2025《初中數(shù)學(xué)》專(zhuān)題突破專(zhuān)題60 二次函數(shù)背景下的特殊平行四邊形存在性問(wèn)題（含答案及解析）

模型介紹模型介紹要求證平行四邊形的存在，得先了解平行四邊形的性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)邊平行且相等.（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：（1）對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D，移動(dòng)路徑完全相同．（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)．【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，結(jié)果可簡(jiǎn)記為：（各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問(wèn)題，此處當(dāng)有一問(wèn)：若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿(mǎn)足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對(duì)對(duì)角線(xiàn)的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對(duì)角線(xiàn)．（2）以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對(duì)角線(xiàn)不確定需要分類(lèi)討論．【題型分類(lèi)】三定一動(dòng)已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D使得以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對(duì)角線(xiàn)互相平分，分類(lèi)討論：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，可得；（2）AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得；（3）AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得．當(dāng)然，如果對(duì)這個(gè)計(jì)算過(guò)程非常熟悉的話(huà)，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減）2.兩定兩動(dòng)已知A（1，1）、B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當(dāng)AD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動(dòng)點(diǎn)綜述】“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱(chēng)為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線(xiàn)或者拋物線(xiàn)上，用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱(chēng)為“半動(dòng)點(diǎn)”．從上面例子可以看出，雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)．若把一個(gè)字母稱(chēng)為一個(gè)“未知量”也可理解為：全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行且相等；（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分．但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式：，兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問(wèn)題最多只能存在2個(gè)未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問(wèn)題．例題精講例題精講考點(diǎn)一：二次函數(shù)背景下的平行四邊形存在性問(wèn)題【例1】．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+6與x軸交于A(yíng)（2，0），B（﹣6，0）兩點(diǎn)．（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以B、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)（1，0）且與y軸平行的直線(xiàn)，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)；（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若tan∠PCB＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)二：二次函數(shù)背景下的菱形存在性問(wèn)題【例2】．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于A(yíng)（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x軸于A(yíng)，B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝x+3的圖象交坐標(biāo)軸于A(yíng)，D兩點(diǎn)，E為直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，作EF⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)F位于直線(xiàn)AD的下方，請(qǐng)問(wèn)線(xiàn)段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)G，使得G，E，D，C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)．考點(diǎn)三：二次函數(shù)背景下的矩形存在性問(wèn)題【例3】．綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，點(diǎn)D為此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）拋物線(xiàn)上C、D兩點(diǎn)之間的距離是；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練【變3-1】．如圖1，若二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求三角形ABC的面積；（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)在一象限內(nèi)BC上方一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，是否存在點(diǎn)P，使四邊形ABPC的面積為18，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)K，使以點(diǎn)B、C、Q、K為頂點(diǎn)，BC為邊的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)四：二次函數(shù)背景下的正方形存在性問(wèn)題【例4】．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），有點(diǎn)C（﹣2，6）．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)D（1，﹣3），點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延長(zhǎng)ED交y軸于點(diǎn)F，求△EFO的面積．（3）若M在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使以Q，M，N，A為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式訓(xùn)練【變4-1】．如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)Q在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，若△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）若P為BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線(xiàn)PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．1．綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4交x軸于A(yíng)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB，點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，與AC交于點(diǎn)E．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)PC∥AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）用含x的代數(shù)式表示PE的長(zhǎng)，并求出當(dāng)PE的長(zhǎng)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點(diǎn)P僅在線(xiàn)段AO上運(yùn)動(dòng)，如圖，求線(xiàn)段MN的最大值；②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知點(diǎn)E是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)C：y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，其中A（﹣4，0），B（4，0），設(shè)點(diǎn)F（m，0）是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線(xiàn)C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線(xiàn)C'．