一元二次方程綜合（解析版）-北師大版2022年初三數(shù)學(xué)期末壓軸題匯編30題

【玩轉(zhuǎn)壓軸題】考題2：一元二次方程綜合（解析版）

一、單選題

1.如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,動點尸，。分別從點A,B

同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為Icm/s,點。的速度為2cm/s,點。

移動到C點后停止，點尸也隨之停止運動，當△尸8Q的面積為15cm2時，則點尸運動

的時間是（）

A.3sB.3s或5sC.4sD.5s

【答案】A

【分析】

設(shè)出動點P,。運動，秒,能使△依。的面積為15cm2,用t分別表示出BP和BQ的長，

利用三角形的面積計算公式即可解答.

【詳解】

解：設(shè)動點P，。運動”少，能使△P8Q的面積為15cm2,

則8尸為（8-f）cm,BQ為2tan,由三角形的面積公式列方程得

^-（8-r）x2/=l5,

解得。=3,女=5（當”=5,8gl0,不合題意，舍去）

二動點P,。運動3秒，能使△P8Q的面積為15cm2.

故選A.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題.

73

2.已知M=J-2,N=〃-?（7為任意實數(shù)），則M,N的大小關(guān)系為（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定

【答案】B

【分析】

利用作差法比較即可.

【詳解】

根據(jù)題意，得

->37

NKT-M=廠——t一一，+2

55

=”-2，+2=。-1)2+1,

v(r-l)2>0

/.(/-1)2+1>1>0

：.M<N,

故選B.

【點睛】

本題考查了代數(shù)式的大小比較，熟練作差法，靈活運用完全平方公式，配方法的應(yīng)用，

使用實數(shù)的非負性是解題的關(guān)鍵.

3.若關(guān)于x的一元二次方程37-2履+1-4?=0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式(k

-2)2+2k(1-A)的值為()

77

A.3B.-3C.——D.-

22

【答案】D

【分析】

先根據(jù)一元二次方程根的判別式求出k的值，再代入求值即可得.

【詳解】

解：由題意得：方程依+1-以=0根的判別式A=4公-4xg(l-4Q=0,

整理得：2k2+4jt-1=0.即/+2A=g,

則(％-2)2+2%(1-%)=/-4%+4+2%—2產(chǎn)，

=-k2-2k+4,

=-(無2+2k)+4,

2

故選：D.

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式、代數(shù)式求值，熟練掌握一元二次方程根的判別式

試卷第2頁，共30頁

是解題關(guān)鍵.

4.已知關(guān)于x的一元二次方程標區(qū)2-（2%-l）x+Z-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實

數(shù)"的取值范圍是（）

,1,1

A.k>—B.k<一

44

C.k>—且々w0D.k<—k^0

44

【答案】C

【分析】

由一元二次方程定義得出二次項系數(shù)上0；由方程有兩個不相等的實數(shù)根，得出“△>0”,

解這兩個不等式即可得到k的取值范圍.

【詳解】

解：由題可得：\r,‘2八八，

-4k（k-2）>0

解得：%>-J且&H0；

4

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的

關(guān)鍵是能讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式

（組）的解集等，本題對學(xué)生的計算能力有一定的要求.

5.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+Bx+c=o（中0）,下列命題是真命題的有（）

①若。+2）+4c=0,貝！|方程ax2+ftx+c=0必有實數(shù)根；

②若/>=3。+2,c=2a+2,則方程如2+取+,=0必有兩個不相等的實根；

③若c是方程ax2+bx+c=O的一個根，則一定有ac+b+l=O成立；

④若f是一元二次方程a/+8x+c=0的根，則加-4ac=（2at+b'）2.

A.①②B.②③C.①@D.③④

【答案】C

【分析】

①正確，利用判別式判斷即可.②錯誤，。=-2時，方程有相等的實數(shù)根.③錯誤，c=0

時，結(jié)論不成立.④正確，利用求根公式，判斷即可.

【詳解】

解：①,."+2H4c=0,

a=-2b-4c,

?二方程為(-2/？-4c)f+bx+eO,

/.J=fe2-4(-2&-4c)?c=/?2+8Z?c+16c2=(b+4c)2>O,

，方程ax2+bx+c=O必有實數(shù)根，故①正確.

②*/b=3a+2,c=2〃+2,

,方程為以2+(3^7+2)無+2〃+2=0,

(3a+2)2-4a(2。+2)=a2+4tz+4=(i+2)2,

當a=-2時，zf=O,方程有相等的實數(shù)根，故②錯誤，

③當仁0時，。是方程渥+6=0的根，但是。+1不一定等于0,故③錯誤.

