2025《初中數(shù)學(xué)》專(zhuān)題突破專(zhuān)題60 二次函數(shù)背景下的特殊平行四邊形存在性問(wèn)題(含答案及解析)_第1頁(yè)
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模型介紹模型介紹要求證平行四邊形的存在,得先了解平行四邊形的性質(zhì):(1)對(duì)應(yīng)邊平行且相等.(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分.這是圖形的性質(zhì),我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中:(1)對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為:,可以理解為點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A,點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D,移動(dòng)路徑完全相同.(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分轉(zhuǎn)化為:,可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn).【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣,但其實(shí)可以化為統(tǒng)一:,→.當(dāng)AC和BD為對(duì)角線(xiàn)時(shí),結(jié)果可簡(jiǎn)記為:(各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加)以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析,而我們要求證的是平行四邊形存在性問(wèn)題,此處當(dāng)有一問(wèn):若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿(mǎn)足“A+C=B+D”,則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形?反例如下:之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化,故存在反例.雖有反例,但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題,另外,還需注意對(duì)對(duì)角線(xiàn)的討論:(1)四邊形ABCD是平行四邊形:AC、BD一定是對(duì)角線(xiàn).(2)以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形:對(duì)角線(xiàn)不確定需要分類(lèi)討論.【題型分類(lèi)】三定一動(dòng)已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D使得以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.思路1:利用對(duì)角線(xiàn)互相平分,分類(lèi)討論:設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:(1)BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,可得;(2)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得;(3)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得.當(dāng)然,如果對(duì)這個(gè)計(jì)算過(guò)程非常熟悉的話(huà),也不用列方程解,直接列算式即可.比如:,,.(此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減)2.兩定兩動(dòng)已知A(1,1)、B(3,2),點(diǎn)C在x軸上,點(diǎn)D在y軸上,且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求C、D坐標(biāo).【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,n),又A(1,1)、B(3,2).(1)當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得,故C(4,0)、D(0,3);(2)當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得,故C(2,0)、D(0,-1);(3)當(dāng)AD為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得,故C(-2,0)、D(0,1).【動(dòng)點(diǎn)綜述】“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣,“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中,橫縱坐標(biāo)都不確定,需要用兩個(gè)字母表示,這樣的我們姑且稱(chēng)為“全動(dòng)點(diǎn)”,而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線(xiàn)或者拋物線(xiàn)上,用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo),稱(chēng)為“半動(dòng)點(diǎn)”.從上面例子可以看出,雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同,但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).若把一個(gè)字母稱(chēng)為一個(gè)“未知量”也可理解為:全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量×2.找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量,都是根據(jù)圖形決定的,像平行四邊形,只能有2個(gè)未知量.究其原因,在于平行四邊形兩大性質(zhì):(1)對(duì)邊平行且相等;(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分.但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式:,兩個(gè)等式,只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù),即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問(wèn)題最多只能存在2個(gè)未知量.由圖形性質(zhì)可知未知量,由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì),由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問(wèn)題.例題精講例題精講考點(diǎn)一:二次函數(shù)背景下的平行四邊形存在性問(wèn)題【例1】.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6與x軸交于A(yíng)(2,0),B(﹣6,0)兩點(diǎn).(1)求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式;(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使得以B、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.變式訓(xùn)練【變1-1】.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=(m﹣1)x2﹣(3m﹣4)x﹣3與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)(1,0)且與y軸平行的直線(xiàn),點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn),點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn);(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)若tan∠PCB=,求點(diǎn)P的坐標(biāo).考點(diǎn)二:二次函數(shù)背景下的菱形存在性問(wèn)題【例2】.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3交x軸于A(yíng)(3,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上.(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)當(dāng)以P,B,C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng);(3)若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn),是否存在點(diǎn)Q,使得以A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.