（1）求拋物線(xiàn)C的函數(shù)解析式；（2）若拋物線(xiàn)C'與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'，設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C'上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；（2）直線(xiàn)l為該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F為直線(xiàn)AD下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)D，求△FAD面積的最大值；（3）在（2）的條件下，將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射線(xiàn)AD平移4個(gè)單位，得到新的拋物線(xiàn)y1，點(diǎn)E為點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y1的對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)，在y1上確定一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．6．如圖，直線(xiàn)y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于A(yíng)、C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B．連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)E是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，求滿(mǎn)足∠ECD＝∠BCO的點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求菱形的邊長(zhǎng)．7．如圖，已知直線(xiàn)y＝2x+n與拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是A（1，﹣4），點(diǎn)B在x軸上．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式．（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為F，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．（結(jié)果保留根號(hào)）9．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M與對(duì)稱(chēng)軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AN交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)E為拋物線(xiàn)在直線(xiàn)AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE、DE，問(wèn)：△ADE的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）P為拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（至少寫(xiě)兩個(gè)）．10．如圖，一次函數(shù)y＝x﹣圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+x+4與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；（3）K是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H，使B、C、K、H為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．12．如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)從左到右依次交于P，Q兩點(diǎn)．過(guò)P，Q向x軸作垂線(xiàn)，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長(zhǎng)；（3）如圖2，平行于y軸的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N（2，0）．點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長(zhǎng)交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且A（﹣2，0），直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣+3．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE、EB、BD、DC，求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移2個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．在（2）中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí)，是否存在以A，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，垂足為E，連接BD．（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA＝∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是x軸上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，以PB為邊作正方形PBFG，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨著改變，當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l：y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并用含a的式子表示直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）點(diǎn)E為直線(xiàn)l下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的面積的最大值為時(shí)，求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、C，與y軸交于點(diǎn)B，直線(xiàn)y＝x+3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求b、c的值．（2）若點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D，求線(xiàn)段PD的最大值．（3）在（2）的結(jié)論下，連接CD，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)G，使得以C、D、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)A在y軸上，BC邊與x軸重合，過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)分別交AB和y軸于點(diǎn)D、H，AB＝HC，線(xiàn)段OB、OC（OB＜OC）的長(zhǎng)是方程x2﹣6x+8＝0的根．（1）求直線(xiàn)CD的解析式；（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線(xiàn)段OA上的一動(dòng)點(diǎn)且2BP＝3OQ，設(shè)BP＝t，△OPQ的面積為S，請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系；（3）在（2）的條件下，在平面上是否存在一點(diǎn)M，使得以P，Q，O，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，拋物線(xiàn)y＝x2﹣4x+3與坐標(biāo)軸交于A(yíng)、B、C三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)E，若經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的⊙M滿(mǎn)足∠EAM＝45°．（1）求直線(xiàn)BE的解析式；（2）若D點(diǎn)是直線(xiàn)BE下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD和ED，求△BED面積的最大值；（3）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo)．19．如圖，直線(xiàn)y＝x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AC上方時(shí)，連接BC，CD，BD，BD交AC于點(diǎn)E，令△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；（3）點(diǎn)F是該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)B坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖2，設(shè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸PH與x軸交于點(diǎn)H，①連接AC，BC，CP，點(diǎn)D為對(duì)稱(chēng)軸PH上的一點(diǎn)，且△CDP與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②點(diǎn)M為對(duì)稱(chēng)軸PH上一點(diǎn)且在x軸下方，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)E，在y軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)F，且滿(mǎn)足OF＝4EO＝4MH，已知點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，以E，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．21．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c交x軸于A(yíng)（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）如圖，直線(xiàn)y＝與拋物線(xiàn)交于A(yíng)，D兩點(diǎn)，與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E．