2021年九年級中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺專題復(fù)習(xí)：三角形 綜合練習(xí)題

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺專題復(fù)習(xí)：三角形綜合練習(xí)題

1、如圖，在AABC中，點。，E,尸分別在AB,BC,AC邊上，DE//AC,EF//AB.

(1)求證：\BDE^\EFC.

(2)設(shè)空」，

FC2

①若BC=12,求線段BE的長；

②若AEFC的面積是20,求AABC的面積.

2、在AABC中，NC=90°,AC>BC,D是AB的中點.E為直線上一動點，連

接DE,過點D作DFLDE,交直線BC于點F,連接EF.

(1)如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點時，設(shè)AE=a,BF=b,求EF的長(用含〃涉

的式子表示)；

(2)當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2,用等式表示線段AE,

EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

3、如圖，點P、Q分別是等邊A43c邊回、8c上的動點(端點除外)，點P、

點。以相同的速度，同時從點A、點3出發(fā).

(1)如圖1,連接AQ、CP.求證：MBQ=^CAP;

(2)如圖1,當(dāng)點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ、CP相交于點M,

NQMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；

(3)如圖2,當(dāng)點P、。在AB、的延長線上運動時，直線AQ、CP相交于M,

NQMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù).

圖1圖2

4、如圖1,在△ABC中，乙4=90。,48=4。=0+1,點D,E分別在邊AB,AC

上，且4)=隹=1,連接DE.現(xiàn)將AADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

a(0°<?<360°),如圖2,連接CE,CO.

(1)當(dāng)0。＜。＜180。時，求證:CE=BD；

(2)如圖3,當(dāng)2=9()。時，延長CE交BD于點尸，求證：CF垂直平分BD；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

5、(1)如圖1,已知EK垂直平分BC,垂足為D,AB與EK相交于點F,連接

CF.求證：ZAFE=ZCFD.

(2)如圖2,在Rt^GMN中，ZM=90°,P為MN的中點.

①用直尺和圓規(guī)在GN邊上求作點Q,使得NGQM=NPQN(保留作圖痕跡，不

要求寫作法)；

②在①的條件下，如果NG=60°,那么Q是GN的中點嗎？為什么？

6、已知AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D、E分別是AB、AC的中點,WA

ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a(0°<a<90°)得到△ADE',

連接BD'、CE',如圖1.

(1)求證:BD'=CE'；

(2)如圖2,當(dāng)a=60°時，設(shè)AB與D'E'交于點F,求度的值.

7、如圖①，在Z^ABC中，AB=AC,過AB上一點D作DE〃AC交BC于點E,以

E為頂點，ED為一邊，作NDEF=NA,另一邊EF交AC于點F.

(1)求證：四邊形ADEF為平行四邊形；

(2)當(dāng)點D為AB中點時，口ADEF的形狀為；

(3)延長圖①中的DE到點G,使EG=DE,連接AE,AG,FG,得到圖②，若

AD=AG,判斷四邊形AEGF的形狀，并說明理由.

8、已知在RtAABC中，ZBAC=90°,CD為NACB的平分線，將NACB沿CD

所在的直線對折，使點B落在點B'處，連結(jié)AB，，BB',延長CD交BB，于點E,

設(shè)NABC=2a(0°<a<45°).

(1)如圖1,若AB=AC,求證：CD=2BE；

(2)如圖2,若ABWAC,試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示)；

(3)如圖3,將(2)中的線段BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角(a+45°),得到線段

FC,連結(jié)EF交BC于點0,設(shè)ACOE的面積為Si,ACOF的面積為S2,求一1(用

s2

含a的式子表示).

9、問題：如圖①，在RCABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(不與點B,C

重合)，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BC,DC,

EC之間滿足的等量關(guān)系式為—；

探索：如圖②，在RtaABC與RtZ^ADE中，AB=AC,AD=AE,將AADE繞點A

旋轉(zhuǎn)，使點D落在BC邊上，試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系，

并證明你的結(jié)論；

應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若BD=9,

CD=3,求AD的長.

圖⑤

10、如圖，已知乙4OB=60。，在乙4OB的平分線OM上有一點C,將一個120。角

的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線04、。3相交于點。、E.