④,門是一元二次方程a^hx+c=O的根，

.,-b±\jb2-4ac

..------------,

2a

：.2at+b=t］廿_4ac>

b2-4ac-(2at+b)2,故④正確,

故選：C.

【點睛】

本題考查命題與定理，一元二次方程的根的判別式，公式法解一元二次方程等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型.

6.下列命題：①順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形；②平行四邊形既是中心

對稱圖形又是軸對稱圖形；③囪的算術(shù)平方根是3；④對于任意實數(shù)如關(guān)于x的方

程f+(機+3)x+m+2=()有兩個不相等的實數(shù)根.其中正確的命題個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】

利用中點四邊形的判定、平行四邊形的對稱性、算術(shù)平方根的定義及一元二次方程的根

的情況進行判斷后即可確定正確的答案.

【詳解】

解：①順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形，正確，符合題意；

②平行四邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故原命題錯誤，不符合題意；

③的的算術(shù)平方根是6,故原命題錯誤，不符合題意；

試卷第4頁，共30頁

④：對于任意實數(shù)如關(guān)于x的方程/+(利+3)工+m+2=0的4=62-4牝=(布+3)2-4

(m+2)=(ni-1)2>0,

???有兩個實數(shù)根，故原命題錯誤，不符合題意，

正確的有1個，

故選：A.

【點睛】

考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解中點四邊形的判定、平行四邊形的對稱性、

算術(shù)平方根的定義及一元二次方程的根的情況，難度不大.

7.若整數(shù)“使得關(guān)于x的一元二次方程(。+2)/+*+。-1=0有實數(shù)根，且關(guān)于x的

a-x<0

不等式組，、有解且最多有6個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)”的個數(shù)為

x+2<—(x+7)

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

利用根的判別式確定。的一個取值范圍,根據(jù)不等式組的解集，確定一個。的取值范圍，

綜合兩個范圍確定答案即可.

【詳解】

V整數(shù)。使得關(guān)于x的一元二次方程(。+2)/+0+。-1=0有實數(shù)根，

：.a+2^,(2a)2-4((7+2)(a-l)>0,

a<2且*2；

a-x<0

.1/的解集為爛3,且最多有6個整數(shù)解，

%+2<-(X+7)

.".-3<a<3,

.'.-3<a<2,a/-2,

???a的值為-3,-1,0,1,2共有5個，

故選C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的定義，根的判別式，不等式組的特殊解，熟練掌握根的判別

式，不等式組解法是解題的關(guān)鍵.

8.已知a,是方程f+x—3=0的兩個實數(shù)根，貝!|/一。+2021的值是（）

A.2025B.2023C.2022D.2021

【答案】A

【分析】

根據(jù)一元二次方程的解與根與系數(shù)的關(guān)系計算即可；

【詳解】

,''a,。是方程x?+x-3=0的兩個實數(shù)根，

a2+a-3=0a+b=-l,

.?.6—6+2021=3-4-6+2021=3-（4+6）+2021=2025；

故答案選人

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程的解與根與系數(shù)的關(guān)鍵，準確計算是解題的關(guān)鍵.

9.若關(guān)于X的一元二次方程依2+2x_1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)%的取值范

圍是（）

A.k>-lB.k<-lC.%>—1且&W0D.k>-\

【答案】C

【分析】

根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式得到上0,且A>0,然后解兩個不等式即可得

到實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】

解：根據(jù)題意得，原0,且A>0,即22-4XZX（-1）>0,解得%>-1,

實數(shù)人的取值范圍為4>-1且原0.

故選C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程加+少"=0（a/0）根的判別式A=/_44C：當△>（）,方程有兩

個不相等的實數(shù)根；當△=（）,方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<（）,方程沒有實數(shù)根；

也考查了一元二次方程的定義.

10.若a、P為方程2x2-5x-l=0的兩個實數(shù)根，則2a?+3〃+5￡的值為（）

A.-13B.12C.14D.15

【答案】B

【詳解】

試卷第6頁，共30頁

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知2a2-5a-1=0,a+p=--=(,a-p=-=-i

a2a2

因止匕可得2a2=5a+l,代入2a2+3a0+5p=5a+l+3aB+50=5(a+p)+3此可=5x,+3x(-y)

+1=12.

故選B.

點睛：此題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是利用一元二次方程的一

hc

般式，得到根與系數(shù)的關(guān)系X|+X2=-T,X「X2=￡,然后變形代入即可.

aa

二、填空題

11.將關(guān)于x的一元二次方程/-必+4=0變形為/=「*一4,就可以將V表示為關(guān)于

x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如x3=x.x2=x(px-g)=…，我們將這種

方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知：

x2+x-l=0,且x>0.貝！IX，-2/+3x的值為.