若M（m，0）是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F，交直線(xiàn)AD于點(diǎn)G，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)H．①當(dāng)點(diǎn)F在直線(xiàn)AD上方的拋物線(xiàn)上，且S△EFG＝S△OEG時(shí)，求m的值；②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使四邊形EFHP為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣3），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝3OB．（1）求拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出x為何值時(shí)y＝0．（2）點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)N在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【提示】①以AB為邊時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．②以AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．23．如圖1（注：與圖2完全相同）所示，拋物線(xiàn)y＝﹣+bx+c經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積．（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）（3）設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上．要使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）24．如圖所示，拋物線(xiàn)與x軸相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)（B在A(yíng)的右邊），與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)M（1，﹣4）為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式．（2）若點(diǎn)N是第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BN，CN，當(dāng)△BNC是以BN，NC為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)D是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B，C，D，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．（4）直線(xiàn)CM交x軸于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是線(xiàn)段EM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P，E，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．如圖所示，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（﹣2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，6），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1．點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m（1＜m＜4），連接AC，BC，DC，DB．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí)，求m的值；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣6與x軸相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，OA＝2，OB＝4，直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，在直線(xiàn)l右側(cè)的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接AD，BD，BC，CD．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D在x軸的下方，當(dāng)△BCD的面積是時(shí)，求△ABD的面積；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)，以BD為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且OA＝OB，直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)C（2，6），如圖①．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，cos∠ABO＝；連接OC，若過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）在y軸上找一點(diǎn)Q，使得△AMQ的周長(zhǎng)最?。唧w作法如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接MA'交y軸于點(diǎn)Q，連接AM、AQ，此時(shí)△AMQ的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

模型介紹模型介紹要求證平行四邊形的存在，得先了解平行四邊形的性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)邊平行且相等.（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：（1）對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D，移動(dòng)路徑完全相同．（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)．【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，結(jié)果可簡(jiǎn)記為：（各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問(wèn)題，此處當(dāng)有一問(wèn)：若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿(mǎn)足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對(duì)對(duì)角線(xiàn)的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對(duì)角線(xiàn)．（2）以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對(duì)角線(xiàn)不確定需要分類(lèi)討論．【題型分類(lèi)】三定一動(dòng)已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D使得以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對(duì)角線(xiàn)互相平分，分類(lèi)討論：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，可得；（2）AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得；（3）AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得．當(dāng)然，如果對(duì)這個(gè)計(jì)算過(guò)程非常熟悉的話(huà)，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減）2.兩定兩動(dòng)已知A（1，1）、B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當(dāng)AD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動(dòng)點(diǎn)綜述】“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱(chēng)為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線(xiàn)或者拋物線(xiàn)上，用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱(chēng)為“半動(dòng)點(diǎn)”．從上面例子可以看出，雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)．若把一個(gè)字母稱(chēng)為一個(gè)“未知量”也可理解為：全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行且相等；（2）對(duì)角線(xiàn)互相平分．但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式：，兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問(wèn)題最多只能存在2個(gè)未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問(wèn)題．例題精講例題精講考點(diǎn)一：二次函數(shù)背景下的平行四邊形存在性問(wèn)題【例1】．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+6與x軸交于A(yíng)（2，0），B（﹣6，0）兩點(diǎn)．