⑴當(dāng)4DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(如圖1),請猜想0E4-0D與。。的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)ZDCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與0A不垂直時，到達圖2的位置，(1)中的結(jié)論是

否成立？并說明理由；

(3)當(dāng)Z0CE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？

請在圖3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段。。、。后與。。之

間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

11、將一副三角尺按圖1擺放，等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直平分AB,

與AC相交于點G,BC=2?cm.

(1)求GC的長；

(2)如圖2,將4DEF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，使直角邊DF經(jīng)過點C,另一直角邊

DE與AC相交于點H,分別過H、C作AB的垂線，垂足分別為M、N,通過觀

察，猜想MD與ND的數(shù)量關(guān)系，并驗證你的猜想.

(3)在(2)的條件下，將4DEF沿DB方向平移得到△□'E'F',當(dāng)D'E'

恰好經(jīng)過(1)中的點G時，請直接寫出DD'的長度.

12、如圖①，在RtAABC中，Z4C3=90。，AC=BC,點。、E分別在AC、BC邊

上，DC=EC,連接。E、AE.BD，點、M、N、P分別是AE、BD、的中

點，連接PM、PN、MN.

(1)BE與MN的數(shù)量關(guān)系是_8E=&MW_.

(2)將ADEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②和圖③的位置，判斷3E與MN有怎樣的

數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明.

13、已知。是RtAABC斜邊A3的中點，ZACB=90°,ZABC=30°,過點。作RtADEF

使ZDEF=90。,ZDFE=30°,連接CE并延長CE至UP，使EP=CE,連接BE,FP,

BP,設(shè)8c與交于M,PB與EF交于N.

(1)如圖1,當(dāng)。，B,尸共線時，求證：

①EB=EP;

②NEFP=30°；

(2)如圖2,當(dāng)D,B,尸不共線時，連接8尸，求證：NBFD+NEFP=30°.

14、如圖1,點8在線段CE上，RtAABC^RtACEF,NABC=NCEF=90°,

NB4C=30°,BC=\.

（圖1）（田2）

（1）點尸到直線CA的距離是；

（2）固定△ABC,將^C/繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30。，使得與C4重

合，并停止旋轉(zhuǎn).

①請你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段E/經(jīng)旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形（用陰

影表示，保留畫圖痕跡，不要求寫畫法）該圖形的面積為；

②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CF與AB交于點O,當(dāng)OE=OB時,求OF的長.

15、如圖1,平面直角坐標系宜為中，等腰AABC的底邊BC在x軸上，BC=8,

頂點A在丁的正半軸上，。4=2,一動點E從（3,0）出發(fā)，以每秒1個單位的速

度沿CB向左運動，到達08的中點停止.另一動點F從點C出發(fā)，以相同的速

度沿CB向左運動，到達點0停止.已知點E、尸同時出發(fā)，以EE為邊作正方

形EFGH，使正方形EFGH和AABC在的同側(cè).設(shè)運動的時間為，秒（r>0）.

(1)當(dāng)點“落在AC邊上時，求，的值；

91

(2)設(shè)正方形EFG"與AABC重疊面積為S,請問是存在/值，使得5=「？

36

若存在，求出/值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,取AC的中點。，連結(jié)8,當(dāng)點E、E開始運動時，點M從點。

出發(fā)，以每秒26個單位的速度沿。0-。。-。。-。0運動，到達點。停止運

動.請問在點E的整個運動過程中，點M可能在正方形EFG”內(nèi)(含邊界)嗎？

如果可能，求出點M在正方形EFG”內(nèi)(含邊界)的時長；若不可能，請說明

理由.

16、如果三角形的兩個內(nèi)角a與0滿足2a+8=90°,那么我們稱這樣的三

角形為“準互余三角形”.

(1)若AABC是“準互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,則NB=°；

(2)如圖①，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是/BAC

的平分線，不難證明4ABD是“準互余三角形”.試問在邊BC上是否存在點E

(異于點D),使得4ABE也是“準互余三角形”？若存在，請求出BE的長；

若不存在，請說明理由.

⑶如圖②，在四邊形ABCD中，AB=7,CD=12,BD1CD,/ABD=2NBCD,

且AABC是“準互余三角形”，求對角線AC的長.

