【黎曼可積條件探究（論文）3700字】

黎曼可積條件探究目錄TOC\o"1-2"\h\u276911引言 124298早在古希臘，數學家們就萌生了積分的思想——窮竭法.阿基米德最早使用 1122852黎曼可積的條件 128842.1黎曼可積的必要條件 1283162.2黎曼可積的充要條件 2760例2.2設 3289042.3黎曼可積的充分條件 8241383可積條件的延續(xù)——勒貝格積分 1135024定積分在實際問題中的應用 13202365結語 1517202參考文獻 15摘要：本文先論述了黎曼可積的定義，并對黎曼可積的條件進行探究和分類，接著梳理了黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯系，給出了黎曼可積條件在解題和某些實際問題中的應用．關鍵詞：黎曼可積；勒貝格可積；閉區(qū)間引言早在古希臘，數學家們就萌生了積分的思想——窮竭法.阿基米德最早使用窮竭法進行積分運算，并在計算曲面面積和旋轉體體積時廣泛運用；在中國古代三國時期，數學家劉徽運用積分學思想創(chuàng)造了世界數學史上最精彩的割圓術；現如今，隨著科學的發(fā)展，定積分與諸多學科之間的聯系愈加緊密，并在處理一些實際問題時得到了廣泛的應用.黎曼可積的條件在數學分析的學習過程中建立了相關定積分的概念之后，我們就會想：到底哪些函數是可積的？可積需要具備什么樣的條件呢？下面我們分類討論.黎曼可積的必要條件定理2.1函數在上可積在上必定有界.注任意的可積函數一定是有界的，但有界函數未必是可積的.黎曼可積的充要條件定理2.2函數在上可積在上的上積分與下積分相等，即 （可積的第一充要條件）.例2.1設 把相應區(qū)間等分成份，求給定函數在相應區(qū)間上的積分下和及積分上和.解（1）將閉區(qū)間平均分為個小區(qū)間，那么就是每個小區(qū)間的長，并且第個子區(qū)間為.如果設是在第個子區(qū)間上的下確界，是在第個子區(qū)間上上確界，又因為是增函數，所以， 于是， （2） 于是， （3） 于是， 例2.2設 試求在的上、下積分；并判斷在上是否是可積的.解令，，由有理數和無理數的稠密性，上的分割，有 上和 下和所以， 因為 ，所以在上不可積.定理2.3函數在上可積，總存在相應的某一分割，有 即 （可積的第二充要條件）.注（在上的振幅），例2.3設函數在上有定義，且對于，存在上的可積函數，使得 .證明在上可積.證對，存在閉區(qū)間上的可積函數，總存在某一相應的分割，使 又因為 則對應分割，設為在上的振幅，則 故在上可積.例2.4證明：函數 在不可積，但在可積，說明了什么？證對閉區(qū)間上的任意一個分割：如果都取閉區(qū)間上的有理數，則 ；如果都取閉區(qū)間上的無理數，則 .由此可見，當時，的取值與的取值有關.也就是說，當時，是不存在極限的.所以函數在閉區(qū)間是不可積的.但是，對任意的來說，是恒成立的，所以函數在閉區(qū)間上是可積的.這個題目說明了，如果在某個區(qū)間上可積，但是在該區(qū)間上可能是不可積的.例2.5如果函數在閉區(qū)間上可積并且存在，有，則函數也在閉區(qū)間可積.證由于函數在閉區(qū)間可積等價于，也就是說，對于閉區(qū)間的任意分割，在它的第個小區(qū)間上，有，根據題意，存在，有，即.對函數在閉區(qū)間上用與上面相同的分割方法，在第個小區(qū)間上，有 所以對，有 故函數在閉區(qū)間上是可積的.定理2.4函數在上可積，總存在某一分割，使得屬于的所有小區(qū)間中，對應于振幅的那些小區(qū)間的總長（可積的第三充要條件）.例2.6用可積的第三充要條件證明黎曼函數 在區(qū)間上可積，且 證對任給.因為滿足的有理點只有有限個（設為個），所以含有這類點的小區(qū)間至多個，在其上.當時，就能保證這些小區(qū)間的總長滿足 所以在上可積.因為，所以， 例2.7設在上連續(xù)，在上可積.當時，.試證在上可積.證因為在上連續(xù)，所以在上一致連續(xù)：，當，時，有 .所以做分割以后，在上，如果的振幅，則的振幅.[事實上，這時（記）則 ，從而 ，故 .]由此可見，在上，若，必有.故 .如此，，首先按找出，又有在上可積，根據定理2.4的必要性對存在分割，使得 .