【黎曼可積條件探究（論文）3700字】

黎曼可積條件探究目錄TOC\o"1-2"\h\u276911引言 124298早在古希臘，數(shù)學(xué)家們就萌生了積分的思想——窮竭法.阿基米德最早使用 1122852黎曼可積的條件 128842.1黎曼可積的必要條件 1283162.2黎曼可積的充要條件 2760例2.2設(shè) 3289042.3黎曼可積的充分條件 8241383可積條件的延續(xù)——勒貝格積分 1135024定積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 13202365結(jié)語(yǔ) 1517202參考文獻(xiàn) 15摘要：本文先論述了黎曼可積的定義，并對(duì)黎曼可積的條件進(jìn)行探究和分類，接著梳理了黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系，給出了黎曼可積條件在解題和某些實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．關(guān)鍵詞：黎曼可積；勒貝格可積；閉區(qū)間引言早在古希臘，數(shù)學(xué)家們就萌生了積分的思想——窮竭法.阿基米德最早使用窮竭法進(jìn)行積分運(yùn)算，并在計(jì)算曲面面積和旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)廣泛運(yùn)用；在中國(guó)古代三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽運(yùn)用積分學(xué)思想創(chuàng)造了世界數(shù)學(xué)史上最精彩的割圓術(shù)；現(xiàn)如今，隨著科學(xué)的發(fā)展，定積分與諸多學(xué)科之間的聯(lián)系愈加緊密，并在處理一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)得到了廣泛的應(yīng)用.黎曼可積的條件在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過(guò)程中建立了相關(guān)定積分的概念之后，我們就會(huì)想：到底哪些函數(shù)是可積的？可積需要具備什么樣的條件呢？下面我們分類討論.黎曼可積的必要條件定理2.1函數(shù)在上可積在上必定有界.注任意的可積函數(shù)一定是有界的，但有界函數(shù)未必是可積的.黎曼可積的充要條件定理2.2函數(shù)在上可積在上的上積分與下積分相等，即 （可積的第一充要條件）.例2.1設(shè) 把相應(yīng)區(qū)間等分成份，求給定函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的積分下和及積分上和.解（1）將閉區(qū)間平均分為個(gè)小區(qū)間，那么就是每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)，并且第個(gè)子區(qū)間為.如果設(shè)是在第個(gè)子區(qū)間上的下確界，是在第個(gè)子區(qū)間上上確界，又因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以， 于是， （2） 于是， （3） 于是， 例2.2設(shè) 試求在的上、下積分；并判斷在上是否是可積的.解令，，由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的稠密性，上的分割，有 上和 下和所以， 因?yàn)?，所以在上不可積.定理2.3函數(shù)在上可積，總存在相應(yīng)的某一分割，有 即 （可積的第二充要條件）.注（在上的振幅），例2.3設(shè)函數(shù)在上有定義，且對(duì)于，存在上的可積函數(shù)，使得 .證明在上可積.證對(duì)，存在閉區(qū)間上的可積函數(shù)，總存在某一相應(yīng)的分割，使 又因?yàn)?則對(duì)應(yīng)分割，設(shè)為在上的振幅，則 故在上可積.例2.4證明：函數(shù) 在不可積，但在可積，說(shuō)明了什么？證對(duì)閉區(qū)間上的任意一個(gè)分割：如果都取閉區(qū)間上的有理數(shù)，則 ；如果都取閉區(qū)間上的無(wú)理數(shù)，則 .由此可見，當(dāng)時(shí)，的取值與的取值有關(guān).也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，是不存在極限的.所以函數(shù)在閉區(qū)間是不可積的.但是，對(duì)任意的來(lái)說(shuō)，是恒成立的，所以函數(shù)在閉區(qū)間上是可積的.這個(gè)題目說(shuō)明了，如果在某個(gè)區(qū)間上可積，但是在該區(qū)間上可能是不可積的.例2.5如果函數(shù)在閉區(qū)間上可積并且存在，有，則函數(shù)也在閉區(qū)間可積.證由于函數(shù)在閉區(qū)間可積等價(jià)于，也就是說(shuō)，對(duì)于閉區(qū)間的任意分割，在它的第個(gè)小區(qū)間上，有，根據(jù)題意，存在，有，即.對(duì)函數(shù)在閉區(qū)間上用與上面相同的分割方法，在第個(gè)小區(qū)間上，有 所以對(duì)，有 故函數(shù)在閉區(qū)間上是可積的.定理2.4函數(shù)在上可積，總存在某一分割，使得屬于的所有小區(qū)間中，對(duì)應(yīng)于振幅的那些小區(qū)間的總長(zhǎng)（可積的第三充要條件）.例2.6用可積的第三充要條件證明黎曼函數(shù) 在區(qū)間上可積，且 證對(duì)任給.因?yàn)闈M足的有理點(diǎn)只有有限個(gè)（設(shè)為個(gè)），所以含有這類點(diǎn)的小區(qū)間至多個(gè)，在其上.當(dāng)時(shí)，就能保證這些小區(qū)間的總長(zhǎng)滿足 所以在上可積.因?yàn)椋裕?例2.7設(shè)在上連續(xù)，在上可積.當(dāng)時(shí)，.試證在上可積.證因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上一致連續(xù)：，當(dāng)，時(shí)，有 .所以做分割以后，在上，如果的振幅，則的振幅.[事實(shí)上，這時(shí)（記）則 ，從而 ，故 .]由此可見，在上，若，必有.故 .如此，，首先按找出，又有在上可積，根據(jù)定理2.4的必要性對(duì)存在分割，使得 .于是由知 根據(jù)定理2.4的充分性，這便證得在上可積.