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺專題復(fù)習(xí)：三角形綜合練習(xí)題

1、如圖，在443c中，點Z),E,尸分別在Afi,BC,AC邊上，DE//AC,EF//AB.

(1)求證：\BDE^\EFC.

/0AF1

(2)設(shè)——=-,

FC2

①若3c=12,求線段座的長；

②若ASFC的面積是20,求AABC的面積.

【解答】(1)證明：???0E//AC,

:2DEB=/FCE,

???EFIIAB,

:"BE=ZFEC,

ABDEs^FC；

(2)解：①???EF//AB,

,BE_AF

…EC-rc-2J

???EC=BC—BE=12-BE,

?BE_1

…12-BE~2，

解得：BE=4;

/.——FC=—2，

AC3

\EF//AB,

taEFCs曲AC,

.^=(—)2=(-)2=-,

SMBC4c39

99

??SZMBC=WS附c=jx2。=45.

2、在AABC中，ZC=90°,AC>BC,D是AB的中點.E為直線上一動點，連

接DE,過點D作DF_LDE,交直線BC于點F,連接EF.

（1）如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點時，設(shè)==求EF的長（用含。力

的式子表示）;

（2）當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2,用等式表示線段AE,

EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【詳解】（1）???□是AB的中點，E是線段AC的中點

；.DE為AABC的中位線，且CE=AE=a

/.DEIIBC,DE=-BC

2

ZC=90°

二ZDEC=1800-ZC=90°

DF±DE

：.NE。/=90。

四邊形DECF為矩形

，DE=CF

:.CF=-BC^-(BF+CF)

22

CF=BF=b

則在必△€?"中，EF=JCE2+CF2=弋廿+。2；

(2)過點B作AC的平行線交ED的延長線于點G,連接FG

■:BG//AC

：.ZEAD^ZGBD,NDEA=NDGB

?.?D是AB的中點

:.AD=BD

NEAD=NGBD

在A￡4D和4GBD中，,/DEA=NDGB

AD=BD

，AEAD=＜；BD(AAS)

:.ED=GD,AE=BG

又：DFDE

...DF是線段EG的垂直平分線

EF=FG

VZC=90°,BG//AC

：./GBF=/C=9()。

在中，由勾股定理得：FG2=BG2+BF2

：,EF2=AE2+BF2.

3、如圖，點P、Q分別是等邊AABC邊45、BC上的動點(端點除外)，點P、

點。以相同的速度，同時從點A、點3出發(fā).

(1)如圖1,連接AQ、CP.求證：

(2)如圖1,當(dāng)點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ.C尸相交于點M,

NQMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；

(3)如圖2,當(dāng)點P、。在他、的延長線上運動時，直線A。、CP相交于M,

NQMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù).

【解答】解：(1)證明：如圖1,「A/WC是等邊三角形

/.ZABQ=ZCAP=60°,AB=CA,

又?.?點P、。運動速度相同，

：.AP=BQ,

在AA3Q與AC4P中,

AB=CA

<ZABQ=NCPA,

AP=BQ

A43Q二ACAP(SAS);

(2)點、P、。在A3、3C邊上運動的過程中，NQMC不變.

理由：vAABG^ACAP,

/.NBAQ=ZACP,

???ZQMC是MCM的外角,

ZQMC=ZACP+ZM4C=NBAQ+Z.MAC=ABAC

???Nfi4c=60。,

.?.NQMC=60。；

(3)如圖2,點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、上運動時，NQMC不

變

理由：同理可得，AAB0=AC4P,

?..N84Q=ZACP,

-/ZQMC是MPM的外角,

.??/QMC=ZBAQ+ZAPM,

??.Z.QMC=ZACP+ZAPM=180°-/PAC=180°-60°=l20°,

即若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AN、8C上運動，NQMC的度數(shù)為120。.

cc

圖1圖2

4、如圖1,在AABC中，乙4=90。,48=4。=0+1,點口，￡分別在邊45,4。

上，且45=他=1,連接。E.現(xiàn)將聞燈繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

a(0°<?<360°),如圖2,連接CE,BD,CD.