（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以B、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）將點(diǎn)A（2，0），B（﹣6，0）代入拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+6得：，解得，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+6；（2）存在點(diǎn)P，使得以B、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：∵y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+2）2+8，∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣2，在y＝﹣x2﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，∴C（0，6），設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+6），Q（﹣2，t），又B（﹣6，0），①以CP，QB為對(duì)角線(xiàn)，則CP，QB的中點(diǎn)重合，∴，解得，∴P（﹣8，﹣10）；②以CQ，PB為對(duì)角線(xiàn)，則CQ，PB中點(diǎn)重合，∴，解得，∴P（4，﹣10）；③以CB，PQ為對(duì)角線(xiàn)，則CB，PQ中點(diǎn)重合，∴，解得，∴P（（﹣4，6）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，6）或（﹣8，﹣10）或（4，﹣10）．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)（1，0）且與y軸平行的直線(xiàn)，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)；（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若tan∠PCB＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3＝0，解得x1＝，x2＝3，即A（，0）B（3，0），由A，B關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，得＝﹣1，解得m＝2，即A（﹣1，0），函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）由四邊形ABPQ是平行四邊形，得PQ∥AB，PQ＝AB＝4，當(dāng)PQ＝4，即x＝4時(shí)，y＝5，即P（4，5）；當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝21，即P（﹣4，21），AB為對(duì)角線(xiàn)，A（﹣1，0），B（3，0），設(shè)P（a，a2﹣2a﹣3），Q（0，n），則，解得，P（2，﹣3）．綜上所述：四邊形ABPQ是平行四邊形P（4，5），（﹣4，21），（2，﹣3）；（3）如圖，過(guò)P作PQ⊥x軸于Q，交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于R，過(guò)P作PH⊥BC于H，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），∵拋物線(xiàn)y＝x2﹣4x+3與坐標(biāo)軸交于A(yíng)，B，C三點(diǎn)，∴x＝0，則y＝﹣3；y＝0，則0＝x2﹣4x+3，解得：x1＝﹣1，x2＝3，故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，故直線(xiàn)BC解析式：y＝x﹣3，∴R（m，m﹣3），PR＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m，∵OB＝OC＝3，∴∠CBQ＝135°，∴∠HPR＝45°，∵CO＝OB，∴∠OCR＝45°，∴CR＝OQ＝m，∴PH＝RH＝PR÷＝m（m﹣3），又∵CR＝OQ＝m，∴CH＝m+m（m﹣3）＝m（m﹣1）由tan∠PCB＝＝＝，解得：m＝5，則m2﹣2m﹣3＝12，故P（5，12）．當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC的下方時(shí)，同法可得：＝，解得m＝或0（舍棄），∴P（，﹣），綜上所述，滿(mǎn)足條件點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，12）或（，﹣）．考點(diǎn)二：二次函數(shù)背景下的菱形存在性問(wèn)題【例2】．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于A(yíng)（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于A(yíng)（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∵△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC，BC是定值，∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小．如圖1，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng)，連接AC交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．∵AP＝BP，∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是AC+BC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝3，BC＝．∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是：3+．拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝1，設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+c，將A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）存在．設(shè)P（1，t），Q（m，n）∵A（3，0），C（0，3），則AC2＝32+32＝18，AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，∵四邊形ACPQ是菱形，∴分三種情況：以AP為對(duì)角線(xiàn)或以AC為對(duì)角線(xiàn)或以CP為對(duì)角線(xiàn)，①當(dāng)以AP為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，則CP＝CA，如圖2，∴t2﹣6t+10＝18，解得：t＝3±，∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），∵四邊形ACPQ是菱形，∴AP與CQ互相垂直平分，即AP與CQ的中點(diǎn)重合，當(dāng)P1（1，3﹣）時(shí)，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝﹣，∴Q1（4，﹣），當(dāng)P2（1，3+）時(shí)，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝，∴Q2（4，），②以AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，則PC＝AP，如圖3，∴t2﹣6t+10＝t2+4，解得：t＝1，∴P3（1，1），∵四邊形APCQ是菱形，∴AC與PQ互相垂直平分，即AC與CQ中點(diǎn)重合，∴＝，＝，解得：m＝2，n＝2，∴Q3（2，2），③當(dāng)以CP為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，則AP＝AC，如圖4，∴t2+4＝18，解得：t＝±，∴P4（1，），P5（1，﹣），∵四邊形ACQP是菱形，∴AQ與CP互相垂直平分，即AQ與CP的中點(diǎn)重合，∴＝，＝，解得：m＝﹣2，n＝3，∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x軸于A(yíng)，B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝x+3的圖象交坐標(biāo)軸于A(yíng)，D兩點(diǎn)，E為直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，作EF⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)F位于直線(xiàn)AD的下方，請(qǐng)問(wèn)線(xiàn)段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)G，使得G，E，D，C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)．解：（1）將y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2+x﹣1；（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m+3），線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度為y，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；（3）點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．理由：①如圖1，當(dāng)四邊形CGDE為菱形時(shí)．∴EG垂直平分CD∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y＝＝1，將y＝1代入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，1）；②如圖2，當(dāng)四邊形CDEG為菱形時(shí)，以點(diǎn)D為圓心，DC的長(zhǎng)為半徑作圓，交AD于點(diǎn)E，可得DC＝DE，構(gòu)造菱形CDEG設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，n+3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2+3）或（2，2+3）將點(diǎn)E向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度可得點(diǎn)G，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2﹣1）（如圖2）或（2，2﹣1）（如圖3）③如圖4，“四邊形CDGE為菱形時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑作圓，交直線(xiàn)AD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（k，k+3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1）．