第一章 全等三角形（3類壓軸題專練）

第一章全等三角形（壓軸題專練）一．倍長中線壓軸1．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長到點，使請根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題如圖，已知，，，為的中點．（2）如圖1，若，，共線，求證：平分；（3）如圖2，若，，不共線，求證：；（4）如圖3，若點在上，記銳角，且，則的度數(shù)是___________（用含的代數(shù)式表示）．2．如圖，在中，為邊上的中線．

(1)按要求作圖：延長到點E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．3．（1）方法呈現(xiàn)：如圖1，在中，若，，D為邊的中點，求邊上的中線的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長至點E，使，再連接，可證，從而把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”．（2）知識運用：如圖2，在中，D為的中點，，，且線段的長度為整數(shù)．求的長度．二、全等性質(zhì)與判定的綜合證明4．如圖，中，，、是邊的中線，有；垂足為點E交于點D．且平分交于N．交于H．連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④；錯誤的有（）個．A．0 B．1 C．3 D．45．（1）已知等腰和，連接，若直線交于點O，則__________；（2）如圖所示，，連接和，過點A作交于點G，垂足為F，若，求的面積．

6．如圖，在與中，，，，，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④7．如圖，已知，，，點C，D，E，F(xiàn)在同一條直線上，下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B．C． D．8．如圖，交于M，交于D，交于N，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個三、動點全等三角形問題9．現(xiàn)有一塊如圖所示的綠草地，經(jīng)測量，，，，，點E是邊的中點，小狗汪汪從點B出發(fā)沿以的速度向點C跑，同時小狗妞妞從點C出發(fā)沿向點D跑．要使與全等，則妞妞的運動速度為（）A． B． C．或 D．無法確定10．如圖，已知中，，點D為的中點．(1)如果點P在線段上以的速度由A點向B點運動，同時，點Q在線段上由點B向C點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過后，與是否全等？說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)時間t為何值時，與全等？求出此時點Q的運動速度(2)若點Q以②中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來的運動速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，請直接寫出：①經(jīng)過多少秒，點P與點Q第一次相遇？②點P與點Q第2023次相遇在哪條邊上？11．如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的高，、相交于點，，且．

(1)線段的長度等于___________．(2)求證：．(3)動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，動點從點出發(fā)沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，、兩點同時出發(fā)，當(dāng)點到達點時，、兩點同時停止運動．設(shè)點的運動時間為秒，點是直線上的一點且．是否存在值，使以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等？若存在，請求出符合條件的值；若不存在，請說明理由．12．如圖，中，，，．點P從A點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作于E、作于F，當(dāng)點P運動______秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．

第一章全等三角形（壓軸題專練）答案全解全析一．倍長中線壓軸1．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長到點，使請根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題如圖，已知，，，為的中點．

（2）如圖1，若，，共線，求證：平分；（3）如圖2，若，，不共線，求證：；（4）如圖3，若點在上，記銳角，且，則的度數(shù)是___________（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析；（4）【解析】（1）為邊上的中線，，在和中

，，，，即，，，，故答案為：（2）如下圖，交延長線于點

，（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），，，為的中點，，，，又，，即，在和中，（全等三角形的對應(yīng)角相等），即平分（3）延長至點，使得，連接、、

由（1）同理易知，，，，且，，，，，，，，（4）過點作交于點，由（3）可得，，，，

，，和互余，，，，，，又，，故答案為：2．如圖，在中，為邊上的中線．

(1)按要求作圖：延長到點E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．【答案】6．(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)【解析】（1）解：如圖所示，

（2）證明：如圖，

∵為邊上的中線，∴，在和中，，∴．（3）證明：如圖，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．3．（1）方法呈現(xiàn)：如圖1，在中，若，，D為邊的中點，求邊上的中線的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長至點E，使，再連接，可證，從而把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”．（2）知識運用：如圖2，在中，D為的中點，，，且線段的長度為整數(shù)．求的長度．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由題意，，∴，∴，∴，即：，∴．故答案為：．（2）如圖，延長至點E，使，連接．