(1)當(dāng)0。＜夕＜180。時，求證：CE=BD；

(2)如圖3,當(dāng)a=9()。時，延長CE交8。于點F，求證：CF垂直平分3￡＞；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，求ABCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【詳解】(1)根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,NCAB=NEAD=90。，

,/ZCAE+ZBAE=NBAD+NBAE=90°,

，ZCAE=ZBAD,

'AC^AB

在^ACE和^ABD中，＜ZG4E=ZBAD,

AE^AD

.'.△ACESAABD(SAS),

，CE=BD；

(2)根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,

'AC^AB

在△ACE和△ABD中，＜NCAE=/BAD,

AE=AD

AAACESAABD(SAS),

，NACE=NABD,

,/ZACE+ZAEC=90°,且NAEC=NFEB,

.?.ZABD+ZFEB=90°,

.,.ZEFB=90°,

ACF1BD,

VAB=AC=V2+bAD=AE=1,ZCAB=ZEAD=90°,

/.BC=V2AB=72+2>CD=AC+AD=V2+2>

：.BC=CD,

VCF1BD,

ACF是線段BD的垂直平分線；

(3)△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最大值時ABC。的面積有

最大值，

???當(dāng)點D在線段BC的垂直平分線上時，ABCD的面積取得最大值，如圖：

VVAB=AC=V2+bAD=AE=1,ZCAB=ZEAD=90°,DGLBC于G,

AG=-BC=立12,NGAB=45°,

22

/.DG=AG+AD=?+2+1=叵T，ZDAB=180°-45°=135°,

22

...△88的面積的最大值為：=及+2)誓主鏟，

旋轉(zhuǎn)角a=135°.

5、(1)如圖1,已知EK垂直平分BC,垂足為D,AB與EK相交于點F,連接

CF.求證：ZAFE=ZCFD.

(2)如圖2,在Rt^GMN中，ZM=90°,P為MN的中點.

①用直尺和圓規(guī)在GN邊上求作點Q,使得NGQM=NPQN(保留作圖痕跡，不

要求寫作法)；

②在①的條件下，如果NG=60°,那么Q是GN的中點嗎？為什么？

???EK垂直平分線段BC,

FC=FB,

；.NCFD=NBFD,

VZBFD=ZAFE,

ZAFE=ZCFD.

(2)①作點P關(guān)于GN的對稱點P',連接P'M交GN于Q,連接PQ,點Q

即為所求.

P'

K

圖2

②結(jié)論：Q是GN的中點.

理由：設(shè)PP'交GN于K.

VZG=60°,ZGMN=90°,

.,.ZN=30°,

VPK1KN,

.?.PK=KP'=1PN,

2

.'.PP'=PN=PM,

：.ZP'=NPMP',

VZNPK=ZP/+NPMP'=60°,

...NPMP'=30°,

/.ZN=ZQMN=30o,ZG=ZGMQ=60°,

，QM=QN,QM=QG,

AQG=QN,

，Q是GN的中點.

6、已知aABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D、E分另是AB、AC的中點，將4

ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a(00<a<90。)得到△ADE',

連接BD'、CE',如圖1.

(1)求證：BD'=CE'；

(2)如圖2,當(dāng)a=60°寸‘設(shè):與D'E'交于點F,嘴的值.

M

工

5圖1cB圖2C

【解答】解:(1)證明：】AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點，

，AD=BD=AE=EC.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：ZDAD'=NEAE'=a,AD'=AD,AEZ=AE.

.'.AD'=AE',

.?.△BD'A^ACEZA,

，BD'=CE'.

(2)連接DD'.

VZDAD,=60°,AD=AD',

.,.△ADD'是等邊三角形.

.?.NADD'=NAD'D=60°,DD'=DA=DB.

/.ZDBD,=NDD'B=30°,

.,.ZBD,A=90°.

VZD/AE'=90°,

AZBAE;=30°,

AZBAEz=NABD',

又?.?/BFD'=ZAFE,,

.?.△BFD'saAFE',

.BFBD'BD'

??而二AE'二AD'.

?.?在RtZXABD'中,tanNBAD'=^_=?,

7、如圖①，在aABC中，AB=AC,過AB上一點D作DE〃AC交BC于點E,以

E為頂點，ED為一邊，作NDEF=NA,另一邊EF交AC于點F.