黎曼可積的充分條件定理2.5函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上可積.例2.8若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則有 證函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則.對(duì)于區(qū)間的任意劃分： 則有 從而有 其中為函數(shù)在區(qū)間上的最大值，為最小值；而 因此 對(duì)，由在閉區(qū)間上的一致連續(xù)性（康托定理），將分割成個(gè)小區(qū)間，對(duì)于每個(gè)小區(qū)間，都有 再取正數(shù)，則當(dāng)時(shí)， 根據(jù)極限定義的，有同理可證.定理2.6函數(shù)在閉區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)在閉區(qū)間上可積.例2.9（湖南師范大學(xué)）：閉區(qū)間上的有界函數(shù)是否一定黎曼可積？解不一定！例如，狄利克雷函數(shù)雖然是有界函數(shù)，但在其任何一個(gè)閉區(qū)間都不連續(xù).事實(shí)上，任取區(qū)間，任取其任何一個(gè)劃分 ，在每個(gè)區(qū)間上都取有理點(diǎn)，則 ，在每個(gè)區(qū)間上都取無(wú)理點(diǎn)，則 .因此，在上不可積.例2.10證明：函數(shù) 與 在都可積.證（1）顯然函數(shù)在上有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)： ，將分成兩個(gè)區(qū)間：和.顯然，在上函數(shù)是有界的，故由定理2.6可知，函數(shù)在上可積，即，當(dāng)時(shí)，有 .任給的一個(gè)分法,使得，且在第個(gè)小區(qū)間上的振幅，使得，有 因此函數(shù)在可積.（2）函數(shù)在可積，在，點(diǎn)是間斷的，根據(jù)（1）同理可證.定理2.7若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則在上可積.例2.11（中山大學(xué)）設(shè)在上單調(diào)遞增，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則函數(shù)在上（）.（A）連續(xù)單調(diào)（B）連續(xù)但不單調(diào)（C）單調(diào)但不連續(xù)（D）既不連續(xù)又不單調(diào)解用特殊值法解.令 則 在不連續(xù)，從而否定（A），（B），單調(diào)遞增，又否定（D），故選（C）.注式中當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，都是單調(diào)的，且若而，所以，綜上即證單調(diào)遞增.可積條件的延續(xù)——勒貝格積分黎曼積分是數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容，早期的積分是從路程、面積等計(jì)算中發(fā)展起來(lái)的；而勒貝格積分是實(shí)變函數(shù)論中的內(nèi)容，它將積分運(yùn)算擴(kuò)展到任何測(cè)度空間中，從另一個(gè)角度來(lái)考慮積分的概念.就可積范圍來(lái)看，勒貝格積分比黎曼積分更為廣泛，勒貝格積分是一定意義之下黎曼積分的推廣.這兩種積分相互依賴、互相補(bǔ)充，在特定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.有一個(gè)比喻可以形容勒貝格積分思想和黎曼積分思想的區(qū)別：假如我欠朋友一筆錢需要還，如果按照人民幣金額的大小來(lái)分類，先計(jì)算每種人民幣金額的總值，再相加，這就是勒貝格積分思想；如果按從錢包拿出人民幣的先后次序來(lái)計(jì)算總數(shù)，這就是黎曼積分思想.那么勒貝格積分有什么作用呢？它可以把特殊的函數(shù)推至可積.比如狄利克雷函數(shù)，黎曼積分無(wú)法定義它，因?yàn)槿我庑〉膮^(qū)間內(nèi)都包含無(wú)理數(shù)和有理數(shù).現(xiàn)用勒貝格積分來(lái)定義：閉區(qū)間的長(zhǎng)度（測(cè)度）是1；有限點(diǎn)集的長(zhǎng)度（測(cè)度）是0；無(wú)限點(diǎn)集的長(zhǎng)度（測(cè)度）是0.而閉區(qū)間的長(zhǎng)度（測(cè)度）=有理數(shù)集的長(zhǎng)度（測(cè)度）+無(wú)理數(shù)集的長(zhǎng)度（測(cè)度）.所以，閉區(qū)間的無(wú)理數(shù)集的長(zhǎng)度（測(cè)度）是1.由此可見，勒貝格積分比黎曼積分廣義.對(duì)于定義在上的函數(shù)，如果它黎曼可積，則它勒貝格可積，而且有相同積分值.因此，在解決勒貝格積分的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，首先需要看其是不是黎曼可積，如果是，那么我們就將勒貝格積分化為黎曼積分進(jìn)行求解.例3.1計(jì)算在上的積分.解用截?cái)嗪瘮?shù)求解是上的非負(fù)函數(shù)，作截?cái)嗪瘮?shù) 顯然，對(duì)每個(gè)均黎曼可積，故也勒貝格可積 于是 但是，勒貝格積分論也是有缺陷的.并非全部的黎曼可積函數(shù)都是勒貝格可積的，比如.也即，勒貝格積分雖然比黎曼積分更加廣義，但是并不完全包含黎曼積分.由于勒貝格積分的某些缺陷，相關(guān)的研究工作至今仍未停止.定積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用定積分有著十分廣泛的應(yīng)用，它能夠處理其他學(xué)科的一些問(wèn)題，因此，在學(xué)習(xí)定積分過(guò)程中，我們要有意識(shí)地把握各個(gè)學(xué)科之間的聯(lián)系，拓寬知識(shí)面，學(xué)會(huì)橫向?qū)W習(xí)，才能更好地理解和應(yīng)用定積分.例4.1在軸上，從原點(diǎn)到點(diǎn)有一線密度為常數(shù)的細(xì)棒，在點(diǎn)處有一質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，試求：細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的大小和方向；當(dāng)時(shí)，細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的大小和方向.解如圖1所示，對(duì)應(yīng)