重難點13 極化恒等式與等和（高）線定理（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點13極化恒等式與等和（高）線定理【四大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用極化恒等式求值】 3【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】 5【題型3利用等和線求基底系數(shù)和的值】 8【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】 111、極化恒等式與等和（高）線定理極化恒等式是平面向量中的重要等式，是解決平面向量的數(shù)量積問題的重要工具，有平行四邊形模型和三角形模型兩大重要模型，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系；等和（高）線定理是平面向量中的重要定理，由三點共線結(jié)論推導(dǎo)得出，在求基底系數(shù)和的值、最值（范圍）中有著重要作用.【知識點1極化恒等式】1．極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設(shè)，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.2．幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角線長”平方差的，即(如圖).(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即(M為BC的中點)(如圖).極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系.【知識點2等和(高)線定理】1．等和(高)線定理(1)由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若(λ,μ∈R)，則λ+μ=1，由△OAB與△OA'B'相似，必存在一個常數(shù)k,k∈R，使得，則，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. (2)平面內(nèi)一個基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若點P'在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ+μ=k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k=1；②當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時，k∈(0,1)；③當(dāng)直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1,+∞)；④當(dāng)?shù)群途€過O點時，k=0；⑤若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；⑥定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.【題型1利用極化恒等式求值】【例1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E，F(xiàn)是線段AD的兩個三等分點，若BA?CA=7，BE?CE=2，則BF?CF=（

）A．?2 B．?1 C．1 D．2【解題思路】利用幾何關(guān)系將BA,CA,BE,CE均用BC,AD表示出來，進而將BA?【解答過程】依題意，D是BC邊的中點，E，F(xiàn)是線段AD的兩個三等分點，則BA?BE?因此FD2=1,故選：B.【變式1-1】（23-24高三上·福建廈門·期末）如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，BF=2FO，則FD?A．?34 B．?89 C．【解題思路】根據(jù)題意，得到FD?FE【解答過程】因為圓半徑為1BC是直徑，BF=2所以|OF根據(jù)向量加法和減法法則知：FD=又DE是直徑，所以O(shè)D=?則FD=?(OE+OF)?(OE?OF故選B.【變式1-2】（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA＝3，OC＝5.若AB?AD=－7，則BC?DC【解題思路】根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積運算，利用AB?AD=(AO+【解答過程】在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA=3,OC=5,∴OB若AB?則(AO+OB)?(AO+OD)∴OB2=16∴BC?DC=(BO+OC故答案為：9.【變式1-3】（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則EF?FG+GH?【解題思路】在平行四邊形ABCD中，取HF的中點O，根據(jù)相等向量和向量的加法運算法則及數(shù)量積運算求解.【解答過程】如圖：在平行四邊形ABCD中，取HF的中點O，則EF?FG=則EF?故答案為：32【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】【例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）半徑為2的圓O上有三點A、B、C滿足OA+AB+AC=0，點A．[?4，14) B．[0，4) C．[4，14] D．[4，16]【解題思路】設(shè)OA與BC交于點D，由OA+AB+AC=0得四邊形OBAC是菱形，D是對角線中點，PA,PO,【解答過程】如圖，OA與BC交于點D，由OA+AB+所以四邊形OBAC是菱形，且OA=OB=2，則AD=OD=1，BD=DC=3由圖知PB=PD+DB，∴PB?同理PA=PD+DA，∴PA?∴PA?∵點P是圓內(nèi)一點，則0≤|PD|<3，∴故選：A.【變式2-1】（23-24高一下·江蘇南通·期中）正三角形ABC的邊長為3，點D在邊AB上，且BD=2DA，三角形ABC的外接圓的一條弦MN過點D，點P為邊BC上的動點，當(dāng)弦MN的長度最短時，PM?A．[?1,5] B．[?1,7]C．[0,2] D．[1,5]【解題思路】設(shè)O為△ABC外接圓的圓心，結(jié)合垂徑定理和正弦定理，可得MN=22，再由極化恒等式推出PM?PN【解答過程】解：設(shè)O為△ABC外接圓的圓心，因為BD=2DA，所以當(dāng)弦MN的長度最短時，MN⊥OD，在△ABC中，由正弦定理知，外接圓半徑R=12?所以MN=2MD=2O因為PM+PN2所以PM?因為點P為線段BC上的動點，所以當(dāng)點P與點Q重合DQ⊥BC時，|PD當(dāng)點P與點C重合時，|PD在△BCD中，由余弦定理知，CD|所以|PD綜上，PD∈[所以PM?