∴EC＝＝．∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0（舍去），k2＝﹣4．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1）將點(diǎn)E上移4個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)G．∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣4，3）．綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．考點(diǎn)三：二次函數(shù)背景下的矩形存在性問(wèn)題【例3】．綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，點(diǎn)D為此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）拋物線(xiàn)上C、D兩點(diǎn)之間的距離是2；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），又∵對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，∴B（5，0），將A，B代入解析式得：，解得，∴，自變量x為全體實(shí)數(shù)；（2）由（1）得：C（0，），D（2，），∴CD＝，故答案為2；（3）∵B（5，0），C（0，），∴直線(xiàn)BC的解析式為：，設(shè)E（x，），且0＜x＜5，作EF∥y軸交BC于點(diǎn)F，則F（x，），∴EF＝﹣（）＝，∴，當(dāng)x＝時(shí)，S△BCE有最大值為；（4）設(shè)P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC為矩形的對(duì)角線(xiàn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，）或Q（3，4），若BP為矩形的對(duì)角線(xiàn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ為矩形的對(duì)角線(xiàn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．變式訓(xùn)練【變3-1】．如圖1，若二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求三角形ABC的面積；（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)在一象限內(nèi)BC上方一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，是否存在點(diǎn)P，使四邊形ABPC的面積為18，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)K，使以點(diǎn)B、C、Q、K為頂點(diǎn)，BC為邊的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），令y＝0，則﹣x2+3x+4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，∴S△ABC＝×5×4＝10；（2）存在，理由如下：∵四邊形ABPC的面積為18，S△ABC＝10，∴△BCP的面積為8，設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+4，將點(diǎn)B（4，0）代入，得k＝﹣1，∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+4，過(guò)P點(diǎn)作PM⊥x軸，交BC于點(diǎn)M，設(shè)P（t，﹣t2+3t+4），則M（t，﹣t+4），∴S△BCP＝×4×PM＝2（﹣t2+3t+4+t﹣4）＝2（﹣t2+4t）＝8，∴t＝2，∴P（2，6）；（3）存在，理由如下：設(shè)Q（m，﹣m2+3m+4），當(dāng)m＞0時(shí)，如圖1，∵矩形是以BC為邊，∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸交H點(diǎn)，過(guò)K作KG⊥x軸交G點(diǎn)，∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCQ＝∠GBK＝45°，∴△CHQ≌△BGK（AAS），∴HC＝HQ＝BG＝GK，∴m＝﹣m2+3m+4﹣4，∴m＝2或m＝0（舍），∴HQ＝2，∴K（6，2）；當(dāng)m＜0時(shí)，如圖2，∵矩形是以BC為邊，∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，設(shè)KC與x軸的交點(diǎn)為F，BQ與y軸的交點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸交G點(diǎn)，過(guò)K作KE⊥x軸交E點(diǎn)，∵∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°，∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°，∵KC＝BQ，CF＝HB，∴FK＝QH，∴△QHG≌△KFE（AAS），∴QG＝HG＝EF＝EK，∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），∴m＝﹣2或m＝4（舍），∴GQ＝2，∴K（﹣6，﹣2）；綜上所述，K點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）或（6，2）．考點(diǎn)四：二次函數(shù)背景下的正方形存在性問(wèn)題【例4】．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），有點(diǎn)C（﹣2，6）．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)D（1，﹣3），點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延長(zhǎng)ED交y軸于點(diǎn)F，求△EFO的面積．（3）若M在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使以Q，M，N，A為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∵A（4，0），B（﹣1，0）；（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA，設(shè)E（m，0），∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），AC＝6，AD＝3，BC＝，由△ABC的面積可得，5×6＝6BG，∴BG＝，由△ADE的面積可得，3|4﹣m|＝3EH，∴EH＝|4﹣m|，∵∠ACB＝∠ADE∴＝，∴＝，∴2m2﹣41m+57＝0，∴m＝或m＝19，∵點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上，∴E（，0），則ED的直線(xiàn)解析式為y＝6x﹣9，∴F（0，﹣9），∴△EFO的面積＝×OE×OF＝××9＝；（3）直線(xiàn)AC的解析式為y＝﹣x+4，∴∠CAO＝45°，設(shè)M（t，﹣t+4），如圖1：當(dāng)AC為正方形QAMN邊時(shí)，M點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴N（t，t﹣4），∴M、N的中點(diǎn)為（t，0），∴A、Q中點(diǎn)也為（t，0），∴Q（2t﹣4，0），∵點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，∴2t﹣4＝﹣1，∴t＝，∴M（，）；如圖2：當(dāng)M、Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，M（0，4），此時(shí)Q（0，﹣4）在拋物線(xiàn)上；如圖3：當(dāng)Q（0，﹣4）時(shí)，M（8，﹣4）；如圖4：當(dāng)Q（﹣1，0）時(shí)，M（﹣1，5）；綜上所述：M（，）或M（0，4）或M（8，﹣4）或M（﹣1，5）．變式訓(xùn)練【變4-1】．如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)Q在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，若△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）若P為BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線(xiàn)PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴，解得，，∴經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3．（2）如圖1，連接BC，CD．由題意，C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），∵△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，當(dāng)∠Q′BC＝90′時(shí)，∠ABQ′＝45°，∴EB＝EQ′＝2，∴Q′（1，﹣2），當(dāng)∠QCB＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，Q（1，4），綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，4）或（1，﹣2）．（3）如圖2中，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，當(dāng)2﹣a＝﹣a2+2a+3時(shí)，整理得，a2﹣3a﹣1＝0，解得，a＝，當(dāng)2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）時(shí)，整理得，a2﹣a﹣5＝0，解得，a＝，∴當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．1．綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4交x軸于A(yíng)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB，點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，與AC交于點(diǎn)E．