變式訓(xùn)練【變2-1】.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣1(a≠0)交x軸于A(yíng),B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,一次函數(shù)y=x+3的圖象交坐標(biāo)軸于A(yíng),D兩點(diǎn),E為直線(xiàn)AD上一點(diǎn),作EF⊥x軸,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)若點(diǎn)F位于直線(xiàn)AD的下方,請(qǐng)問(wèn)線(xiàn)段EF是否有最大值?若有,求出最大值并求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)G,使得G,E,D,C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo).考點(diǎn)三:二次函數(shù)背景下的矩形存在性問(wèn)題【例3】.綜合與探究如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+2x+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,OA=1,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,點(diǎn)D為此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)拋物線(xiàn)上C、D兩點(diǎn)之間的距離是;(3)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),連接BE和CE,求△BCE面積的最大值;(4)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上,平面內(nèi)存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo).變式訓(xùn)練【變3-1】.如圖1,若二次函數(shù)y=﹣x2+3x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC.(1)求三角形ABC的面積;(2)若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)在一象限內(nèi)BC上方一動(dòng)點(diǎn),連接PB、PC,是否存在點(diǎn)P,使四邊形ABPC的面積為18,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;(3)如圖2,若點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)K,使以點(diǎn)B、C、Q、K為頂點(diǎn),BC為邊的四邊形是矩形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)四:二次函數(shù)背景下的正方形存在性問(wèn)題【例4】.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線(xiàn)y=x2﹣3x﹣4與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),有點(diǎn)C(﹣2,6).(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo).(2)若點(diǎn)D(1,﹣3),點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上,且∠ACB=∠ADE,延長(zhǎng)ED交y軸于點(diǎn)F,求△EFO的面積.(3)若M在直線(xiàn)AC上,點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上,是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N,使以Q,M,N,A為頂點(diǎn)的四邊形是正方形?若存在,直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.變式訓(xùn)練【變4-1】.如圖,拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD.(1)求經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;(2)點(diǎn)Q在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上,若△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);(3)若P為BD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,G為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),N為直線(xiàn)PF上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).1.綜合與探究如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣4交x軸于A(yíng),B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,且OA=2OC=8OB,點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn),連接AC,過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸,與AC交于點(diǎn)E.(1)求此拋物線(xiàn)的解析式;(2)當(dāng)PC∥AB時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)用含x的代數(shù)式表示PE的長(zhǎng),并求出當(dāng)PE的長(zhǎng)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);(4)在(3)的條件下,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A(﹣3,0),B(1,0),交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)P(m,0)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn),PM⊥x軸,交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)①若點(diǎn)P僅在線(xiàn)段AO上運(yùn)動(dòng),如圖,求線(xiàn)段MN的最大值;②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng),則在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以M,N,C,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.3.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1,與x軸交于點(diǎn)A,B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC.(1)求此拋物線(xiàn)的解析式;(2)已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,DM交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以A,C,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)已知點(diǎn)E是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)C:y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A(yíng),B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為D,其中A(﹣4,0),B(4,0),設(shè)點(diǎn)F(m,0)是x軸的正半軸上一點(diǎn),將拋物線(xiàn)C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線(xiàn)C'.(1)求拋物線(xiàn)C的函數(shù)解析式;(2)若拋物線(xiàn)C'與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求m的取值范圍;(3)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)C上一點(diǎn),它到兩坐標(biāo)軸的距離相等,點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P',設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn),N是C'上的動(dòng)點(diǎn),試探究四邊形PMP'N能否成為正方形?