慶陽市2025屆高三階段性調(diào)研測(cè)試（一模）數(shù)學(xué)試卷（含答案詳解）

第1頁/共19頁慶陽市高三階段性調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】求出集合的交集即可得出元素個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榧希?，所以，即集合中?個(gè)元素.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則求的代數(shù)形式，再求其實(shí)部即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的?shí)部為.故選：B.3.若雙曲線的右支上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為9，則到左焦點(diǎn)的距離為（）A.3 B.12 C.15 D.3或15【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程求得，再利用雙曲線的定義即可得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，則，設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，又點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，所以，則.故選：C.4.已知某圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓臺(tái)體積公式計(jì)算即得.【詳解】根據(jù)題意，可得該圓臺(tái)的體積為:.故選：B.5.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】對(duì)于，有10-2x2≥010-2對(duì)于，其圖象開口向下，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，則，則的值域?yàn)?故選：D.6.在平行四邊形ABCD中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平面向量的基本定理求解即可.【詳解】如圖：.故選：C7.若銳角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用齊次式法求值可求出，進(jìn)而求出的值，再利用兩角和的正切公式即可求得答案.【詳解】由題意可得，解得或，而為銳角，故舍去，則，故.故選：C.8.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.是奇函數(shù)C. D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】利用賦值法可得，即可判斷A，利用，即可根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷B，利用可判斷的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可判斷D，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解C.【詳解】取，則，即，得，故A正確；取，則，得，故是奇函數(shù)，B正確；對(duì)任意的都有，可得，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；由于且是奇函數(shù)，得，即，因此，C正確.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由得到，即可判斷對(duì)稱，利用，即可利用遞推法求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓：，則（）A.的焦點(diǎn)在軸上 B.的焦距為10C.的離心率為 D.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】對(duì)于橢圓：，可得，故橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，故AD錯(cuò)誤，BC正確.故選：BC10.設(shè)函數(shù)最小正零點(diǎn)為，則（）A.的圖象過定點(diǎn)B.的最小正周期為C.是等比數(shù)列D.的前10項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】【分析】直接將定點(diǎn)代入判斷A，利用三角函數(shù)的周期公式判斷B，利用整體代入法求得的零點(diǎn)，進(jìn)而求得，再利用等比數(shù)列的定義判斷C，利用等比數(shù)列求和公式判斷D，從而得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，得，所以，整理得，即的零點(diǎn)為，而是的最小正零點(diǎn)，則，，顯然，，，所以an是，的等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，an的前10項(xiàng)和為，故D正確.故選：ACD.11.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（）A.在四面體中，點(diǎn)的曲率為B.在四面體中，點(diǎn)的曲率大于C.四面體外接球的表面積為D.四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)及四面體的內(nèi)切球與外切球的半徑算法，結(jié)合曲率的定義分別計(jì)算各選項(xiàng).【詳解】在正方體中，易證為正三角形，，，在四面體中，點(diǎn)的曲率為，A選項(xiàng)正確；在正方體中，，，，在四面體中，點(diǎn)的曲率為，B選項(xiàng)正確；四面體外接球的半徑即為正方體外接球的半徑為，四面體外接球的表面積為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；四面體的體積，四面體的表面積，四面體內(nèi)切球的半徑，即，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，5，1，6，8，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為_______；若從這組數(shù)據(jù)中任意抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，則這2個(gè)數(shù)據(jù)不相等的概率為______．【答案】①.②.【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可；由古典概型的概率公式求解即可.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，1，2，3，3，5，6，8，共個(gè)數(shù)，由于，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為：；從這組數(shù)據(jù)中任意抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，則樣本空間為：，共個(gè)樣本點(diǎn)，則這2個(gè)數(shù)據(jù)相等的有共個(gè)，所以不相等的有個(gè)樣本點(diǎn)，所以這2個(gè)數(shù)據(jù)不相等的概率為.故答案為：；13.為了讓自己漸漸養(yǎng)成愛運(yùn)動(dòng)的習(xí)慣，小明10月1日運(yùn)動(dòng)了5分鐘，從第二天開始，每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)比前一天多2分鐘，則從10月1日到10月的最后一天，小明運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)為________分鐘．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，小明每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式得解.