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)PC∥AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）用含x的代數(shù)式表示PE的長(zhǎng)，并求出當(dāng)PE的長(zhǎng)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）令x＝0，則y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OA＝2OC＝8OB，∴OA＝8，OB＝1，∴A（﹣8，0），B（1，0），將A、B代入y＝ax2+bx﹣4，得，∴，∴y＝x2+x﹣4；（2）當(dāng)PC∥AB時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4，∴x2+x﹣4＝﹣4，∴x＝0或x＝﹣7，∵P點(diǎn)在第三象限，∴P（﹣7，﹣4）；（3）設(shè)AC的直線(xiàn)解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣4，設(shè)P（x，x2+x﹣4），則E（x，﹣x﹣4），∴PE＝﹣x﹣4﹣（x2+x﹣4）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+4）2+8，∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，PE有最大值8，此時(shí)P（﹣4，﹣10）；（4）存在點(diǎn)Q，使得以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：設(shè)Q（m，n），①當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AC的中點(diǎn)為（﹣4，﹣2），PQ的中點(diǎn)為（，），∴﹣4＝，﹣2＝，∴m＝﹣4，n＝6，∴Q（﹣4，6）；②當(dāng)AP為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AP的中點(diǎn)為（﹣6，﹣5），CQ的中點(diǎn)為（，），∴﹣6＝，﹣5＝，∴m＝﹣12，n＝﹣6，∴Q（﹣12，﹣6）；③當(dāng)AQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AQ的中點(diǎn)為（，），CP的中點(diǎn)為（﹣2，﹣7），∴＝﹣2，＝﹣7，∴m＝4，n＝﹣14，∴Q（4，﹣14）；綜上所述：以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，6）或（﹣12，﹣6）或（4，﹣14）．2．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點(diǎn)P僅在線(xiàn)段AO上運(yùn)動(dòng)，如圖，求線(xiàn)段MN的最大值；②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①設(shè)直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且PM⊥x軸．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函數(shù)有最大值．又∵點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng)，且﹣3＜﹣＜0，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，MN有最大值．②如圖2﹣1中，當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上，MN＝MC，四邊形MNQC是菱形時(shí)．∵M(jìn)N＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍棄）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如圖2﹣2中，當(dāng)MC是菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形MNCQ是正方形，此時(shí)CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．如圖2﹣3中，當(dāng)點(diǎn)M在CA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，MN＝CM，四邊形MNQC是菱形時(shí)，則有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍棄），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，顯然MN＞CM，此時(shí)滿(mǎn)足條件的菱形不存在．綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．3．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知點(diǎn)E是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），∴A（﹣1，0），∴，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+3，將點(diǎn)B（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+3；設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），則點(diǎn)N（t，﹣t+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝12+32＝10，AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，①當(dāng)AC＝AN時(shí)，AC2＝AN2，∴10＝2t2﹣4t+10，解得t1＝2，t2＝0（不合題意，舍去），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）；②當(dāng)AC＝CN時(shí)，AC2＝CN2，∴10＝2t2，解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，3﹣）；③當(dāng)AN＝CN時(shí)，AN2＝CN2，∴2t2﹣4t+10＝2t2，解得t＝，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；綜上，存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）或（，3﹣）或（，）；（3）設(shè)E（1，a），F(xiàn)（m，n），∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，①以BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，BC2＝CE2+BE2，∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，解得：a＝，或a＝，∴E（1，）或（1，），∵B（3，0），C（0，3），∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，∴m＝2，n＝或n＝，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）；②以BC為邊時(shí)，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，解得：a＝4或a＝﹣2，∴E（1，4）或（1，﹣2），∵B（3，0），C（0，3），∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）或（﹣2，1），綜上所述：存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)C：y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，其中A（﹣4，0），B（4，0），設(shè)點(diǎn)F（m，0）是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線(xiàn)C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線(xiàn)C'．（1）求拋物線(xiàn)C的函數(shù)解析式；（2）若拋物線(xiàn)C'與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'，設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C'上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題意把點(diǎn)A（﹣4，0），B（4，0），代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴拋物線(xiàn)C的函數(shù)解析式為：y＝﹣x2+8；（2）如圖1，由題意拋物線(xiàn)C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2m，﹣8），設(shè)拋物線(xiàn)C′的解析式為：y＝（x﹣2m）2﹣8，由，消去y得到：，∵拋物線(xiàn)C′與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，∴，解得：，∴滿(mǎn)足條件的m的取值范圍為：4＜m＜4；（3）結(jié)論：四邊形PMP'N能成為正方形．理由：情形1，如圖2，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（4，4），當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP'N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∵∠PEF＝∠FHM＝90°，∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠MFH＝90°，在△PFE和△FMH中，∴，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝4，EF＝HM＝4﹣m，∴M（m+4，m﹣4），∵點(diǎn)M在y＝﹣x2+8上，∴m﹣4＝﹣（m+4）2+8，解得或（舍），∴m＝﹣6+2時(shí)，四邊形PMP'N是正方形．情形2，如圖，四邊形PMP′N(xiāo)是正方形，同法可得M（m﹣4，4﹣m），把M（m﹣4，4﹣m）代入y＝﹣x2+8中，4﹣m＝﹣（m﹣4）2+8，解得m＝12或m＝0（舍去），∴m＝12時(shí)，四邊形PMP′N(xiāo)是正方形．綜上，四邊形PMP′N(xiāo)能成為正方形，m＝﹣6+2或12．