【答案】6-2百

【分析】

先利用V+X一1=0得至IJ9=1一%,再利用x的一次式表示出/和/,則x4-2x3+3》化

為-2x+4,然后解方程/+》_[=0得》=土叵，從而得到f—2V+3x的值.

2

【詳解】

解:\*x2+x-l=0,

..x2=1-X,

X3=x?x2=x(l-x)=x-x2=x-(1-x)=2x-1,

x4=x-x3=x（2x-l）=2x2-x=2（I-x）-x=-3x+2,

-1+75一

解方程]?+工一1=0得%=1-6

222

vx>0,

-1+75

x=-----

2

.?,X4-2X3+3X=-4X-1+^+4=6-25/5.

2

故答案為：6-2亞.

【點睛】

本題考查了高次方程：通過適當?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解.所以解

高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程.也有的通過因式分解來解.通

過把一元二次方程變形為用一次式表示二次式，從而達到“降次”的目的，這是解決本題

的關(guān)鍵.

12.定義運算a砂=屆一2朋+1,下面給出了關(guān)于這種運算的幾個結(jié)論其中正確的

()

f(-3)?x-l<03

A.2(85=-15；B.不等式組n的解集為xV一：;

[20x-5<02

C.方程2x&=0是一元一次方程；D.方程的解是x=-1.

Xx-

【答案】AD

【分析】

根據(jù)定義的運算規(guī)則“旗=/-2帥+1,對各選項逐一進行計算判斷，即可得到答案.

【詳解】

解：A.2頷=22-2x2x5+1=15,故A正確；

B.不等式組等價于((一3)：-2*(？，+1<。，解得該不等式組無解，

I2?x-5<022-2X2X+1-5<0

故B錯誤；

C.2A-01=(2X)2-2x2xxl+l=4x24r+l=0是一元二次方程，故C錯誤；

D.，軟=-^-2xLx+l=I+x則x=-l,故D正確；

xxxx

故答案為：AD.

【點睛】

本題考查了不等式組的解集、實數(shù)的運算、一元二次方程的定義等，其中利用a勵=標

-2ab+\是解題關(guān)鍵，本題對計算要求較高，要求學(xué)生具備觀察仔細、計算細心等品質(zhì).

13.已知等腰三角形的三邊長分別為a、b、4,且a、》是關(guān)于x的一元二次方程好-

12x+w?+2=0的兩根，則機的值是.

【答案】34

【分析】

分三種情況討論，①當。=4時，②當斤4時，③當a4時；結(jié)合韋達定理即可求解；

【詳解】

解：當a=4時,b<i,

試卷第8頁，共30頁

Va.b是關(guān)于龍的一元二次方程F12x+m+2=0的兩根，

???4+。=12,

，。二8不符合；

當8=4時，a<8,

Va>h是關(guān)于x的一元二次方程/-12x+m+2=0的兩根，

/.4+a=12,

***a=S不符合；

當。=力時，

Va>b是關(guān)于x的一元二次方程W-12x+m+2=0的兩根，

/.12=267=2/?,

a=b=6f

Am+2-36,

.*./??=34；

故答案為：34.

【點睛】

本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行分類討論，結(jié)合一

元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和三角形三邊關(guān)系進行解題是關(guān)鍵.

14.如圖所示，某小區(qū)想借助互相垂直的兩面墻（墻體足夠長），在墻角區(qū)域40m長的

籬笆圍成一個面積為384m2矩形花園.設(shè)寬A8=xm,且A8V5C,則l=m.

【答案】16

【分析】

根據(jù)A3=xm可知BC=（40-x）〃z,再根據(jù)矩形的面積公式即可得出結(jié)論;

【詳解】

解：由題意得：=S即：x（4O-x）=384.

解這個方程得：為=16,々=24.

"：AB<BC

AB=x=l6m.

故答案為16.

【點睛】

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，能利用數(shù)形結(jié)合列出方程是解答此題的關(guān)鍵.

15.若一元二次方程（。+1）/-奴+/_1=0的一個根為0,則〃=,

【答案】1

【分析】

把x=0代入原方程求得a的值，結(jié)合一元二次方程的定義綜合得到答案.

【詳解】

解：把x=0代入得：〃=1,

解得：a=±l,

又因為：（a+l）Y—如+/_1=（）為一元二次方程，

所以：a工—1,

所以：a=l.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查的是一元二次方程的概念及一元二次方程的解，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

16.若方程2爐+》-5=0的兩個根是玉，x2（x,>x2）,則^的值為.

X\X2

【答案】叵

5

【分析】

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+超=-3,不七=-|，然后利用完全平方

公式的變形可求出々-4=半，即可求解.