若能,求出m的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣4(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求該拋物線(xiàn)的解析式;(2)直線(xiàn)l為該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),點(diǎn)F為直線(xiàn)AD下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),連接FA,F(xiàn)D,求△FAD面積的最大值;(3)在(2)的條件下,將拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣4(a≠0)沿射線(xiàn)AD平移4個(gè)單位,得到新的拋物線(xiàn)y1,點(diǎn)E為點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)P為y1的對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn),在y1上確定一點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)D,E,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).6.如圖,直線(xiàn)y=﹣x+4分別交x軸、y軸于A(yíng)、C兩點(diǎn),拋物線(xiàn)y=﹣x2+mx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B.連接BC,過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)E是拋物線(xiàn)上的點(diǎn),求滿(mǎn)足∠ECD=∠BCO的點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方,點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上一點(diǎn),若以點(diǎn)C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,求菱形的邊長(zhǎng).7.如圖,已知直線(xiàn)y=2x+n與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c相交于A(yíng),B兩點(diǎn),拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是A(1,﹣4),點(diǎn)B在x軸上.(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q,使∠BAQ=45°,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),已知點(diǎn)A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).(1)求此拋物線(xiàn)的解析式.(2)點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),(不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn),垂足為F,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E,作PD⊥AB于點(diǎn)D.①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),△PDE的周長(zhǎng)最大,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);②連接PA,以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí),求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo).(結(jié)果保留根號(hào))9.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(1,0),B(3,0),C(0,6)三點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的解析式.(2)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M與對(duì)稱(chēng)軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),直線(xiàn)AN交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D,點(diǎn)E為拋物線(xiàn)在直線(xiàn)AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AE、DE,問(wèn):△ADE的面積是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出面積的最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)P為拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn),Q為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),若以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(至少寫(xiě)兩個(gè)).10.如圖,一次函數(shù)y=x﹣圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn).(1)求二次函數(shù)解析式;(2)點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q,使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=﹣x2+x+4與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D.(1)點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且S△CDP=S△ABC,求m的值;(3)K是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H,使B、C、K、H為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.12.如圖1,拋物線(xiàn)y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A,B.與y軸交于點(diǎn)C.連接AC,BC.已知△ABC的面積為2.(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)從左到右依次交于P,Q兩點(diǎn).過(guò)P,Q向x軸作垂線(xiàn),垂足分別為G,H.若四邊形PGHQ為正方形,求正方形的邊長(zhǎng);(3)如圖2,平行于y軸的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N(2,0).點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上A,M之間的一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)D不與A,M重合,連接DB交MN于點(diǎn)E.連接AD并延長(zhǎng)交MN于點(diǎn)F.在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,3NE+NF是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.13.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),且A(﹣2,0),直線(xiàn)BC的解析式為y=﹣+3.(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D,點(diǎn)E為直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),連接CE、EB、BD、DC,求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)將拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)向左平移2個(gè)單位,已知點(diǎn)M為拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N為平移后的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).在(2)中,當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí),是否存在以A,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.14.