【詳解】由題意小明每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，其中，，所以（分鐘），即小明運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)為1085分鐘.故答案：14.若過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且，則__________．【答案】2或4【解析】【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，利用，即可求出答案.【詳解】如圖，記圓的圓心為與交于點(diǎn)，圓的半徑為r，由題意可得，，所以，即，解得或16，即或4，經(jīng)檢驗(yàn)，都滿足題意．故答案為：2或4四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，，，．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）設(shè)D為AC邊上一點(diǎn)，且，求sin∠BDA．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出的長(zhǎng).（2）利用正弦定理求出即可.【小問1詳解】在中，，由余弦定理得：.【小問2詳解】在中，由正弦定理得，所以.16.如圖，平面，平面，四邊形為正方形，，位于平面的兩側(cè)．（1）證明：平面平面．（2）若，，，求平面與平面夾角（銳角）的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，再由面面垂直判定定理證明結(jié)論.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)槠矫妫矫妫?，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，則A0,0,0，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，故，令，可得，，故為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，所以.所以平面與平面夾角（銳角）的余弦值為.17.貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實(shí)個(gè)大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽面有暈．貴妃杏口感甜美，肉質(zhì)實(shí)心鮮嫩多汁，營(yíng)養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產(chǎn)之一．已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏（按個(gè)計(jì)算）的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，且．從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個(gè)，它們的質(zhì)量（單位：克）為，這10個(gè)貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機(jī)選取1個(gè)，若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克，則贈(zèng)送1個(gè)貴妃杏；若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克，則贈(zèng)送2個(gè)貴妃杏．記甲和乙獲贈(zèng)貴妃杏的總個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）100（2）0.3（3）分布列見解析，1.4【解析】【分析】（1）由平均數(shù)的求法，直接求出的值；（2）由正態(tài)分布的對(duì)稱性即可算出結(jié)果.（3）由數(shù)據(jù)得出個(gè)人獲贈(zèng)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，在得到兩個(gè)人總共獲贈(zèng)可能個(gè)數(shù)及其對(duì)應(yīng)的概率，從而得出分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以．【小?詳解】設(shè)1人獲贈(zèng)貴妃杏的個(gè)數(shù)為，則．依題意可得的可能取值為，，，，，，則的分布列為012340.250.30.290.120.04所以.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線上，，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，且的最小值為5.（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為，求的斜率.【答案】（1）（2）4或【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化一個(gè)距離，則可用兩點(diǎn)間距離線段最短得解；（2）利用方程組思想結(jié)合韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)法來研究，即可得解.【小問1詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，則，整理得，解得或，因?yàn)椋?，故的方程?【小問2詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線.聯(lián)立，消元得，則，由，得代入韋達(dá)定理得：化簡(jiǎn)得，得或.故的斜率為4或.19.定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱“”為三角形函數(shù).（1）已知函數(shù)，若為二次函數(shù)，且，寫出一個(gè)，使得“”為三角形函數(shù)；（2）已知函數(shù)，若“”為三角形函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，證明：“”為三角形函數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由定義中的任意性，將條件不等式轉(zhuǎn)化為.求，構(gòu)造二次函數(shù)，使即可；（2）按與的大小分類討論，求解函數(shù)的值域，再結(jié)合定義建立關(guān)于的不等式求解可得；（3）利用（1）結(jié)論得，轉(zhuǎn)化命題證明，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)出隱零點(diǎn)探求零點(diǎn)范圍，證明即，將零點(diǎn)滿足關(guān)系式代回化簡(jiǎn)換元，再構(gòu)造新函數(shù)，證明即可.【小問1詳解】由，，得，令，解得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以.因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，且，所以的對(duì)稱軸為，設(shè)，要使“”為三角形函數(shù)，只要，取，則，，滿足，則，即成立.故若，取，可使得“”為三角形函數(shù).（答案不唯一，參考函數(shù)，寫出任意一個(gè)滿足題意的都可以）【小問2詳解】，①當(dāng)時(shí)，，則任意，故“”為三角形函數(shù).②當(dāng)時(shí)，由，則，；要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；③當(dāng)時(shí)，則，要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】，.由（1）知，，則任意，；下面證明.由，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.又，由參考數(shù)據(jù)可知，，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使，即().所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；故，由()式可知，則