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；（2）直線(xiàn)l為該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F為直線(xiàn)AD下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)D，求△FAD面積的最大值；（3）在（2）的條件下，將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射線(xiàn)AD平移4個(gè)單位，得到新的拋物線(xiàn)y1，點(diǎn)E為點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y1的對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)，在y1上確定一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．解：（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，∴，∴y＝x2﹣3x﹣4，（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，∴點(diǎn)C（0，﹣4），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝，∴D（3，﹣4），∵A（﹣1，0），∴直線(xiàn)AD的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x﹣1，設(shè)F（m，m2﹣3m﹣4），作FH∥y軸交直線(xiàn)AD于H，∴H（m，﹣m﹣1），∴FH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，∴S△AFD＝S△AFH+S△DFH＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，當(dāng)m＝﹣＝1時(shí)，S△AFD最大為8，（3）∵直線(xiàn)AD與x軸正方向夾角為45°，∴沿AD方向平移，實(shí)際可看成向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，∵F（1，﹣6），∴E（5，﹣10），拋物線(xiàn)y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，∴拋物線(xiàn)y1的對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)x＝，當(dāng)DE為平行四邊形的邊時(shí)：若D平移到對(duì)稱(chēng)軸上F點(diǎn)，則Q的橫坐標(biāo)為，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴Q（，﹣），若E平移到對(duì)稱(chēng)軸上F點(diǎn)，則Q的橫坐標(biāo)為，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，∴Q（，﹣），若DE為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，若E平移到對(duì)稱(chēng)軸上F點(diǎn)，則Q平移到D點(diǎn)，∴Q的橫坐標(biāo)為，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴Q（，﹣），∴Q（）或Q（）或Q（）．6．如圖，直線(xiàn)y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于A(yíng)、C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B．連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)E是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，求滿(mǎn)足∠ECD＝∠BCO的點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求菱形的邊長(zhǎng)．解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝4，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，4），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式并解得：m＝3，故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4…①，令y＝0，則x＝﹣1或4，故點(diǎn)B（﹣1，0）；（2）①當(dāng)點(diǎn)E在CD上方時(shí)，tan∠BCO＝＝，則直線(xiàn)CE的表達(dá)式為：y＝x+4…②，聯(lián)立①②并解得：x＝0或（舍去0），則點(diǎn)E（，）；②當(dāng)點(diǎn)E在CD下方時(shí)，同理可得：點(diǎn)E′（，）；故點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（，）或（，）；（3）①如圖2，當(dāng)CM為菱形的一條邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸，∵OA＝OC＝4，∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+3x+4），則PM＝PQ＝x，C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則PM＝PN，即：x＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4），解得：x＝0或4﹣（舍去0），故菱形邊長(zhǎng)為x＝4﹣2；②如圖3，當(dāng)CM為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，同理可得：菱形邊長(zhǎng)為2；故：菱形邊長(zhǎng)為4﹣2或2．7．如圖，已知直線(xiàn)y＝2x+n與拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是A（1，﹣4），點(diǎn)B在x軸上．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）將點(diǎn)A（1，﹣4）代入直線(xiàn)y＝2x+n得，2+n＝﹣4，∴n＝﹣6，∴直線(xiàn)y＝2x﹣6，當(dāng)y＝0時(shí)，代入直線(xiàn)得：0＝2x﹣6，解得：x＝3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（3，0），設(shè)拋物線(xiàn)表達(dá)式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點(diǎn)B代入拋物線(xiàn)得，0＝4a﹣4，解得：a＝1，∴拋物線(xiàn)表達(dá)式y(tǒng)＝（x﹣1）2﹣4；（2）當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，有兩種情況：①如圖，當(dāng)AB為邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)M（0，m），已知點(diǎn)A（1，﹣4），點(diǎn)B（3，0）∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，解得m＝﹣，即點(diǎn)M的坐標(biāo)（0，﹣），延長(zhǎng)BN交y軸于點(diǎn)M′，作AG⊥y軸于G，BH⊥GA交GA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．由△BOM′∽△BHA，可得＝，∴＝，∴OM′＝，∴M′（0，），②如圖，當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P，作輔助圓⊙P，與y軸交于點(diǎn)M1，M2，作PG⊥y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)P坐標(biāo)（，），即（2，﹣2），由①可得線(xiàn)段AB＝＝2，∴⊙P半徑，在Rt△PM1G中，PM1＝，PG＝2，M1G＝＝1，根據(jù)垂徑定理可得，M2G＝1，∴點(diǎn)M1坐標(biāo)（0，﹣1），點(diǎn)M2坐標(biāo)（0，﹣3）；綜上所述，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為：（0，﹣）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）；（3）存在點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2或，使∠BAQ＝45°．理由如下：假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q，如圖，當(dāng)四邊形ADBC為正方形，且點(diǎn)Q1，Q2分別在直線(xiàn)AD和直線(xiàn)AC上時(shí)，∠BAQ＝45°，設(shè)過(guò)線(xiàn)段AB中點(diǎn)P，且與線(xiàn)段AB垂直的直線(xiàn)：y＝﹣+b，將點(diǎn)P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，解得b＝﹣1，∴直線(xiàn)為y＝﹣，設(shè)點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)（n，﹣n﹣1），在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，sin45°＝，解得BD＝，∴BD＝＝，解得n1＝0，n2＝4，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，﹣1），點(diǎn)D坐標(biāo)（4，﹣3），設(shè)直線(xiàn)AD表達(dá)式為：y＝qx+p，將點(diǎn)A（1，﹣4），點(diǎn)D（4，﹣3）代入得，，解得，∴直線(xiàn)AD的表達(dá)式為y＝﹣，同理可得直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y＝﹣3x﹣1，聯(lián)立直線(xiàn)AD與拋物線(xiàn)y＝（x﹣1）2﹣4可得，﹣＝（x﹣1）2﹣4，解得x1＝1，x2＝，同理聯(lián)立直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)可解得x3＝1，x4＝﹣2，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2或．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式．