廣東廣州市增城區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題含解析

廣東廣州市增城區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過(guò)程中，從到時(shí)，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.2．某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；時(shí)，空氣質(zhì)量為良；時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為（）A. B.C. D.3．某地政府為落實(shí)疫情防控常態(tài)化，不定時(shí)從當(dāng)?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測(cè).把這批公務(wù)員按001到780進(jìn)行編號(hào)，若054號(hào)被抽中，則下列編號(hào)也被抽中的是（）A.076 B.104C.390 D.5224．設(shè)滿足則的最大值為A. B.2C.4 D.165．從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）A. B.C. D.6．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)7．已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.8．在等差數(shù)列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.99．若離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個(gè)值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.1010．一動(dòng)圓與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，則動(dòng)圓圓心軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線11．已知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知點(diǎn)在橢圓上，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列則是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng).14．，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得______15．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____16．雙曲線的離心率為_(kāi)___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：函數(shù)有零點(diǎn)；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值20．（12分）已知圓的圓心在直線，且與直線相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)且與圓相交，所得弦長(zhǎng)為，求直線的方程.21．（12分）已知數(shù)列{an}滿足*（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn22．（10分）已知橢圓C：（）過(guò)點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)（）的直線l（不與x軸重合）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AC與x軸交于點(diǎn)Q，試問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】依題意，由遞推到時(shí)，不等式左邊為，與時(shí)不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過(guò)程中，假設(shè)時(shí)不等式成立，左邊，則當(dāng)時(shí)，左邊，∴從到時(shí)，不等式的左邊增加了故選：B2、A【解析】根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空氣質(zhì)量為良的概率為，所以該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.3、D【解析】根據(jù)題意，求得組數(shù)與抽中編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可判斷和選擇.【詳解】從780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測(cè)，故需要分為組，每組人，設(shè)第組抽中的編號(hào)為，設(shè)，由題可知：，故可得，故可得.當(dāng)時(shí)，.故選：.4、C【解析】可行域如圖,則直線過(guò)點(diǎn)A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.5、B【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】從中任取個(gè)不同的數(shù)的方法有，共種，其中和為偶數(shù)的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】根據(jù)莖葉圖依次計(jì)算甲和乙的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差即可得到結(jié)果.【詳解】甲的平均數(shù)為：；乙的平均數(shù)為：；甲和乙的平均數(shù)相同；甲的方差為：；乙的方差為：；甲和乙的方差不相同；甲的極差為：；乙的極差為：；甲和乙的極差不相同；甲的中位數(shù)為：；乙的中位數(shù)為：；甲和乙的中位數(shù)不相同.故選：C.7、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A8、D【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，，計(jì)算得到答案.詳解】等差數(shù)列中，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，利用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.9、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因?yàn)?，所以故選：D10、C【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心，與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出幾何關(guān)系式，化簡(jiǎn)，再根據(jù)圓錐曲線的定義，可得到動(dòng)圓圓心軌跡.【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，圓x2+y2＝1的圓心為，半徑為，圓x2+y2﹣8x+12＝0，得，則圓心，半徑為，根據(jù)圓與圓相切，則，，兩式相減得，根據(jù)定義可得動(dòng)圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，圓錐曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故選：A12、B【解析】由，得到，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，可得，所以，因?yàn)?，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因?yàn)?，所以，即又由，所以，解?故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12【解析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)的特點(diǎn)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】數(shù)列中每一項(xiàng)被開(kāi)方數(shù)分別為：6，10，14，18，22，…，因此這些被開(kāi)方數(shù)是以6為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，其通項(xiàng)公式為：，設(shè)數(shù)列為，所以，于是有，故答案為：14、2020【解析】先證得，利用倒序相加法求得表達(dá)式值.【詳解】解：由題意可知，令S=則S=兩式相加得，故填：【點(diǎn)睛】本題考查借助倒序相加求函數(shù)值的和，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是找到的規(guī)律15、4【解析】把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式直接計(jì)算作答.【詳解】橢圓方程化為：，令橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，則，解得，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.故答案為：416、【解析】由題意得：考點(diǎn)：雙曲線離心率三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求p為真時(shí)a的取值范圍，根據(jù)的性質(zhì)判斷與有交點(diǎn)求q為真時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而求p，q均為真時(shí)a的取值范圍.（2）根據(jù)復(fù)合命題的真假可得p，q一真一假，討論p、q的真假分別求a的取值范圍，最后取并集即可.【小問(wèn)1詳解】若p為真，，解得或，所以若q為真，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，故，所以若p，q均為真命題，a的取值范圍為【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，易知：p，q兩命題一真一假當(dāng)p真q假時(shí)，p為真，則或，q為假，則或，此時(shí)a的取值范圍為；當(dāng)p假q真時(shí)，p為假，則，q為真，則，此時(shí)a的取值范圍為綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）化簡(jiǎn)得到，由此證得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）先求得，然后利用錯(cuò)位相減求和法求得.【小問(wèn)1詳解】.又?jǐn)?shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公差等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，①，②，①-②得：，，，，.19、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】（1）推導(dǎo)出，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，可推出，從而平面，進(jìn)而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則∴設(shè)平面的法向量為，則，即得平面一個(gè)法向量為由（1）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】用空間向量求解立體幾何問(wèn)題的注意點(diǎn)（1）建立坐標(biāo)系時(shí)要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準(zhǔn)確求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)（2）用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點(diǎn)需要通過(guò)觀察圖形來(lái)判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論20、（1）（2）或【解析】（1）分析可知圓心在直線上，聯(lián)立兩直線方程，可得出圓心的坐標(biāo)，計(jì)算出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，然后對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出參數(shù)，即可得出直線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為，由題意可知，圓心即為直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，故圓的半徑為，因此，圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由勾股定理可知，圓心到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可得，再由等差數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式即可求解.（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問(wèn)1詳解】（1），即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以，即.【小問(wèn)2詳解】令，所以，所以22、（1）（2）為定值【解析】（1）由題意可得解方程組求出，從而可得橢圓方程，（2）設(shè)直線AB：，，代入橢圓方程，消去，利用根與系數(shù)關(guān)系，再表示出直線AC的