故選：D．【變式2-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知△OAB的面積為1,AB=2，動點P,Q在線段AB上滑動，且PQ=1，則OP?OQ的最小值為【解題思路】根據(jù)題意，記線段PQ的中點為H，由S△OAB=1且AB=2，可得點O到直線AB的距離為d=1，由【解答過程】記線段PQ的中點為H，點O到直線AB的距離為d，則有S△OAB=1由極化恒等式可得：OP=OH故答案為：34【變式2-3】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）在面積為2的平行四邊形中ABCD中，∠DAB=π6，點P是AD所在直線上的一個動點，則PB2【解題思路】取BC的中點Q，連接PQ，利用極化恒等式可得PB2結(jié)合基本不等式與四邊形面積可得最小值.【解答過程】取BC的中點Q，連接PQ，則PB+PC=2∴PB2=當(dāng)且僅當(dāng)|PQ|=3故答案為：23【題型3利用等和線求基底系數(shù)和的值】【例3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE=23BC，DF=34A．32 B．?112 C．1【解題思路】由已知結(jié)合向量的線性運算及平面向量基本定理即可求解．【解答過程】在平行四邊形ABCD中，BE=23BC所以AF=AD若AF=λAB+μAD，則故選：A．【變式3-1】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）在△ABC中，BE=12EC,BF=12BA+BC，點A．0 B．14 C．12 【解題思路】利用平面向量基本定理得到AP=1?kAB+12k【解答過程】因為BF=12BA+B,P,F三點共線，故可設(shè)BP=kBF，即整理得AP=k因為BE=12EC，所以A,P,E三點共線，可得AP=m所以2m3=1?km可得AP=12AB+故選：D.【變式3-2】（23-24高一上·江蘇常州·期末）在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)在線段DC上，且CF=2DF．若AC=λAE+μAF，λ,μ均為實數(shù)，則λ+μ的值為【解題思路】設(shè)AB=a,AD=b，結(jié)合幾何性質(zhì)用【解答過程】解：設(shè)AB=∵在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)在線段DC上，且CF=2DF，∴AE=∵AC=λAE+μAF，∴AC=∴{λ+μ3∴λ+μ=7故答案為：75【變式3-3】（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）如圖，在矩形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點，若MN=λ1AM+λ2BN，【解題思路】利用向量的線性運算及平面向量基本定理即可求解.【解答過程】因為M，N分別為線段BC，CD的中點，所以MN=AM=BN=所以MN=(λ所以{λ1?所以λ1所以λ1+λ故答案為：25【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】【例4】（2024·山東煙臺·三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若AP=xAB+yAC，則A．83 B．2 C．43【解題思路】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【解答過程】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設(shè)AP=λAE+μ∵BC//EF，∴設(shè)AEAB=∴AE=kAB∴x=λk,y=μk∴2x+2y=故選：A.【變式4-1】（23-24高三上·河北滄州·期中）如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點P是區(qū)域ABCD內(nèi)任意一點（含邊界），且AP=λAB+μACλ,μ∈R

A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．0,4【解題思路】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)AD垂直平分BC于點O，的DO=2AO，當(dāng)點P與點A重合和點P與點D重合時，分別求得λ+μ的最值，即可求解.【解答過程】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)AD垂直平分BC于點O，因為△BCD與△ABC的面積之比為2，則DO=2AO，當(dāng)點P與點A重合時，可得AP=0，此時λ=μ=0，即λ+μ的最小值為當(dāng)點P與點D重合時，可得AP=3此時λ=μ=32，即λ+μ，此時為最大值為所以λ+μ的取值范圍為0,3.