【詳解】

解：???方程Zf+x-SuO的兩個根是X，占，

?15

??芭+超=一/，，X2=-2，

*.*（X）+=%；+￥+2XjX2,

試卷第10頁，共30頁

+而

叵

??4一々

國

2

故答案為:a

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式的變形，熟練掌握一元

二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

17.關(guān)于X的方程*2+(21-1)x+好-1=0有兩個實數(shù)根X],*2,若Xl,X2滿足X1X2

+XI+*2=3,則k的值為.

【答案】T

【分析】

根據(jù)判別式求出G的取值范圍，再根據(jù)韋達定理進行計算即可.

【詳解】

解：???方程有兩個實數(shù)根

A>0

二(21)2—4伏2_1)*0

解得

???內(nèi)，X2是關(guān)于x的方程/+(2)1-1)x+R-1=0的兩個實數(shù)根

2

/.Xy+x2-1-2k,xtx2=k

X\X2+X\+X2=3

:,公一1+1-2%=3

/?后2-2左一3=0

.?.(Z-3)/+1)=0

即4-3=0或％+1=0

解得：吊=3,&=-1

?.k=-l

故答案為：-1

【點睛】

本題考查一元二次方程的判別式，一元二次方程的解法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,

牢記知識點是解題關(guān)鍵.

18.如果(a2+Z>2-l)(a2+b2+3)=5,則標+從的值為.

【答案】2

【分析】

運用因式分解法解方程，再進行選擇即可.

【詳解】

解：；(層+按一1)(層+〃+3)=5

：.(a2+b2)2+2(a2+b2)-8=0

(a2+b2-2)(a2+b2+4)=0

a2+b2>0

a2+b2-2=0,B|Ja2+b2=2

故答案為2.

【點睛】

此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，明確/+〃20是解答本題的關(guān)鍵.

19.對于實數(shù)tn,n,定義運算m0i=mn2-n.若2@=1⑥(-2)則a=.

3

【答案】2或-機

【分析】

根據(jù)題意，列出關(guān)于”的方程，解方程即可.

【詳解】

解：根據(jù)定義，2@=18(-2)轉(zhuǎn)化為：2a2-a=lx(-2)2-(-2),

3

解方程得，ai=2,ai=--,

3

故答案為：2或

【點睛】

本題考查了新定義運算和一元二次方程，解題關(guān)鍵是理解題意，把等式轉(zhuǎn)化為一元二次

方程，準確求解.

20.商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品的銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價”，

試卷第12頁，共30頁

最高銷售限價〃伍>。)以及實數(shù)x(O<x<l)確定實際銷售價格c=a+x(。-。)，這里的

x被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得*=9*，據(jù)此可得，最

c-ab-c

佳樂觀系數(shù)X的值等于.

【答案】或二1

2

【分析】

由"￡=產(chǎn)得到：(c-)2=s_a)2_s_a)(c_a),再根據(jù)。=。+、仍一”)，可得

c-ab-c

》=了，再列方程，解方程可得答案；

【詳解】

解：由二得到：(。一〃)2=(〃一〃)3-。)，

c-ab-c

即：(c-a)2—(b-a)[(b—a)-(c-a)]=(b-a)2-(b-a)(c-a),

)2+--1=0,

b-ab-a

c=aJt-x(b-d),

c-a

x=----

b-a

解得…=鋁,寸孚

Q0<x<l,

.?“2=也]不合題意，

2

75-1

「?％二^—，

故答案為：叵口.

2

【點睛】

本題考查了等式的變形，一元二次方程的解法等知識，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件

變形為從而可轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的一元二次方程.

三、解答題

21.尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價商

品，每件商品的進價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)

市場調(diào)查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件.

（1）若每件商品降價5元，則商店每天的平均銷量是________件（直接填寫結(jié)果）；

（2）不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要平均每天達到1280元，每

件商品的定價應(yīng)為多少元？

（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要銷售200件該商品，求商品的銷售單價.

【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元

【分析】

（1）根據(jù)每天的平均銷售量=80+降低的價格+0.5x20,即可求出結(jié)論；

（2）設(shè)每件商品降價x元，則銷售每件商品的利潤為（25-15-x）元，根據(jù)每天的總利

潤=銷售每件商品的利潤x平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即

可得出結(jié)論；

（3）由（2）的結(jié)論結(jié)合平均每天至少要銷售200件該商品，可確定x的值，再將其代

入（25-x）中即可求出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）80+540.5x20=280（件）.

故答案為:280.

（2）設(shè)每件商品降價x元，則銷售每件商品的利潤為（25-15-x）元，平均每天可售出

X

80+——x20=（40x+80）件，

0.5

依題意，得:（25-15-x）（40x+80）=1280,

整理，得：x2-8x+12=0,

解得：xi=2,X2=6,

，25-x=23或19.

