13.5 逆命題與逆定理 同步練習

第13章全等三角形13.5逆命題與逆定理基礎過關全練知識點1互逆命題與互逆定理1.(2023河北秦皇島海港期末)下列命題的逆命題一定成立的是()A.對頂角相等B.若a>b，則a2>b2C.若a=b，則|a|=|b|D.同位角相等，兩直線平行2.(2023北京平谷期末)命題“等邊對等角”是命題(填“真”或“假”)，它的逆命題是.

知識點2線段的垂直平分線3.如圖，△ABC中，∠A=105°，AB的垂直平分線EF交BC于點D，BD=AC，則∠B的度數(shù)為()A.15°B.20°C.25°D.30°4.(2023海南澄邁期中)如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若∠BAC=102°，則∠EAF為()A.24°B.38°C.40°D.44°[變式](2022吉林四平伊通期末)如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線l1交AB于點M，交BC于點D，AC的垂直平分線l2交AC于點N，交BC于點E，l1與l2相交于點O，△ADE的周長為10.(1)求BC的長；(2)試判斷點O是否在邊BC的垂直平分線上，并說明理由.5.(2023吉林長春汽開區(qū)期末)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，直線DE是線段AB的垂直平分線，交BC于點E.已知△ABC的周長是24，AD的長是5.求△AEC的周長.6.如圖，已知△ABC.通過尺規(guī)作圖，得到直線DE和射線AF，且AE=EC，∠EAF=25°.求∠B的度數(shù).7.(2023福建廈門一中期中)如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，D為線段CE的中點，且BE=AC.(1)求證：AD⊥BC；(2)若∠BAC=90°，DC=2，求BD的長.知識點3角平分線8.(2023湖南長沙雅禮教育集團期末)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB=10，S△ABD=15，則CD的長為()A.3B.4C.5D.69.如圖，△ABC的外角的平分線BD與CE相交于點P，若點P到AC的距離為3，則點P到AB的距離為()A.1B.2C.3D.4[變式]如圖，AB=AC，△ABC的內角∠ABC的平分線BD與△ACB的外角∠ACF的平分線交于點D，△ABC的外角∠MBC的平分線與CD的反向延長線交于點E，以下結論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC=90°；④DB平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC=180°.其中正確的結論有.(填序號)

10.(2022福建龍巖期中)如圖，已知AB∥CD，O為∠BAC、∠ACD的平分線的交點，OE⊥AC于E，且OE=2，則兩平行線AB、CD間的距離等于.

11.電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔，如圖，按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路OM，ON的距離也必須相等，發(fā)射塔P應修建在什么位置?請你作出來.能力提升全練12.(2022山東德州中考)在△ABC中，根據下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷AB與AC大小關系的是()A．B．C．D．13.(2022吉林長春農安期末)命題“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是命題.(填“真”或“假”)

14.(2022湖南衡陽中考)如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于12AB的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交CB于點D，連結AD.若AC=8，BC=15，則△ACD的周長為素養(yǎng)探究全練15.如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，E為CD的中點，連結AE并延長，交BC的延長線于點F.(1)求證：CF=AD；(2)若AD=2，AB=8，當BC的值為多少時，點B在線段AF的垂直平分線上?為什么?16.在△ABC中，D是BC邊上的點(不與點B、C重合)，連結AD.(1)如圖①，當D是BC邊的中點時，S△ABD∶S△ACD=；

(2)如圖②，當AD是∠BAC的平分線時，若AB=m，AC=n，求S△ABD∶S△ACD的值(用含m、n的式子表示)；(3)如圖③，AD平分∠BAC，延長AD到E，使得DE=AD，連結BE，如果AC=2，AB=4，S△BDE=6，求S△ABC的值.