（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為F，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．（結(jié)果保留根號(hào)）解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，所以，拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°，∵PF⊥x軸，∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周長(zhǎng)越大，易得直線(xiàn)AB的解析式為y＝x+3，設(shè)與AB平行的直線(xiàn)解析式為y＝x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2+3x+m﹣3＝0，當(dāng)△＝32﹣4×1×（m﹣3）＝0，即m＝時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長(zhǎng)，此時(shí)x＝﹣，y＝﹣+＝，∴點(diǎn)P（﹣，）時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大；②拋物線(xiàn)y＝﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝﹣1，（i）如圖1，點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱(chēng)軸于Q，在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，∴∠APF＝∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF＝PQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n（n＜0），則PQ＝﹣1﹣n，即PF＝﹣1﹣n，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣1﹣n），∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y＝﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3＝﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4＝0，解得n1＝（舍去），n2＝，﹣1﹣n＝﹣1﹣＝，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（ii）如圖2，點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)Q，∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，∴∠FPA＝∠QAN，又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF＝AQ，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，﹣x2﹣2x+3），則有﹣x2﹣2x+3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，解得x＝﹣1（不合題意，舍去）或x＝﹣﹣1，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．綜上所述，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．9．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M與對(duì)稱(chēng)軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AN交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)E為拋物線(xiàn)在直線(xiàn)AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE、DE，問(wèn)：△ADE的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）P為拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（至少寫(xiě)兩個(gè)）．解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0），∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），把點(diǎn)C（0，6）代入，∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6，∴拋物線(xiàn)解析式為y＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣2），∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M與對(duì)稱(chēng)軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)N（2，2），設(shè)直線(xiàn)AN的解析式為：y＝kx+b，由題意可得：，解得：，∴直線(xiàn)AN解析式為：y＝2x﹣2，聯(lián)立y＝2x2﹣8x+6得：，解得：，，∴點(diǎn)D（4，6），設(shè)△ADE的面積為S，點(diǎn)E（e，2e2﹣8e+6），過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交直線(xiàn)AD于點(diǎn)F，則點(diǎn)F坐標(biāo)為（e，2e﹣2），∴EF＝（2e﹣2）﹣（2e2﹣8e+6）＝﹣2e2+10e﹣8，∴S＝?EF?|Dx﹣Ax|＝×3×（﹣2e2+10e﹣8）＝﹣3（e2﹣5e﹣4）＝，所以，當(dāng)時(shí)，△ADE的面積，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為；（3）由（2）知，A（1，0），D（4，6），設(shè)Q（2，m），P（x，2x2﹣8x+6），①以AD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∵以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴，解得：，∴P（3，0）；②以AP為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∵以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴，解得：，∴P（5，16）；③以AQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∵以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴，解得：，∴P（﹣1，16）；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）時(shí)，以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．10．如圖，一次函數(shù)y＝x﹣圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣），∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)，∴，解得，∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣x﹣；（2）存在，理由如下：由二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣可得其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝＝1，設(shè)P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B(niǎo)（0，﹣），∵C與B關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，∴C（2，﹣），①當(dāng)BC、PQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖：此時(shí)BC的中點(diǎn)即是PQ的中點(diǎn)，即，解得，∴當(dāng)P（1，﹣），Q（1，﹣）時(shí)，四邊形BQCP是平行四邊形，由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，∴PB＝PC，∴四邊形BQCP是菱形，∴此時(shí)Q（1，﹣）；②BP、CQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖：同理BP、CQ中點(diǎn)重合，可得，解得，∴當(dāng)P（1，0），Q（﹣1，0）時(shí)，四邊形BCPQ是平行四邊形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四邊形BCPQ是菱形，∴此時(shí)Q（﹣1，0）；③以BQ、CP為對(duì)角線(xiàn)，如圖：BQ、CP中點(diǎn)重合，可得，解得，∴P（1，0），Q（3，0）時(shí)，四邊形BCQP是平行四邊形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四邊形BCQP是菱形，∴此時(shí)Q（3，0）；綜上所述，Q的坐標(biāo)為：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+x+4與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；（3）K是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H，使B、C、K、H為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，由y＝﹣x2+x+4＝0，得x1＝﹣2，x2＝8，∴A（﹣2，0），B（8，0）；∵點(diǎn)D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴D（3，0）.（2）如圖1，作PG⊥x軸，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，作PE⊥CD于點(diǎn)E，∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2+x+4＝0與y軸交于點(diǎn)C，∴C（0，4），∴CD＝＝5；∵∠PEG＝∠DOC＝90°，∠G＝∠OCD，∴＝sin∠DCO＝；設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y＝kx+4，