（1）求證：四邊形ADEF為平行四邊形；

（2）當(dāng)點D為AB中點時，QADEF的形狀為菱形；

（3）延長圖①中的DE到點G,使EG=DE,連接AE,AG,FG,得到圖②，若

AD=AG,判斷四邊形AEGF的形狀，并說明理由.

【解答】(1)證明：IDE〃AC,

/.ZBDE=ZA,

VZDEF=ZA,

.,.ZDEF=ZBDE,

，AD〃EF,XVDE^AC,

...四邊形ADEF為平行四邊形；

(2)解：口ADEF的形狀為菱形，

理由如下：?.?點D為AB中點，

.-.AD=1AB,

2

VDE/7AC,點D為AB中點，

.-.DE=1AC,

2

VAB=AC,

，AD=DE,

平行四邊形ADEF為菱形，

故答案為：菱形；

(3)四邊形AEGF是矩形，

理由如下：由(1)得，四邊形ADEF為平行四邊形,

；.AF〃DE,AF=DE,

VEG=DE,

，AF〃DE,AF=GE,

四邊形AEGF是平行四邊形，

VAD=AG,EG=DE,

AAE1EG,

二四邊形AEGF是矩形.

8、已知在Rt^ABC中，ZBAC=90°,CD為NACB的平分線，將NACB沿CD

所在的直線對折，使點B落在點B'處，連結(jié)AB；BB',延長CD交BB，于點E,

設(shè)NABC=2a(0°<a<45°).

（1）如圖1,若AB=AC,求證：CD=2BE；

（2）如圖2,若ABWAC,試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）；

（3）如圖3,將（2）中的線段BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角（a+45°），得到線段

s

FC,連結(jié)EF交BC于點0,設(shè)的面積為Si,AC0F的面積為S2,求」（用

s2

含a的式子表示）.

【解答】解：（1）如圖1中,

VB.B'關(guān)于EC對稱，

.?.BB'±EC,BE=EB',

/.ZDEB=ZDAC=90°,

VZEDB=ZADC,

.,.ZDBE=ZACD,

VAB=AC,NBAB'=ZDAC=90°,

.,.△BAB'義CAD,

/.CD=BB,=2BE.

（2）如圖2中，結(jié)論：CD=2?BE?tan2a.

理由：由（1）可知：NABB'=ZACD,NBAB'=ZCAD=90°,

.?.△BAB'^ACAD,

?_AB_1

，，-CD__AC-tan2Cl'

.2BE_1

，,-Cr-tan2cF，

/.CD=2,BE,tan2a.

(3)如圖3中,

在RtAABC中，ZACB=90°-2a,

VEC平分NACB,

/.ZECB=1（90°-2a）=45°-a,

2

VZBCF=45°+a,

.,.ZECF=450-a+45°+a=90°,

.,.ZBEC+ZECF=180°,

/.BB,//CF,

AE0=BE=BE=sin（45°_a）＞

OFCFBC

S

???--1-_-E-O，

s2OF

s

；—L=sin(450-a).

s2

9、問題：如圖①，在RSABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(不與點B,C

重合)，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BC,DC,

EC之間滿足的等量關(guān)系式為BC=DC+EC；

探索：如圖②，在RtaABC與RtZ\ADE中，AB=AC,AD=AE,將4ADE繞點A

旋轉(zhuǎn)，使點D落在BC邊上，試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系，

并證明你的結(jié)論；

應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若BD=9,

CD=3,求AD的長.

理由如下：?.?NBAC=NDAE=90°,

AZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即/BAD=NCAE,

在aBAD和4CAE中，

rAB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

A△BADCAE,

，BD=CE,

/.BC=BD+CD=EC+CD,

故答案為：BC=DC+EC；

(2)BD2+CD2=2AD2,

理由如下：連接CE,

由(1)得，ZXBAD^^CAE,

，BD=CE,ZACE=ZB,

/.ZDCE=90o,

；.CE2+CD2=ED2,

在RtZ^ADE中，AD2+AE2=ED2,又AD=AE,

/.BD2+CD2=2AD2；

(3)作AE_LAD,使AE=AD,連接CE,DE,

,/ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即NBAD=/CAD',

在4BAD與4CAE中，

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

.'.△BAD^ACAE(SAS),

?\BD=CE=9,

VZADC=45°,ZEDA=45°,

/.ZEDC=90°,

*e,DE=VCE2-CD2=6^2，

VZDAE=90°,

/.AD=AE=^-DE=6.