故選：C.【變式4-2】（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在△ABC中，M為BC邊上任意一點，N為線段AM上任意一點，若AN=λAB+μAC（λ，μ∈R），則λ+μ的取值范圍是【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)AN=tAM，然后分t=0與【解答過程】由題意，設(shè)AN=tAM，當(dāng)t=0時，AN=0，所以所以λ=μ=0，從而有λ+μ=0；當(dāng)0<t≤1時，因為AN=λAB+μAC（所以tAM=λAB因為M、B、C三點共線，所以λt+μ綜上，λ+μ的取值范圍是[0,1].故答案為：[0,1].【變式4-3】（23-24高一下·廣西桂林·期末）已知O為△ABC內(nèi)一點，且4OA+8OB+5OC=0，點M在△OBC內(nèi)（不含邊界），若AM【解題思路】設(shè)AO=mAB+nAC，根據(jù)題意結(jié)合平面向量基本定理可得AO=817【解答過程】設(shè)AO=mAB+n可得OB=因為4OA即4?m整理可得8?17mAB+5?17n則8?17m=5?17n=0，解得m=8即AO=817又因為點M在△OBC內(nèi)（不含邊界），設(shè)OM=xOB+y可得OM=則AM=可得λ=817+且0<x+y<1，可得λ+μ=13所以λ+μ的取值范圍是1317故答案為：1317一、單選題1．（2024·四川綿陽·三模）如圖，在△ABC中，AF=BF=6,EF=5，則EA?EB=A．?11 B．?13 C．?15 D．15【解題思路】根據(jù)極化恒等式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，直接求解即可.【解答過程】因為a?故EA?EB=故選：A.2．（2024·陜西西安·一模）在△ABC中，點D是線段AC上一點，點P是線段BD上一點，且CD=DA，AP=23A．16 B．13 C．23【解題思路】依題意可得AC=2AD，即可得到AP=【解答過程】因為CD=DA，所以AD=又AP=23因為點P是線段BD上一點，即B、P、D三點共線，所以23+2λ=1，解得故選：A.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AE=13AD，AF=2AE，AB?AC=6A．?1 B．2 C．?12 【解題思路】利用向量的線性運算及向量的數(shù)量的運算律即可求解.【解答過程】AB?同理可得FB?又AE=13所以AD2=9FD2，所以EB?故選：D.4．（2024·陜西榆林·三模）在△ABC中，E在邊BC上，且EC=3BE,D是邊AB上任意一點，AE與CD交于點P，若CP=xCA+yCB，則A．34 B．?34 【解題思路】利用向量的線性運算，得CP=CE+【解答過程】∵A?P?則CP=又∵CP=xCA+yCB故選：C.5．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，a?b=14AD2?BC2，我們稱為極化恒等式.已知在△ABC中，M是BC中點，AM=3A．?16 B．16 C．?8 D．8【解題思路】可以把三角形補形為平行四邊形，AM=【解答過程】由題設(shè)，△ABC可以補形為平行四邊形ABDC，由已知得AM=3,BC=10,AB故選：A．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若A．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】表達出AP，利用平面向量基本定理求出λ,t，即可求出λ+t的值.【解答過程】由題意及圖可得，∵BP=λ∴AP=∵AN=t∴AN=tt+1∵AP=∴11+λ=14，tλ(1+t)(1+λ)=1故選：C．7．（23-24高三上·山東濰坊·期末）已知正方形ABCD的邊長為2，MN是它的內(nèi)切圓的一條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，PM?PN的取值范圍是（A．[0，1] B．0,C．[1，2] D．?1,1【解題思路】作出圖形，考慮P是線段AB上的任意一點，可得出PO∈1,2，以及PM=PO【解答過程】如下圖所示：考慮P是線段AB上的任意一點，PM=PO+圓O的半徑長為1，由于P是線段AB上的任意一點，則PO∈所以，PM?故選：A.8．（2024·河北滄州·三模）對稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.如圖，在等邊△ABC中，AB=2，以三條邊為直徑向外作三個半圓，M是三個半圓弧上的一動點，若BM=λAB+μAC，則A．12 B．33 C．1 【解題思路】過點M作MP//BC，設(shè)AP=kAB，AQ=kAC，得到BM=kx?1AB+kyAC，再由BM=λAB【解答過程】如圖所示，過點M作MP//BC，交直線AB,AC于點P,Q，設(shè)AM=xAP+y設(shè)AP=kAB，AQ=k因為BM=λAB+μ由圖可知，當(dāng)PM與半圓BC相切時，k最大，又由AB=2，BE=1sinπ所以k=AEAB=3+33，即k最大為故選：B.