；△COM四△BEN；△ACM絲△CBM

(2)全等，以△(?￡■村為例，理由如下:

???△ABC為等邊三角形,

：.CA=CB,ZACB=60°,

?.?點。，￡分別為AC,BC的中點,

:.CD=AD=1AC,CE=^BC,

22

：.CD=CE=AD,

VZACB=60°,

?**/\CDE是等邊二角形,

：.ZCDM=ZCED=60o,

ZADM=ZCEN=120°,

?：DM=EN,AD=CEf

：.AADM^ACEN(SAS)；

(3)當△ACM是直角三角形時，當NACM=90°時，CN=AM=24i；

當N4MC=90°時，CW=AM=2加,

故綜上所述，C7V的值為2y或21.

【點評】此題考查三角形的綜合題，關鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定

和性質(zhì)解答.

11.(2020?河南)將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為a,連

接88,，過點。作OE垂直于直線8B',垂足為點E,連接OB',CE.

(1)如圖1,當a=60°時，△OE8'的形狀為等腰直角三角形，連接8。，可求出

理二的值為—以；

CE

(2)當0°<a<360°且a790°時，

①(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成

立，請說明理由；

②當以點夕，E,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出—心的值.

BzE

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；矩形菱形正方形；圖形的相似；運算能力；推理能力.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AB',NBA8'=60°,證得△ABB，是等邊三角形，

可得出是等腰直角三角形.證明△8。8s得出些二典、乃.

(2)①得出NEOB'=/EB7)=45°,則△OEM是等腰直角三角形，得出證

DE

明AB'DBsAEDC,由相似三角形的性質(zhì)可得出BB'=BD7^.

CECD。N

②分兩種情況畫出圖形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案.

【解答】解：(1)如圖1,

D

E

--------------*C

圖1

TAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至A次，

：.AB=AB\NBAB=60°,

???△AB8是等邊三角形，

/.ZBB'A=60°,

AZDAB'=ZBAD-ZBAB'=90°-60°=30°,

,,

\AB=AB=AD9

：.ZAB'D=ZADB\

：.ZAB'Z>=1800~30°=75°，

2

...N￡)BE=180°-60°-75°=45°,

■:DELB'E,

.?./8￡>E=90°-45°=45°,

...△OE8是等腰直角三角形.

:四邊形ABC。是正方形，

：.ZBDC^45°,

,?,B前D一增廠’

同理里工壇，

DE

?BDBzD

"DC=DE

:NBDB'+NB，DC=45°,ZEDC+ZB'DC=45°,

：.ZBDB'=ZEDC,

.?.△BDB'sACDE,

?BB，BD一二

CE=DC

故答案為：等腰直角三角形，至二?后.

CE弋2

(2)①兩結(jié)論仍然成立.

證明：連接8￡>,

：AB=AB',ZBAB'=a,

*.ZAB'B=9O0--,

2

：ZB'AD=a-90°,AD=AB',

,.乙4B7)=135°-

2

\ZEB'D=NAB'D-NAB"135_￡")=45。,

：DEX.BB',

:NEDB'=NEB，D=45°,

..△OEM是等腰直角三角形,

?DB?r-

.?四邊形48C￡>是正方形，

?.現(xiàn)"用，NBDC=45°,

CD

?BD=DB'.

"CD=DE

；NEDB'=NBDC,

：.ZEDB'+ZEDB=ZBDC+ZEDB,

即NB'￡>B=NEDC,

:.△B，DBS/\EDC,

Z

?BBBDr

②-理.=3或1.

B'E

如圖3,若CO為平行四邊形的對角線,

點B在以A為圓心，AB為半徑的圓上，取C。的中點.連接8。交OA于點

過點D作DELBB”交B8的延長線于點E,

由（1）可知△比EQ是等腰直角三角形,

:.B'D=4QP'E,

由（2）①可知△BOB'S△CDE,且8￡=&CE.

B+B'E=X+|=返生+]=、歷B'D+|=&x亞+1=3.