2

10、如圖，已知乙408=60。，在Z/OB的平分線OM上有一點C,將一個120。角

的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線。4、。3相交于點。、E.

⑴當(dāng)ZDCE繞點C旋轉(zhuǎn)到C。與OA垂直時（如圖1）,請猜想0E+。0與。。的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)NOCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CO與。4不垂直時，到達圖2的位置，(1)中的結(jié)論是

否成立？并說明理由；

(3)當(dāng)ZDCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？

請在圖3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段。。、OE與OC之

間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】解：(1)???0M是乙40B的角平分線,

???乙40C=乙BOC=-/.AOB=30°,

2

CD1OA,

???LODC=90°,

/.OCD=60°,

???Z.OCE=乙DCE-"CD=60°,

在RM0C0中，OD=OE-cos30°=—OC，

2

同理：0E=四。C，

2

.，.OD+OD=V3OC；

(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由：

過點C作CF104于F,CG10B于G,

???乙OFC=乙OGC=90°,

???ZA0B=60°,

???乙FCG=120°,

同(1)的方法得，OF=^0C，OG=^OC，

OF+OG=y/30C,

??CFLOA,CG1OB,且點。是乙40B的平分線OM上一點,

???CF=CG,

v乙DCE=120°,乙FCG=120°,

:.Z-DCF=Z-ECG,

*'?△CFD=^,CGE9

???DF=EG,

???OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,

OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE,

--OD+OE=V30C:

(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE-OD=也05

理由：過點。作CFJ_04于尸，CG_LOB于G,

乙OFC=Z.OGC=90°,

???^AOB=60°,

Z-FCG=120°,

同(1)的方法得，OF=*C，OG=^-OC，

OF+OG=V3OC，

CFLOA,CG1OB,且點C是乙4OB的平分線OM上一點，

CF=CG,^DCE=120°,Z.FCG=120°,

???乙DCF=乙ECG,

???△CF￡)=ACGE,

???DF=EG,

OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

???OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,

???OE-OD=V30C.

11、將一副三角尺按圖1擺放，等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直平分AB,

與AC相交于點G,BC=2?cm.

(1)求GC的長；

(2)如圖2,將4DEF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，使直角邊DF經(jīng)過點C,另一直角邊

DE與AC相交于點H,分別過H、C作AB的垂線，垂足分別為M、N,通過觀

察，猜想MD與ND的數(shù)量關(guān)系，并驗證你的猜想.

(3)在(2)的條件下，將4DEF沿DB方向平移得到△□‘E'F',當(dāng)D'E'

恰好經(jīng)過(1)中的點G時，請直接寫出DD'的長度.

圖1

在Rt/XABC中，VBC=2V3?ZB=60°,

.?.AC=BC?tan60°=6,AB=2BC=4?,

在RQADG中，AG=—過」=4,

cos30

?二CG=AC=AG=6-4=2.

(2)如圖2中，結(jié)論：DM+DN=2b或DM=DN.

理由：VHM1AB,CN1AB,

/.ZAMH=ZDMH=ZCNB=ZCND=90°,

VZA+ZB=90°,ZB+ZBCN=90°,

.,.ZA=ZBCN.

?詈瓢

同法可證：△DHMs/XCDN,

嚼嚕②

由①②可得AM?BN=DN?DM,

???-D-M-_--B-N,

AMDN

.DM+AM_BN+DN

??―AMDN-'

?.?-A-D-_-B-D,

AMDN

VAD=BD,

，AM=DN,

/.DM+DN=AM+DM=AD=2?.

或「△ABC為直角三角形，D為斜邊AB的中點，

，CD=BD=AD.

又NB=60°,.?.△BDC為等邊三角形，.,.ZCDB=60°.

又NEDF=90°,.,.ZMDA=30°.

VZA=90°-ZB=30°,，AH=HD,

XHM±AD,.，.MD=,

在等邊三角形BCD中，CN_LBD,

/.ND=NB.