如圖,拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn),垂足為E,連接BD.(1)求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)點(diǎn)F是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)P是x軸上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),以PB為邊作正方形PBFG,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨著改變,當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l:y=kx+b與y軸交于點(diǎn)C,與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且CD=4AC.(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo),并用含a的式子表示直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式(其中k、b用含a的式子表示).(2)點(diǎn)E為直線(xiàn)l下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn),當(dāng)△ADE的面積的最大值為時(shí),求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;(3)設(shè)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上,以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形?若能,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.16.如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、C,與y軸交于點(diǎn)B,直線(xiàn)y=x+3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn).(1)求b、c的值.(2)若點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D,求線(xiàn)段PD的最大值.(3)在(2)的結(jié)論下,連接CD,點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一動(dòng)點(diǎn),在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)G,使得以C、D、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的頂點(diǎn)A在y軸上,BC邊與x軸重合,過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)分別交AB和y軸于點(diǎn)D、H,AB=HC,線(xiàn)段OB、OC(OB<OC)的長(zhǎng)是方程x2﹣6x+8=0的根.(1)求直線(xiàn)CD的解析式;(2)點(diǎn)P是線(xiàn)段BC上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是線(xiàn)段OA上的一動(dòng)點(diǎn)且2BP=3OQ,設(shè)BP=t,△OPQ的面積為S,請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系;(3)在(2)的條件下,在平面上是否存在一點(diǎn)M,使得以P,Q,O,M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.如圖,拋物線(xiàn)y=x2﹣4x+3與坐標(biāo)軸交于A(yíng)、B、C三點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)E,若經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的⊙M滿(mǎn)足∠EAM=45°.(1)求直線(xiàn)BE的解析式;(2)若D點(diǎn)是直線(xiàn)BE下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),連接BD和ED,求△BED面積的最大值;(3)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上,平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo).19.如圖,直線(xiàn)y=x+2與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,C,拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為B,點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AC上方時(shí),連接BC,CD,BD,BD交AC于點(diǎn)E,令△CDE的面積為S1,△BCE的面積為S2,求的最大值;(3)點(diǎn)F是該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),是否存在以點(diǎn)B,C,D,F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),點(diǎn)B坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)P是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)如圖2,設(shè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸PH與x軸交于點(diǎn)H,①連接AC,BC,CP,點(diǎn)D為對(duì)稱(chēng)軸PH上的一點(diǎn),且△CDP與△ABC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);②點(diǎn)M為對(duì)稱(chēng)軸PH上一點(diǎn)且在x軸下方,在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)E,在y軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)F,且滿(mǎn)足OF=4EO=4MH,已知點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上,以E,F(xiàn),M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo).21.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c交x軸于A(yíng)(﹣3,0),B(4,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;(2)如圖,直線(xiàn)y=與拋物線(xiàn)交于A(yíng),D兩點(diǎn),與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E.若M(m,0)是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn),交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F,交直線(xiàn)AD于點(diǎn)G,交直線(xiàn)BC于點(diǎn)H.①當(dāng)點(diǎn)F在直線(xiàn)AD上方的拋物線(xiàn)上,且S△EFG=S△OEG時(shí),求m的值;②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使四邊形EFHP為正方形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,﹣3),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,且OC=3OB.(1)求拋物線(xiàn)的解析式,并寫(xiě)出x為何值時(shí)y=0.(2)點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上,點(diǎn)N在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上,是否存在以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【提示】①以AB為邊時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).②以AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).23.如圖1(注:與圖2完全相同)所示,拋物線(xiàn)y=﹣+bx+c經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,與y軸相交于點(diǎn)C.