因為D為的中點，所以．在和中，，所以，所以．因為，且，，所以，所以．因為線段的長度為整數(shù)，所以．全等性質(zhì)與判定的綜合證明4．如圖，中，，、是邊的中線，有；垂足為點E交于點D．且平分交于N．交于H．連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④；錯誤的有（）個．A．0 B．1 C．3 D．4【答案】A【解析】如圖，過點C作交的延長線于K，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明，得到，，，可判斷②③正確，然后利用同角的余角相等得到，進而證明，得到，，然后證明，得到，，等量代換可得，，可判斷①④正確．如圖，過點C作交的延長線于K．，，平分，∴，，，，，，，（ASA），，，，故②③正確，，，，，（ASA），，，，，（SAS），，，，，故①④正確．故選：A．5．（1）已知等腰和，連接，若直線交于點O，則_；（2）如圖所示，，連接和，過點A作交于點G，垂足為F，若，求的面積．

【答案】（1）或．（2）231【解析】解：如圖：∵，∴，∴，∴，∵，∴；

如圖：∵，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴；故答案為：或．

（2）作于M，于N，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，同理，，∴，∵，∴，，．

6．如圖，在與中，，，，，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】解：在和中，，，，，，故②正確，，故①正確，，，故③正確，若，則，，，顯然與題目條件不符故④錯誤，故選：．7．如圖，已知，，，點C，D，E，F(xiàn)在同一條直線上，下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，無法判斷，故D錯誤，故選：D．8．如圖，交于M，交于D，交于N，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】解：∵，，，∴，∴；，故②符合題意；∵，∴；故①符合題意；∵∴，，又∵∴，故③符合題意；∴，∴，∵，∴，∴，∴不能證明成立，故④不符合題意．故選：B．動點全等三角形問題9．現(xiàn)有一塊如圖所示的綠草地，經(jīng)測量，，，，，點E是邊的中點，小狗汪汪從點B出發(fā)沿以的速度向點C跑，同時小狗妞妞從點C出發(fā)沿向點D跑．要使與全等，則妞妞的運動速度為（

）

A． B． C．或 D．無法確定【答案】C【解析】解：∵點E是邊的中點，∴，設(shè)它們運動時間為，妞妞的運動速度為，則，，，當(dāng)時，，，∴，解得：；當(dāng)時，，，∴，解得：；綜上分析可知，妞妞的運動速度為或．故選：C．10．如圖，已知中，，點D為的中點．(1)如果點P在線段上以的速度由A點向B點運動，同時，點Q在線段上由點B向C點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過后，與是否全等？說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)時間t為何值時，與全等？求出此時點Q的運動速度(2)若點Q以②中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來的運動速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，請直接寫出：①經(jīng)過多少秒，點P與點Q第一次相遇？②點P與點Q第2023次相遇在哪條邊上？【答案】(1)①全等，見解析；②7.5厘米/秒(2)①秒；②點P與點Q第2023次在AC邊上相遇【解析】（1）①全等，因為（秒，所以（厘米），（厘米），為中點，（厘米），（厘米），，，在與中，，；②因為，所以，因為，要使與全等，只能，即，故，所以點、的運動時間：（秒，此時（厘米秒）；（2）①因為，只能是點追上點，即點比點多走的路程，設(shè)經(jīng)過秒后與第一次相遇，依題意得，解得（秒，此時運動了（厘米），又因為的周長為56厘米，，所以點、在邊上相遇，即經(jīng)過了秒，點與點第一次在邊上相遇；②設(shè)第一次相遇經(jīng)過秒之后，第2023次相遇，，解得：，，，，，點在邊上．11．如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的高，、相交于點，，且．

(1)線段的長度等于___________．(2)求證：．(3)動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，動點從點出發(fā)沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，、兩點同時出發(fā)，當(dāng)點到達點時，、兩點同時停止運動．設(shè)點的運動時間為秒，點是直線上的一點且．是否存在值，使以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等？若存在，請求出符合條件的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3(2)見解析(3)或時，使以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等【解析】（1）解：，，，即，，故答案為：3；（2）證明：是邊上的高，是邊上的高，，，，在和中，，；（3）解：存在，如圖2，當(dāng)時，

是邊上的高，是邊上的高，，，，，，，在和中，，，，，；如圖3，當(dāng)時，

是邊上的高，是邊上的高，，，，，，，在和中，，，，，，綜上所述：或時，使以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等．12．如圖，中，，，．點P從A點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作于E、作于F，當(dāng)點P運動______秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．【答案】1或或12【解析】解