答：每件商品的定價應(yīng)為23元或19元.

（3）當x=2時，40x+80=160<200,不合題意，舍去；

當x=6時，40x+80=320>200,符合題意，

.*.25-x=19.

答：商品的銷售單價為19元.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用-利潤問題，讀懂題意，根據(jù)商品降價表示出商品銷售

件數(shù)從而列出方程是解題關(guān)鍵.

22.已知關(guān)于x的方程X?-2mx=-m2+2x的兩個實數(shù)根xi,X2滿足|xi|=X2,求實數(shù)m

的值.

試卷第14頁，共30頁

【答案】

【詳解】

試題分析：

首先由關(guān)于X的方程x2-2mx=-m2+2x的兩個實數(shù)根可得：根的判別式△20,由此

可求出“m”的取值范圍；再由㈤=%可得：①大=々；②玉=-々，即％+々=。，結(jié)合“一

元二次方程根的判別式”和“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系''分兩種情況討論即可求得“m”

的值.

試題解析：

原方程可化為：x2—2(m+1)x+m2=0,

Vxi,X2是方程的兩個根,

AA>0,即：4(m+l)2-4m2>0,

.*.8m+4>0,解得：m>—y.

Vxi，X2滿足|X1|二X2,

.?.X|=X2或X]=-X2,即△=()或X[+X2=O,

①由A=0,即8m+4=0,解得m=-g.

②由X]+x2=0,即：2(m+l)=0,解得m=-1

???m、>-y1,

?1

??m=-y.

點睛：本題解題的關(guān)鍵是能夠把|引=/這一條件轉(zhuǎn)化為兩種情況：(1)x.=x2；(2)

%=-%即g+占=0;這樣結(jié)合“一元二次根的判別式''和"一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”

就能求得“m”的值了.

23.如圖，在平面直角坐標系中，矩形。4BC的頂點A在y軸正半軸上，邊A6、OA

HAQ

(A3>0A)的長分別是方程*2-Ux+24=0的兩個根，。是A8上的點，且滿足胃=，

(1)矩形OABC的面積是,周長是.

(2)求直線OD的解析式；

(3)點尸是射線。。上的一個動點，當A是等腰三角形時，求點尸的坐標.

33

【答案】(1)S=24,C=22；(2)y=x；(3)尸點的坐標為(-萬，彳)；(0,0)；-3+”2->3-

a3夜.30

—J----------,34----------

22)

【分析】

(1)根據(jù)邊48、OA(4B>OA)的長分別是方程x2-l￡+24=0的兩個根，即可得到710=3,

48=8,進而得出矩形0A8C的面積以及矩形OA8c的周長;

r)A3

(2)根據(jù)不，=：,A8=8,可得AO=3,再根據(jù)AO=3,進而得出。(-3,3),再根據(jù)

DB5

待定系數(shù)法即可求得直線。。的解析式;

(3)根據(jù)A%。是等腰三角形，分情況討論，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得點尸

的坐標.

【詳解】

解：(1)Vx2-lljt+24=0,

:.(x-3)(x-8)=0,

；.xi=3,X2=8,

OA(AB>OA)的長分別是方程Fllx+24=0的兩個根,

；.AO=3,AB=8,

二矩形OABC的面積=3x8=24,矩形0ABe的周長=2x(3+8)=22,

故答案為24,22；

(2)48=8,

DB5

：.AD^3,

又,；AO=3,

：.D(-3,3),

設(shè)直線OO解析式為產(chǎn)區(qū)，則

3=3%,BPA=-L

???直線。。的解析式為產(chǎn)的

(3)?.?AO=AO=3,ZDA0=90°,

試卷第16頁，共30頁

.?.△A。。是等腰直角三角形,

/.ZADO=45°,。。=30,

根據(jù)△PAD是等腰三角形，分4種情況討論：

①如圖所示，當4￡>=A尸產(chǎn)3時，點Pi的坐標為（0,0）；

②如圖所示，當。4=〃2=3時，過巴作x軸的垂線，垂足為E,則

。22=3正-3,△OEP?是等腰直角三角形，

.3應(yīng)-323>/2

.?Pp?PE=OE=----7=—=3-------,

V22

???點P2的坐標為（-3+述，3-述）；

22

③如圖所示，當4心=。2時，/D4P3=乙4。0=45。,

△AOP.3是等腰直角三角形，

AD3也

.*.DP=-^=—

3J22

.\P,O=3y/2--=—，

22

過尸3作X軸的垂線，垂足為凡則△OP.小是等腰直角三角形,

3

:,PF=OF=—，

2

33

?二點P3的坐標為,—）;

22

④如圖所示，當D4=。/小3時，PQ=3+3起,

過尸4作1軸的垂線，垂足為G,則aOP4G是等腰直角三角形,

：.P4G=OG=^+3,

2

，點%的坐標為（-3-述，3+逑）;

22

綜上所述，P點的坐標為（-],：）;（0,0）；（-3+逑,3-拽）;

2222

【點睛】

本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解一元二次

方程以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的綜合應(yīng)用，解題時注意：當是等腰三角

形時，需要分情況討論，解題時注意分類思想的運用.解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造

等腰直角三角形.