(1)求拋物線(xiàn)的解析式.(2)設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M,求四邊形ABMC的面積.(請(qǐng)?jiān)趫D1中探索)(3)設(shè)點(diǎn)Q在y軸上,點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上.要使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).(請(qǐng)?jiān)趫D2中探索)24.如圖所示,拋物線(xiàn)與x軸相交于A(yíng),B兩點(diǎn)(B在A(yíng)的右邊),與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3),點(diǎn)M(1,﹣4)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).(1)求此拋物線(xiàn)的解析式.(2)若點(diǎn)N是第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BN,CN,當(dāng)△BNC是以BN,NC為腰的等腰三角形時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).(3)若點(diǎn)D是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)G是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),是否存在以點(diǎn)B,C,D,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.(4)直線(xiàn)CM交x軸于點(diǎn)E,若點(diǎn)P是線(xiàn)段EM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在以點(diǎn)P,E,O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.25.如圖所示,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(﹣2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,6),對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1.點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m(1<m<4),連接AC,BC,DC,DB.(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí),求m的值;(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.26.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣6與x軸相交于A(yíng),B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,OA=2,OB=4,直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,在直線(xiàn)l右側(cè)的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)D,連接AD,BD,BC,CD.(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)D在x軸的下方,當(dāng)△BCD的面積是時(shí),求△ABD的面積;(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M是x軸上一點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn),以BD為一邊的四邊形是平行四邊形,若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.27.綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣4,0),點(diǎn)M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),點(diǎn)B在y軸上,且OA=OB,直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)C(2,6),如圖①.(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,cos∠ABO=;連接OC,若過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)P,將△AOC的面積分成1:2的兩部分,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為;(3)在y軸上找一點(diǎn)Q,使得△AMQ的周長(zhǎng)最?。唧w作法如圖②,作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接MA'交y軸于點(diǎn)Q,連接AM、AQ,此時(shí)△AMQ的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

模型介紹模型介紹要求證平行四邊形的存在,得先了解平行四邊形的性質(zhì):(1)對(duì)應(yīng)邊平行且相等.(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分.這是圖形的性質(zhì),我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中:(1)對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為:,可以理解為點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A,點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D,移動(dòng)路徑完全相同.(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分轉(zhuǎn)化為:,可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn).【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣,但其實(shí)可以化為統(tǒng)一:,→.當(dāng)AC和BD為對(duì)角線(xiàn)時(shí),結(jié)果可簡(jiǎn)記為:(各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加)以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析,而我們要求證的是平行四邊形存在性問(wèn)題,此處當(dāng)有一問(wèn):若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿(mǎn)足“A+C=B+D”,則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形?反例如下:之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化,故存在反例.雖有反例,但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題,另外,還需注意對(duì)對(duì)角線(xiàn)的討論:(1)四邊形ABCD是平行四邊形:AC、BD一定是對(duì)角線(xiàn).(2)以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形:對(duì)角線(xiàn)不確定需要分類(lèi)討論.【題型分類(lèi)】三定一動(dòng)已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D使得以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.思路1:利用對(duì)角線(xiàn)互相平分,分類(lèi)討論:設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:(1)BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,可得;(2)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得;(3)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得.當(dāng)然,如果對(duì)這個(gè)計(jì)算過(guò)程非常熟悉的話(huà),也不用列方程解,直接列算式即可.比如:,,.(此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減)2.兩定兩動(dòng)已知A(1,1)、B(3,2),點(diǎn)C在x軸上,點(diǎn)D在y軸上,且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求C、D坐標(biāo).