第13章全等三角形13.5逆命題與逆定理答案全解全析基礎過關全練1.DA選項，逆命題為相等的角是對頂角，相等的角不一定是對頂角，逆命題不一定成立，不符合題意.B選項，逆命題為若a2>b2，則a>b.若a2>b2，則|a|>|b|，a不一定大于b，逆命題不一定成立，不符合題意.C選項，逆命題為若|a|=|b|，則a=b.若|a|=|b|，則a=b或a=-b，逆命題不一定成立，不符合題意.D選項，逆命題為兩直線平行，同位角相等，逆命題成立，符合題意.故選D.2.答案真；等角對等邊解析“等邊對等角”是等腰三角形的性質，是真命題，它的逆命題是“等角對等邊”.3.C連結AD，如圖，∵直線EF是線段AB的垂直平分線，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∴∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B，∵BD=AC，∴AD=AC，∴∠ADC=∠C=2∠B，∵∠BAC=105°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=75°，∴3∠B=75°，∴∠B=25°，故選C.4.A∵∠BAC=102°，∴∠B+∠C=180°-102°=78°，∵直線GE是線段AB的垂直平分線，∴EA=EB，∴∠EAB=∠B，同理可得∠FAC=∠C，∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=78°，∴∠EAF=102°-78°=24°，故選A.[變式]解析(1)∵l1是線段AB的垂直平分線，∴DB=DA，∵l2是線段AC的垂直平分線，∴EA=EC，∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=C△ADE=10.(2)點O在邊BC的垂直平分線上.理由：連結AO，BO，CO，如圖，∵l1與l2分別是線段AB，AC的垂直平分線，∴AO=BO，CO=AO，∴OB=OC，∴點O在邊BC的垂直平分線上.5.解析∵直線DE是線段AB的垂直平分線，AD=5，∴AE=BE，AB=2AD=10，∵C△ABC=AB+AC+BC=24，∴AC+BC=14，∴△AEC的周長=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=14.6.解析根據作圖痕跡，知AF是∠EAC的平分線，∴∠EAC=2∠EAF.∵∠EAF=25°，∴∠EAC=50°.∵AE=EC，∴∠C=∠EAC=50°，∴∠AEC=180°-∠EAC-∠C=180°-50°-50°=80°.由作圖痕跡，知直線DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠B=∠BAE.∵∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠B=12∠AEC=17.解析(1)證明：連結AE，如圖，∵直線EF是線段AB的垂直平分線，∴BE=AE，∵BE=AC，∴AE=AC，∵D為線段CE的中點，∴AD⊥BC.(2)∵BE=AE，∴∠EAB=∠B，∴∠AEC=∠EAB+∠B=2∠B，∵AE=AC，∴∠AEC=∠C，∴∠C=2∠B，∵∠BAC=90°，∴∠C=60°，∴△AEC為等邊三角形，∴AE=EC，∵AE=AC，AD⊥EC，∴ED=DC=2，∴AE=EC=4，∴BE=AE=4，∴BD=BE+ED=4+2=6.8.A如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S△ABD=12AB·DE=12×10·解得DE=3，∴CD=3.故選A.9.C如圖，過點P作PF⊥直線AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥直線AB于H，∵BD是∠HBC的平分線，CE是∠FCB的平分線，∴PG=PH，PF=PG=3，∴PH=3，即點P到AB的距離為3.故選C.[變式]答案①②③⑤解析如圖，過點D作DG⊥BF于G，DH⊥AB交BA的延長線于H，DP⊥AC于P，過點A作AQ⊥BC于Q，∵BD平分∠ABC，∴DH=DG，∵CD平分∠ACF，∴DG=DP，∴DH=DP，∴AD平分∠CAH，即∠CAD=∠HAD=12∠CAH∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠CAD+∠HAD+∠BAC=180°，∴∠CAD=∠ACB，∴AD∥BC，因此①正確；∵BE平分∠CBM，BD平分∠ABC，∠CBM+∠ABC=180°，∴∠DBE=12∠ABC+12∠CBM=1∴BD⊥BE，因此②正確；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵CD平分∠ACF，∴∠ACD=∠FCD，∵∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠DCF=∠BDC+∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC∵AQ⊥BC，AB=AC，∴∠BAQ=∠CAQ=12∠BAC∵∠BAQ+∠ABC=90°，∴∠BDC+∠ABC=90°，因此③正確；∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=12∠ABC=12=45°-14∠BAC又∠BDC=12∠BAC∴∠ADB與∠BDC不一定相等，因此④不正確；∵BE⊥BD，∴∠E+∠BDC=90°，∵∠BDC=12∠BAC∴∠E+12∠BAC=90°∴2∠E+∠BAC=180°，因此⑤正確.綜上所述，正確的結論有①②③⑤.10.答案4解析如圖，過點O作MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分線，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2，∵CO是∠ACD的平分線，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB與CD之間的距離是4.11.解析如圖，作AB的垂直平分線，作∠MON和∠QON的平分線與AB的垂直平分線交于P1，P2，發(fā)射塔應修建在P1或P2處.能力提升全練12.DA.由作圖痕跡可知AC>AB，所以A選項不符合題意；B.由作圖痕跡可知AC>AB，所以B選項不符合題意；C.如圖，連結BD，由作圖痕跡可知直線DE是線段BC的垂直平分線，所以DB=DC，因為AD+DB>AB，所以AC=AD+DC=AD+DB>AB，所以C選項不符合題意；D.由作圖痕跡不能判斷AB與AC的大小關系，所以D選項符合題意.故選D.13.答案真解析原命題的逆命題是“同位角相等，兩直線平行”，是真命題.14.答案23解析由尺規(guī)作圖可知直線MN是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴△ACD的周長為AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8+15=23.素養(yǎng)探究全練15.解析(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ECF=∠EDA.∵E為CD的中點，∴CE=DE，在△FEC與△AED中，∠FEC=∠AED∴△FEC≌△AED，∴CF=AD.(2)當BC=6時，點B在線段AF的垂直平分線上.理由：∵BC=6，AD=2，AB=8，∴AB=BC+AD，又∵CF=AD，BC+CF=BF，∴AB=BF，∴點B在線段AF的垂直平分線上.16.解析(1)如圖，過A作AE⊥BC于E，∵D是BC邊的