24.如圖，平面直角坐標系中，直線1分別交x軸、y軸于A、B兩點(OAVOB)且

OA、OB的長分別是一元二次方程X2-(V3+1)X+X/3=0的兩個根，點C在x軸負半軸

上，

且AB：AC=1：2

(1)求A、C兩點的坐標；

(2)若點M從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM,設(shè)4ABM

的面積為S,點M的運動時間為t,寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值

范圍；

(3)點P是y軸上的點，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q,使以A、B、P、Q為頂點的

四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)A(1,0),C(-3,0)；(2)S=26-t(0<t<2^)；②S=t-2G(t

>273)；(3)存在，Qi(-1,0),Q2(1,-2),Q3(1,2),Q,(1,空).

3

【分析】

(1)通過解一元二次方程x-(石+l)x+6=0,求得方程的兩個根，從而得到A、B

兩點的坐標，再根據(jù)勾股定理可求AB的長，根據(jù)AB：AC=1：2,可求AC的長，從

而得到C點的坐標.

(2)分①當點M在CB邊上時；②當點M在CB邊的延長線上時；兩種情況討論可求

S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

(3)分AB是邊和時角線兩種情況討論可求Q點的坐標

【詳解】

(1)X?-(石+l)x+也=0

(x-百=0,

解得Xl=6，X2=l.

VOA<OB,.,.OA=1,OB=6.

試卷第18頁，共30頁

，A(1,0),B(0,6).

AAB=2.

XVAB：AC=1：2,

AACM.

AC(-3,0)；

(2)由題意得：CM=t,CB=26

①當點M在CB邊上時，S=^AB.MB=^x2x(2y/3-t]=2y[3-t(0<t<2>/3);

②當點M在CB邊的延長線上時，S=：A8.MB=gx2x(f—2g)=t-26(t>2百).

(3)存在，Qi(-1,0),Q2(1,-2),Q3(1,2),Q,(1,正).

3

25.已知關(guān)于x的一元二次方程(a-3)X2-4A+3=0有兩個不等的實根.

(1)求。的取值范圍；

(2)當。取最大整數(shù)值時，AABC的三條邊長均滿足關(guān)于x的一元二次方程

(a-3)x2-4x+3=0,求AABC的周長.

13

【答案】(1)。(可且〃。3；(2)AABC的周長為3或9或7.

【分析】

(1)根據(jù)關(guān)于X的一元二次方程，可判斷二次項系數(shù)不為0；根據(jù)方程有兩個不相等

的實數(shù)根，可判斷判別式大于0,列出不等式組求解即可;

(2)在此范圍內(nèi)找出最大的整數(shù)，解方程，然后分類討論，求出三角形周長即可.

【詳解】

解：(1)關(guān)于》的一元二次方程(a-3)f-4x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，

卜-3*0

"[16-4(a-3)x3>0'

解得"孑且"3.

(2)由(1)得”的最大整數(shù)值為4；

x2-4x+3=0

解得：西==3.

MBC的三條邊長均滿足關(guān)于X的一元二次方程(a-3)X2-4X+3=0,

：?①三邊都為1,則AA5C的周長為3；

②三邊都為3,則AABC的周長為9；

③三邊為1,1,3,因為1+1<3,不符合題意，舍去；

④三邊為1,3,3,則AABC的周長為7.

.?.AABC的周長為3或9或7.

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的情況與判別式b2-4ac的關(guān)系，也考查了構(gòu)成三角形的條

件.解題時注意二次項系數(shù)不為0這個隱含條件.

26.問題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽

象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題.初中數(shù)學(xué)

里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋.例

如：利用圖形的幾何意義推證完全平方公式.

將一個邊長為a的正方形的邊長增加瓦形成兩個矩形和兩個正方形，如圖1,這個圖

形的面積可以表示成：

(a+b)2^a2+2ab+b2':.(a+b)2=a2+2ab+b2

這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式.