【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,n),又A(1,1)、B(3,2).(1)當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得,故C(4,0)、D(0,3);(2)當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得,故C(2,0)、D(0,-1);(3)當(dāng)AD為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得,故C(-2,0)、D(0,1).【動(dòng)點(diǎn)綜述】“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣,“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中,橫縱坐標(biāo)都不確定,需要用兩個(gè)字母表示,這樣的我們姑且稱(chēng)為“全動(dòng)點(diǎn)”,而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線(xiàn)或者拋物線(xiàn)上,用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo),稱(chēng)為“半動(dòng)點(diǎn)”.從上面例子可以看出,雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同,但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).若把一個(gè)字母稱(chēng)為一個(gè)“未知量”也可理解為:全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量×2.找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量,都是根據(jù)圖形決定的,像平行四邊形,只能有2個(gè)未知量.究其原因,在于平行四邊形兩大性質(zhì):(1)對(duì)邊平行且相等;(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分.但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式:,兩個(gè)等式,只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù),即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問(wèn)題最多只能存在2個(gè)未知量.由圖形性質(zhì)可知未知量,由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì),由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問(wèn)題.例題精講例題精講考點(diǎn)一:二次函數(shù)背景下的平行四邊形存在性問(wèn)題【例1】.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6與x軸交于A(yíng)(2,0),B(﹣6,0)兩點(diǎn).(1)求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式;(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使得以B、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)將點(diǎn)A(2,0),B(﹣6,0)代入拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6得:,解得,∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=﹣x2﹣2x+6;(2)存在點(diǎn)P,使得以B、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,理由如下:∵y=﹣x2﹣2x+6=﹣(x+2)2+8,∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣2,在y=﹣x2﹣2x+6中,令x=0得y=6,∴C(0,6),設(shè)P(m,﹣m2﹣2m+6),Q(﹣2,t),又B(﹣6,0),①以CP,QB為對(duì)角線(xiàn),則CP,QB的中點(diǎn)重合,∴,解得,∴P(﹣8,﹣10);②以CQ,PB為對(duì)角線(xiàn),則CQ,PB中點(diǎn)重合,∴,解得,∴P(4,﹣10);③以CB,PQ為對(duì)角線(xiàn),則CB,PQ中點(diǎn)重合,∴,解得,∴P((﹣4,6);綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,6)或(﹣8,﹣10)或(4,﹣10).變式訓(xùn)練【變1-1】.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=(m﹣1)x2﹣(3m﹣4)x﹣3與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)(1,0)且與y軸平行的直線(xiàn),點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn),點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn);(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)若tan∠PCB=,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解:(1)當(dāng)y=0時(shí),(m﹣1)x2﹣(3m﹣4)x﹣3=0,解得x1=,x2=3,即A(,0)B(3,0),由A,B關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),得=﹣1,解得m=2,即A(﹣1,0),函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3;(2)由四邊形ABPQ是平行四邊形,得PQ∥AB,PQ=AB=4,當(dāng)PQ=4,即x=4時(shí),y=5,即P(4,5);當(dāng)x=﹣4時(shí),y=21,即P(﹣4,21),AB為對(duì)角線(xiàn),A(﹣1,0),B(3,0),設(shè)P(a,a2﹣2a﹣3),Q(0,n),則,解得,P(2,﹣3).綜上所述:四邊形ABPQ是平行四邊形P(4,5),(﹣4,21),(2,﹣3);(3)如圖,過(guò)P作PQ⊥x軸于Q,交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于R,過(guò)P作PH⊥BC于H,設(shè)P(m,m2﹣2m﹣3),∵拋物線(xiàn)y=x2﹣4x+3與坐標(biāo)軸交于A(yíng),B,C三點(diǎn),∴x=0,則y=﹣3;y=0,則0=x2﹣4x+3,解得:x1=﹣1,x2=3,故A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3),設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為:y=kx+b,則,解得:,故直線(xiàn)BC解析式:y=x﹣3,∴R(m,m﹣3),PR=m2﹣2m﹣3﹣(m﹣3)=m2﹣3m,∵OB=OC=3,∴∠CBQ=135°,∴∠HPR=45°,∵CO=OB,∴∠OCR=45°,∴CR=OQ=m,∴PH=RH=PR÷=m(m﹣3),又∵CR=OQ=m,∴CH=m+m(m﹣3)=m(m﹣1)由tan∠PCB===,解得:m=5,則m2﹣2m﹣3=12,故P(5,12).當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC的下方時(shí),同法可得:=,解得m=或0(舍棄),∴P(,﹣),綜上所述,滿(mǎn)足條件點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,12)或(,﹣).考點(diǎn)二:二次函數(shù)背景下的菱形存在性問(wèn)題【例2】.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3交x軸于A(yíng)(3,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上.(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)當(dāng)以P,B,C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng);(3)若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn),是否存在點(diǎn)Q,使得以A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3交x軸于A(yíng)(3,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),∴,解得:,∴該拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+2x+3;(2)在y=﹣x2+2x+3中,令x=0,得y=3,∴C(0,3),∵△PBC的周長(zhǎng)為:PB+PC+BC,BC是定值,∴當(dāng)PB+PC最小時(shí),△PBC的周長(zhǎng)最小.