BzEB'EBzEB'EB'E

若CO為平行四邊形的一邊，如圖4,

圖4

點E與點A重合，

?BE-

B'E

綜合以上可得BE=3或i.

B'E

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相

似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

12.（2018?河南）（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△0A8和△OCQ中，0A=08,OC=OD,/AOB=NCOQ=40°,連接AC,

BD交于點、M.填空：

①柜的值為1；

BD

②/AM8的度數(shù)為40°.

(2)類比探究

如圖2,在△OAB和△OCQ中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接

4c交8。的延長線于點M.請判斷處的值及/AM8的度數(shù)，并說明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，將△OCO繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,8。所在直線交于點M,若OD

=1,。8=被，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.

圖1圖2備用圖

【考點】三角形綜合題；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】幾何綜合題.

【分析】(1)①證明△COA名△DOB(&4S),得AC=8。，比值為1；

②由△C。4g/XOOB,得/C40=/￡>80,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：ZAMB=180°

-(ZDBO+ZOAB+ZABD}=40°；

(2)根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOCs則旭江=正，由全等三角

BD0D

形的性質(zhì)得NAMB的度數(shù)；

(3)正確畫圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況：如圖3和4,同理可得：△AOC

s^BOD,則NAMB=90°,柜■、用，可得AC的長.

BDr3

【解答】解：(1)問題發(fā)現(xiàn)

①如圖1,VZAOB=ZCOD=40°,

：.ZCOA=ZDOB,

?：OC=OD,OA=OB,

.,.△COA^ADOB(SAS),

：.AC=BD,

??A?C_iif

BD

②'：△COA@l\DOB,

：.ZCAO^ZDBO,

VZAOB=40°,

：.ZOAB+ZABO=\40°,

在△AM8中，NAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+AABD)=180°-(ZDBO+ZOAB+

ZABD)=180°-140°=40°,

故答案為：①1;②40°；

(2)類比探究

如圖2,迫=如,ZAMB=90Q,理由是：

BD

RtZ\C。。中，ZDCO=30°,ZDOC=90°,

?0D+如

_=

??T7Ttan30二門'

0C3

同理得：ee=tan30。二巨，

0A3

?ODOB

??-二一，

OCOA

；NAOB=NCOO=90°,

NAOC=NBOD,

△AOCS/XB。。，

...空①=遍，NCAO=NDBO,

BDOD

在△AMB中，ZAMB=180°-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)

=90。；

(3)拓展延伸

①點C與點M重合時，如圖3,同理得：△AOCSZ\B。。，

AZAMB=90°,￡、行，

BD°s

設BO=x,則4C=Q,

RtZ\C。。中，ZOCD=30°,0D=\,

:.CD=2,BC=x-2,

RtAAOB中，ZOAB=30°,OB=y[j,

：.AB=2OB=247,

在RtZXAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2^AB2,

(V3X)2+(X-2)2=(24產(chǎn)

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

xi=3,X2=-2,

：.AC=3^

②點C與點M重合時，如圖4,同理得：ZAMB=90°,&

BD

設BD=x,則AC=V3r,

在RtZXAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(ax)2+(x+2)2=(2⑺2

f+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

xi=-3,%2=2,

???AC=2?；

綜上所述，AC的長為3會或2y.

D

圖4B

【點評】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，幾何變

換問題，解題的關鍵是能得出：△AOCS^BOD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運用類比

的思想解決問題，本題是一道比較好的題目.

考點卡片

1.坐標與圖形性質(zhì)

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到X軸的距離與縱

坐標有關，到），軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離

求坐標時，需要加上恰當?shù)姆?

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去

解決問題.

2.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔

助線構造三角形.

3.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中

任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

4.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相

等、角相等的重要手段.

2、在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、

底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，

有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴

全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優(yōu)先選擇簡便方法來解決.

5.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

(2)此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的

相關問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù).

(3)注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角(30°)的特殊定理，非直角三角

形或一般直角三角形不能應用；

②應用時，要注意找準30。的角所對的直角邊，點明斜邊.

6.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長