問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法推證：「+23=32

如圖2,A表示1個1X1的正方形，即：1X1X1=13,8表示1個2x2的正方形，。與。

試卷第20頁，共30頁

恰好可以拼成1個2x2的正方形,

因此：B、C、。就可以表示2個2x2的正方形，即：2x2x2=23,而4、8、C、。恰好

可以拼成一個(1+2)x(1+2)的大正方形，由此可得：F+23=(1+2)2=32

(1)嘗試解決：請你類比上述推導(dǎo)過程，利用圖形幾何意義方法推證：1'+23+33=(1

+2+3)2(要求自己構(gòu)造圖形并寫出推證過程)

(2)類比歸納：請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：N+23+33+…+〃3=_

(要求直接寫出結(jié)論，不必寫出解題過程)

(3)實際應(yīng)用：圖3是由棱長為1的小正方體搭成的大正方體，圖中大小正方體一共

有多少個？為了正確數(shù)出大小正方體的總個數(shù)，我們可以分類統(tǒng)計，即分別數(shù)出棱長是

1,2,3和4的正方體的個數(shù)，再求總和.

例如：棱長是1的正方體有：4x4x4=43個，棱長是2的正方體有：3x3x3=33個，棱

長是3的正方體有：2x2x2=23個，棱長是4的正方體有：lxlxl=13個，然后利用類

比歸納的結(jié)論，可得：#+23+33+43=(14-2+3+4)2,圖4是由棱長為1的小正

方體成的大正方體，圖中大小正方體一共有個.

(4)逆向應(yīng)用：如果由棱長為1的小正方體搭成的大正方體中，通過上面的方式數(shù)出

的大小正方體一共有44100個，那么棱長為1的小正方體一共有個.

【答案】(1)見解析；(2)(1+2+3+...+〃)2；(3)441；(4)8000

【分析】

(1)根據(jù)規(guī)律可以利用相同的方法進行探究推證，由于是探究13+23+33=?,肯定構(gòu)

成大正方形有9個基本圖形(3個正方形6個長方形)組成，如圖所示可以推證.

(2)實際應(yīng)用：根據(jù)規(guī)律求大正方體中含有多少個正方體，可以轉(zhuǎn)化為

13+23+33+---+?3=(1+2+3+…+”)2來求得.

(3)根據(jù)規(guī)律即可求得大小正方體的個數(shù).

(4)逆向應(yīng)用：可將總個數(shù)看成然后再寫成/=(1+2+3+…+”)2,得出大

正方形每條邊上有幾個棱長為1的小正方體，進而計算出棱長為1的小正方體的個數(shù).

【詳解】

(1)如圖，4表示1個1X1的正方形，即1X1X1=13；

8表示1個2x2的正方形，C與。恰好可以拼成1個2x2的正方形，

因此8、C、。就可以拼成2個2x2的正方形，即：2x2x2=23；

G與H、E與尸、/可以拼成3個3x3的正方形，即：3x3x3=33；

而整個圖形恰好可以拼成一個(1+2+3)x(1+2+3)的大正方形，即(1+2+3了個大

正方形，因此可得：『+23+33=(1+2+3)2=62.

故答案為：(1+2+3)2或62.

123

1

2

3

(2)根據(jù)規(guī)律可得：「+23+33+…+〃3=(]+2+3+…+”)2.

(3)依據(jù)規(guī)律得：13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212=441.

故答案為：441.

(4):44100=2102=(1+2+3+…+〃)2；

即1+2+3+…+”=210；

；〃(〃+1)=210；

解得：n=20,"=-21(舍去)；

...〃=20；

.*.20x20x20=8000.

故答案為：8000.

【點睛】

本題借助數(shù)形結(jié)合來計算廣+23+33+…+/=(1+2+3+…+〃f,以及這個等式的應(yīng)

試卷第22頁，共30頁

JB.數(shù)形結(jié)合使得復(fù)雜的計算變得簡單而且直觀易懂，這就是數(shù)形結(jié)合的魅力所在.“數(shù)

缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好”，這是數(shù)學(xué)家華羅庚對數(shù)形結(jié)合的

精辟論述！

27.（問題提出）用〃個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？

（問題探究）為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單

情形入手，再逐次遞進，最后猜想得出結(jié)論.

探究一：如圖1,一個圓能把平面分成2個區(qū)域.

探究二：用2個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？

如圖2,在探究一的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前1個圓有2

個交點，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個區(qū)域，所以，用2個圓最多能把平面

分成4個區(qū)域.

探究三：用3個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？

如圖3,在探究二的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前2個圓分別

有2個交點，將新增加的圓分成2x2=4部分，從而增加4個區(qū)域，所以，用3個圓最

多能把平面分成8個區(qū)域.

（1）用4個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？

仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.

（2）（一般結(jié)論）用"個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？

為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前"個圓分別有2個交點，將新增加的

圓分成部分，從而增加個區(qū)域，所以，用〃個圓

最多能把平面分成個區(qū)域.（將結(jié)果進行化簡）

（3）（結(jié)論應(yīng)用）

①用10個圓最多能把平面分成個區(qū)域；

②用個圓最多能把平面分成422個區(qū)域.