又AD=BD,

，MD=ND.

(3)如圖3中，作GK〃DE交AB由K.

在AAGK中，AG=GK=4,ZA=ZGKD=30°,作GH_LAB于H.

則AH=AG?cos30°=2?,

可得AK=2AH=4?,此時K與B重合.

.,.DD'=DB=2?.

12、如圖①，在RtAABC中，44cB=90。，AC=BC,點。、“分別在AC、BC邊

上，DC=EC,連接DE、AE.BD,點、M、N、P分別是AE、BD、45的中

點，連接PM、PN、MN.

（1）BE與MN的數(shù)量關(guān)系是_BE=y^NM

（2）將ADEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②和圖③的位置，判斷BE與仞V有怎樣的

數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明.

【解答】解：（1）如圖①中,

:.PMIIBE,PM=-BE,

2

?:BN=DN,AP=PB,

：.PN//AD,PN=-AD,

2

-.AC^BC,CD=CE,

AD=BE,

:,PM=PN,

???N4CB=90。，

??.AC±BCf

::.-PM//BC,PN//AC,

PM1PN,

「.APMV的等腰直角三角形,

:.MN=OPM,

:.MNU^LBE,

2

:.BE=6MN,

故答案為BE=6MN.

（2）如圖②中，結(jié)論仍然成立.

圖②

理由：連接4),延長跳交AD于點

???AABC和KDE是等腰直角三角形，

:.CD=CE,CA=CB9ZACB=ZDCE=90°,

-,ZACB-ZACE=ZDCE-ZACEf

:.ZACD=ZECB,

,\AECB=ADCA(AAS),

..BE=AD,ZDAC=ZEBC,

???ZAHB=180°-(ZHAB+ZABH)

=180°-(45°+ZHAC+NABH)

=Z180°-(45°+ZHBC+/ABH)

=180°-90°

=90°,

:.BH1.AD,

?：M>N、P分別為A石、BD、AB的中點，

:.PM//BE,PM=-BE,PN//AD,PN=-AD,

22

:.PM=PN,ZMPN=90°,

BE=2PM=2x—MN=y/2MN.

2

13、已知。是RtAABC斜邊/W的中點，Z4Cfi=90°,N4BC=30。，過點。作RtADEF

使ZDEF=90°，ZDFE=30°，連接CE并延長CE到P，使EP=CE,連接BE,FP,

BP,設(shè)8c與力E交于M,PB與EF交于N.

(1)如圖1,當(dāng)。,B,尸共線時，求證：

①EB=EP;

②"7了=30。；

(2)如圖2,當(dāng)O,B,尸不共線時，連接5F,求證：NBFD+/EFP=30°.

【解答】證明(1)①???N4CB=9O。，/4BC=30。,

.?.ZA=90°-30o=60°,

同理Z￡D匹=60。，

:.ZA=ZEDF=60°,

ACIIDE,

:.NDMB=ZACB=90°,

?/D是RtAABC斜邊45的中點，AC11DM,

BMBD1

-----=-----=一，

BCAB2

即M是3c的中點，

??EP=CE,即石是PC的中點，

:.ED//BP9

:.NCBP=/DMB=90。,

「.△CBP是直角三角形，

:.BE=-PC=EP；

2

②TZABC=ZDFE=30°,

二BC//EF,

由①知：ZCBP=90°,

i.BPLEF,

?.?EB=EP,

二所是線段5P的垂直平分線，

:.PF=BF,

:.ZPFE=ZBFE=30。；

(2)如圖2,延長力E到。，使EQ=OE,連接CD,PQ,FQ,

圖2

-/EC=EP,/DEC=NQEP,

kQEP^KDEC(SAS),

貝|JPQ=OC=O5,

\QE=DE,ZDEF=90°

???￡/是DQ的垂直平分線，

??.QF=DF,

\CD=AD,

:.^CDA=ZA=60°9

??.NCDB=120。,

/.ZFDB=1200-ZFDC=120°-(60°+ZEDC)=60°-ZEDC=600-ZEQP=ZFQP9

:.AFQP三"DBISAS),

NQFP=NBFD,

???EF是OQ的垂直平分線,

NQFE=NEFD=30°,

:.ZQFP+ZEFP=30°,

:.ZBFD+ZEFP=30°.