二、多選題9．（23-24高一下·江蘇南京·期中）在△ABC中，點D是線段BC上任意一點，點M是線段AD的中點，若存在λ,μ∈R使BM=λAB+μACA．λ=?35,μ=C．λ=?910,μ=【解題思路】令BD=mBC且m∈[0,1]，根據(jù)向量對應(yīng)線段的位置、數(shù)量關(guān)系用AB,AC表示BM，進而得到m與【解答過程】令BD=mBC且m∈[0,1]，而又BC=BA+所以λ=?1+m2μ=m2，則λ∈[?1,?故A、C滿足，B、D不滿足.故選：AC.10．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，M為線段AD上的動點，若BM=λBE+μBD，則A．32 B．12 C．1 【解題思路】設(shè)AM=kAD，其中0≤k≤1，利用平面向量的線性運算可得出λ=21?k【解答過程】因為M在線段AD上，設(shè)AM=kAD，其中0≤k≤1，則所以，BM=因為E為BA的中點，則BA=2BE，所以，又因為BM=λBE+μBD且BE、所以，λ+μ=21?k故選：ACD.11．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）（多選）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBCλ∈A．AB·BC=9 B．實數(shù)C．四邊形ABCD是梯形 D．若M，N是線段BC上的動點，且MN=1，則DM?【解題思路】利用數(shù)量積的定義，結(jié)合已知條件，計算判斷AB；取λ=1說明判斷C；取MN的中點E，利用數(shù)量積的運算律建立函數(shù)關(guān)系并求出最小值.【解答過程】對于A，AB?對于B，由AD=λBC，得AD//BC，∠A=120°，此時AD?AB=|AD||對于C，由選項B得AD→=16BC對于D，取MN的中點E，連接DE，則DM=DE2?EM2=DE2?14，由AD//BC即|DE|min=3故選：BCD.三、填空題12．（2024·新疆·二模）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC，點E是線段BC的中點，若AE54【解題思路】連接CF,依題意可得?AFCD,利用平面向量基本定理，將AE用AB和AD表示出來即得.【解答過程】

如圖，取AB的中點F，連接CF，則由題意可得CF∥AD，且CF=AD.∵AE∴λ=3故答案為：5413．（23-24高一下·黑龍江大慶·期末）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點BA?CA=5，BF?CF=?2，則【解題思路】將BA,CA,BF,CF均用BC,AD表示出來，進而將BA?CA，【解答過程】因為BA?BF?因此FD2=故答案為：5814．（23-24高三·廣東陽江·階段練習(xí)）在面積為2的平行四邊形ABCD中，點P為直線AD上的動點，則PB?PC+BC2【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積運算律，可得PB?【解答過程】取BC的中點Q，連接PQ，因為平行四邊形ABCD，面積為2，所以PQBC≥2，∴PB?PC+BC2故答案為:23四、解答題15．（23-24高一下·甘肅白銀·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O．E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F．(1)用AB，AD方表示AE；(2)若AF=λAB+μ【解題思路】（1）根據(jù)平面向量的線性運算即可得解；（2）由三角形相似得DF=【解答過程】（1）由題意得，ED=1所以AE?（2）如圖，因為DC//AB，所以DF//AB，所以△DEF與△BEA相似，所以FDAB所以DF=所以AF=因為AF=λ所以λ=1所以λ+μ=416．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）閱讀一下一段文字：a+b2=a2+2a?b+b2，a?b(1)若AD＝6，BC＝4，求AB?(2)若AB?AC=4，F(xiàn)B【解題思路】（1）根據(jù)“極化恒等式”列出式子計算即可（2）設(shè)AD?=3m,BC?=2n(m>0,n>0)，根據(jù)題目所給條件和“極化恒等式”列出關(guān)于m,n【解答過程】（1）AB（2）設(shè)AD∵AB?AC=4，由（1）知∵FB·FC=?1,同理可得由①②解得m2∴EB17．（23-24高一上·遼寧大連·期末）在三角形ABC中，AB=a，AC=b，BE=2EC，D為線段AC上任意一點，

(1)若CD=2①用a，b表示AE；②若AO=λAE，求(2)若BO=xBA+y【解題思路】（1）①利用向量的幾何運算