【答案】（1）在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個圓

分別有2個交點，將新增的圓分成2*3=6部分，從而增加6個區(qū)域，所以，用4個圓最多

能把平面分成14個區(qū)域；（2）2?-2；2〃-2；/+2；（3）①92；②21

【分析】

(1)在探究三的基礎(chǔ)上，新增加的圓與前3個圓分別有2個交點，將新增的圓分成2*3=6

部分，所以，用4個圓最多能把平面分成2+2X1+2X2+2X3個區(qū)域；

(2)為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前個圓分別有2個交點，將新

增加的圓分成(2n-2)部分，從而增加(2?-2)個區(qū)域，所以，用〃個圓最多能把平面

分成2+2x1+2x2+2x3+2x4+...+2(n-1)區(qū)域求和即可；

(3)①用〃=10,代入規(guī)律，求代數(shù)式的值即可；

②設(shè)〃個圓最多能把平面分成422個區(qū)域，利用規(guī)律構(gòu)造方程，可得方程〃2_〃+2=422

解方程即可.

【詳解】

解：(1)在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個圓分別

有2個交點，將新增的圓分成2*3=6部分，從而增加6個區(qū)域，所以，用4個圓最多能把

平面分成2+2x1+2x2+2x3=14個區(qū)域；

(2)為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前個圓分別有2個交點，將新

增加的圓分成(2止2)部分，從而增加(2n-2)個區(qū)域，所以，用“個圓最多能把平面

分成區(qū)域數(shù)為

2+2x1+2、2+2、3+2乂4+…+2(n-l),

=2+2(1+2+3+…1),

=2+"("-1),

=n2-n+2；

故答案為：(2〃-2)；(2n-2)；n2-n+2;

(3)①用10個圓，即〃=10,一〃+2=i()2一1()+2=92；

②設(shè)n個圓最多能把平面分成422個區(qū)域，

可得方程/-“+2=422，

整理得n2-n-420=0,

因式分解得(〃-21)(〃+20)=0,

解得〃=21或〃=-20(舍去)，

二用21個圓最多能把平面分成422個區(qū)域.

故答案為：21.

【點睛】

試卷第24頁，共30頁

本題考查圖形分割規(guī)律探究問題，圓與圓的位置關(guān)系，利用新增圓被原來每個圓都分成

兩個交點，其交點數(shù)就是新增區(qū)域數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后列式求和，利用規(guī)律解決問題，涉及

數(shù)列n項和公式，代數(shù)式求值，解一元二次方程，仔細觀察圖形，掌握所學(xué)知識是解題

關(guān)鍵.

28.如圖，正方形43CD和正方形AEFG有公共點A,點8在線段DG上.

(1)判斷OG與BE的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若正方形A3CD的邊長為1,正方形AEFG的邊長為近，求5E的長.

【答案】(1)DGLBE,理由見解析；(2)BE的長為叵悔.

2

【分析】

(I)證明AD4G絲△8AE,后證明/48/)+NA8E=90°即可；

(2)連接GE,設(shè)BE=x,根據(jù)(1)的結(jié)論在直角三角形BG￡中根據(jù)勾股定理計算即

可.

【詳解】

(1)DG1.BE,

理由如下：???四邊形ABC￡>,四邊形AEFG是正方形，

：.AB=AD,NDAB=NGAE,AE=AG,/ADB=NA8D=45。，

二ZDAG=NBAE,

在4/?6和4BAE中，

AD=AB

<ZDAG=NBAE,

AG=AE

:?/\DAG學(xué)/\BAE(SAS).

：.DG=BE,ZADG=ZABE=45°,

：.ZABD^ZABE=90°t即NGBE=90。.

：.DG1.BE；

(2)連接GE,

???正方形A8C。的邊長為1,正方形AEFG的邊長為友,

:?BD=72，GE=2,設(shè)BE=x,

?：DG=BE,

:?BG=x-V2，

在RlABGE中,利用勾股定理可得：BG2+BE2=CG\

：.（X-V2）2+X2=22

：.x=6■+娓或x=^一戈（舍去），

22

:.BE的長為更近.

2

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，一元二次方程的解法，熟練證明

三角形全等，運用勾股定理，一元二次方程的思想求解是解題的關(guān)鍵.

29.如圖1,正方形A5C。和正方形AEFG,點E在邊5c上，連接。G.

（1）求證：DG=BE；

（2）如圖2,連接AF交CZ）于點連接C尸，EH；

①求證：EH=BE+DH；

②設(shè)48=4,是否存在BE的長度，使CF/!EHR若存在，請求出BE的長；若不存在，

請說明理由.

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②存在，4