14、如圖1,點8在線段CE上，RtAABC^RtACEF,ZABC=NCEF=90。,

NB4C=30°,BC=\.

(圖1)(田2)

(1)點尸到直線CA的距離是；

(2)固定△ABC,將^C/繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30。，使得與C4重

合，并停止旋轉(zhuǎn).

①請你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段E/經(jīng)旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形(用陰

影表示，保留畫圖痕跡，不要求寫畫法)該圖形的面積為；

②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CF與AB交于點O,當(dāng)。石=。3時，求OF的長.

【詳解】解：(1)ABAC=30°,ZABC=90°,/.ZACB=60°,

VRtAABC0R3CEF,

：.NECF=NBAC=30。,EF=BC=\,

：.ZACF=3Q°,：.ZACF=ZECF=30°,

...Cb是NAC8的平分線，

/.點F到直線CA的距離=EF=1；

故答案為：1;

(2)①線段EF經(jīng)旋轉(zhuǎn)運動所形成的平面圖形如圖3中的陰影所示:

圖3

在RtA中，；/ECF=30°,EF=\,

：.CF=2,CE=6,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CF=CA=2,CE=CG=y/3,ZACG=ZECF=30°,

?*s陰影二（CEF+S扇形ACT）—（SAACG+S扇形CEG）~S扇形ACF-S扇形CEG=

30^x2*234*630%x（G）_兀,

360360~~~12

故答案為：;

②作七HLCF于點H,如圖4,

在RtZkEF”中，VZF=60°,EF=\,

FH^-,EH

22

13

：.CH=2——=—,

22

設(shè)OH=x,則OC=|-x,OE2EH2+OH2+x2^^+x2,

3

?：OB=OE,：.OB2=-+x2,

4

3f3\2

在R35OC中，9：OB2+BC2=OC2,A-+X2+1=--X,

4（2J

解得：x=~79

6

112

0F=—+—

263

15、如圖1,平面直角坐標系xOy中，等腰AABC的底邊6C在X軸上，BC=8,

頂點A在y的正半軸上，。4=2,一動點E從(3,0)出發(fā)，以每秒1個單位的速

度沿CB向左運動，到達OB的中點停止.另一動點尸從點C出發(fā)，以相同的速

度沿CB向左運動，到達點。停止.已知點E、E同時出發(fā)，以族為邊作正方

形EFGH,使正方形EFGH和AABC在BC的同側(cè).設(shè)運動的時間為f秒(后0).

(1)當(dāng)點”落在AC邊上時，求/的值；

91

(2)設(shè)正方形EFGH與AABC重疊面積為S,請問是存在/值，使得5=：^?

36

若存在，求出/值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,取4C的中點。，連結(jié)8,當(dāng)點E、尸開始運動時，點M從點。

出發(fā)，以每秒26個單位的速度沿0。-。C-CD-￡>0運動，到達點。停止運

動.請問在點E的整個運動過程中，點M可能在正方形EFG”內(nèi)(含邊界)嗎？

如果可能，求出點M在正方形EFG”內(nèi)(含邊界)的時長；若不可能，請說明

理由.

【詳解】(1)由題意，A(0,2),B(-4,0),C(4,0),

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b,

將點A、C坐標代入，得：

rf1

4左+0=0k='

Lc,解得：12,

-[b=2

...直線AC的函數(shù)解析式為y=-；尤+2,

當(dāng)點“落在AC邊上時，點E(3-t,0),點H(3-t,1),

將點H代入y=-；％+2,得：

1=-1(3-?)+2,解得：t=l；

(2)存在，/=14使得S=931

336

根據(jù)已知，當(dāng)點F運動到點0停止運動前，重疊最大面積是邊長為1的正方形

91

的面積，即不存在3使重疊面積為S=,故t>4,

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=mx+n,

將點A、B坐標代入，得:

1

-4m+n=0m=—

〃=2'解得：2,

n=2

...直線AC的函數(shù)解析式為y=gx+2,

當(dāng)t>4時，點E(3-t,0)點H(3-t,t-3),G(0,t-3),

當(dāng)點H落在AB邊上時，將點H代入y