于是由知 根據定理2.4的充分性，這便證得在上可積.黎曼可積的充分條件定理2.5函數在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上可積.例2.8若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則有 證函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則.對于區(qū)間的任意劃分： 則有 從而有 其中為函數在區(qū)間上的最大值，為最小值；而 因此 對，由在閉區(qū)間上的一致連續(xù)性（康托定理），將分割成個小區(qū)間，對于每個小區(qū)間，都有 再取正數，則當時， 根據極限定義的，有同理可證.定理2.6函數在閉區(qū)間上有界且只有有限個間斷點在閉區(qū)間上可積.例2.9（湖南師范大學）：閉區(qū)間上的有界函數是否一定黎曼可積？解不一定！例如，狄利克雷函數雖然是有界函數，但在其任何一個閉區(qū)間都不連續(xù).事實上，任取區(qū)間，任取其任何一個劃分 ，在每個區(qū)間上都取有理點，則 ，在每個區(qū)間上都取無理點，則 .因此，在上不可積.例2.10證明：函數 與 在都可積.證（1）顯然函數在上有可數個間斷點： ，將分成兩個區(qū)間：和.顯然，在上函數是有界的，故由定理2.6可知，函數在上可積，即，當時，有 .任給的一個分法,使得，且在第個小區(qū)間上的振幅，使得，有 因此函數在可積.（2）函數在可積，在，點是間斷的，根據（1）同理可證.定理2.7若是區(qū)間上的單調函數，則在上可積.例2.11（中山大學）設在上單調遞增，且只有有限個間斷點，則函數在上（）.（A）連續(xù)單調（B）連續(xù)但不單調（C）單調但不連續(xù)（D）既不連續(xù)又不單調解用特殊值法解.令 則 在不連續(xù)，從而否定（A），（B），單調遞增，又否定（D），故選（C）.注式中當時，；當時，，都是單調的，且若而，所以，綜上即證單調遞增.可積條件的延續(xù)——勒貝格積分黎曼積分是數學分析中的內容，早期的積分是從路程、面積等計算中發(fā)展起來的；而勒貝格積分是實變函數論中的內容，它將積分運算擴展到任何測度空間中，從另一個角度來考慮積分的概念.就可積范圍來看，勒貝格積分比黎曼積分更為廣泛，勒貝格積分是一定意義之下黎曼積分的推廣.這兩種積分相互依賴、互相補充，在特定條件下可以相互轉化.有一個比喻可以形容勒貝格積分思想和黎曼積分思想的區(qū)別：假如我欠朋友一筆錢需要還，如果按照人民幣金額的大小來分類，先計算每種人民幣金額的總值，再相加，這就是勒貝格積分思想；如果按從錢包拿出人民幣的先后次序來計算總數，這就是黎曼積分思想.那么勒貝格積分有什么作用呢？它可以把特殊的函數推至可積.比如狄利克雷函數，黎曼積分無法定義它，因為任意小的區(qū)間內都包含無理數和有理數.現用勒貝格積分來定義：閉區(qū)間的長度（測度）是1；有限點集的長度（測度）是0；無限點集的長度（測度）是0.而閉區(qū)間的長度（測度）=有理數集的長度（測度）+無理數集的長度（測度）.所以，閉區(qū)間的無理數集的長度（測度）是1.由此可見，勒貝格積分比黎曼積分廣義.對于定義在上的函數，如果它黎曼可積，則它勒貝格可積，而且有相同積分值.因此，在解決勒貝格積分的相關問題時，首先需要看其是不是黎曼可積，如果是，那么我們就將勒貝格積分化為黎曼積分進行求解.例3.1計算在上的積分.解用截斷函數求解是上的非負函數，作截斷函數 顯然，對每個均黎曼可積，故也勒貝格可積 于是 但是，勒貝格積分論也是有缺陷的.并非全部的黎曼可積函數都是勒貝格可積的，比如.也即，勒貝格積分雖然比黎曼積分更加廣義，但是并不完全包含黎曼積分.由于勒貝格積分的某些缺陷，相關的研究工作至今仍未停止.定積分在實際問題中的應用定積分有著十分廣泛的應用，它能夠處理其他學科的一些問題，因此，在學習定積分過程中，我們要有意識地把握各個學科之間的聯系，拓寬知識面，學會橫向學習，才能更好地理解和應用定積分.例4.1在軸上，從原點到點有一線密度為常數的細棒，在點處有一質量的質點，試求：細棒對質點的引力的大小和方向；當時，細棒對質點的引力的大小和方向.解如圖1所示，對應