如圖1,點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng),連接AC交l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求的點(diǎn).∵AP=BP,∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是AC+BC,∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,3),∴AC=3,BC=.∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是:3+.拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=1,設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+c,將A(3,0),C(0,3)代入,得:,解得:,∴直線(xiàn)AC的解析式為y=﹣x+3,∴P(1,2);(3)存在.設(shè)P(1,t),Q(m,n)∵A(3,0),C(0,3),則AC2=32+32=18,AP2=(1﹣3)2+t2=t2+4,PC2=12+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,∵四邊形ACPQ是菱形,∴分三種情況:以AP為對(duì)角線(xiàn)或以AC為對(duì)角線(xiàn)或以CP為對(duì)角線(xiàn),①當(dāng)以AP為對(duì)角線(xiàn)時(shí),則CP=CA,如圖2,∴t2﹣6t+10=18,解得:t=3±,∴P1(1,3﹣),P2(1,3+),∵四邊形ACPQ是菱形,∴AP與CQ互相垂直平分,即AP與CQ的中點(diǎn)重合,當(dāng)P1(1,3﹣)時(shí),∴=,=,解得:m=4,n=﹣,∴Q1(4,﹣),當(dāng)P2(1,3+)時(shí),∴=,=,解得:m=4,n=,∴Q2(4,),②以AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),則PC=AP,如圖3,∴t2﹣6t+10=t2+4,解得:t=1,∴P3(1,1),∵四邊形APCQ是菱形,∴AC與PQ互相垂直平分,即AC與CQ中點(diǎn)重合,∴=,=,解得:m=2,n=2,∴Q3(2,2),③當(dāng)以CP為對(duì)角線(xiàn)時(shí),則AP=AC,如圖4,∴t2+4=18,解得:t=±,∴P4(1,),P5(1,﹣),∵四邊形ACQP是菱形,∴AQ與CP互相垂直平分,即AQ與CP的中點(diǎn)重合,∴=,=,解得:m=﹣2,n=3,∴Q4(﹣2,3+),Q5(﹣2,3﹣),綜上所述,符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q1(4,﹣),Q2(4,),Q3(2,2),Q4(﹣2,3+),Q5(﹣2,3﹣).變式訓(xùn)練【變2-1】.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣1(a≠0)交x軸于A(yíng),B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,一次函數(shù)y=x+3的圖象交坐標(biāo)軸于A(yíng),D兩點(diǎn),E為直線(xiàn)AD上一點(diǎn),作EF⊥x軸,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)若點(diǎn)F位于直線(xiàn)AD的下方,請(qǐng)問(wèn)線(xiàn)段EF是否有最大值?若有,求出最大值并求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)G,使得G,E,D,C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo).解:(1)將y=0代入y=x+3,得x=﹣3.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0).設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x﹣x1)(x﹣x2),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),∴y=a(x+3)(x﹣1).∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣1),∴﹣3a=﹣1,得a=,∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+x﹣1;(2)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,m+3),線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度為y,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,m2+m﹣1)∴y=(m+3)﹣(m2+m﹣1)=﹣m2+m+4即y=(m﹣)2+,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,);(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,1),(﹣2,﹣2﹣1),(2,2﹣1),(﹣4,3).理由:①如圖1,當(dāng)四邊形CGDE為菱形時(shí).∴EG垂直平分CD∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y==1,將y=1代入y=x+3,得x=﹣2.∵EG關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,1);②如圖2,當(dāng)四邊形CDEG為菱形時(shí),以點(diǎn)D為圓心,DC的長(zhǎng)為半徑作圓,交AD于點(diǎn)E,可得DC=DE,構(gòu)造菱形CDEG設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(n,n+3),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3)∴DE==∵DE=DC=4,∴=4,解得n1=﹣2,n2=2.∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,﹣2+3)或(2,2+3)將點(diǎn)E向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度可得點(diǎn)G,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣2,﹣2﹣1)(如圖2)或(2,2﹣1)(如圖3)③如圖4,“四邊形CDGE為菱形時(shí),以點(diǎn)C為圓心,以CD的長(zhǎng)為半徑作圓,交直線(xiàn)AD于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(k,k+3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣1).∴EC==.∵EC=CD=4,∴2k2+8k+16=16,解得k1=0(舍去),k2=﹣4.∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣4,﹣1)將點(diǎn)E上移4個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)G.∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣4,3).綜上所述,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,1),(﹣2,﹣2﹣1),(2,2﹣1),(﹣4,3).考點(diǎn)三:二次函數(shù)背景下的矩形存在性問(wèn)題【例3】.綜合與探究如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+2x+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,OA=1,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,點(diǎn)D為此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)拋物線(xiàn)上C、D兩點(diǎn)之間的距離是2;(3)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),連接BE和CE,求△BCE面積的最大值;(4)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上,平面內(nèi)存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo).解:(1)∵OA=1,∴A(﹣1,0),又∵對(duì)稱(chēng)軸為x=2,∴B(5,0),將A,B代入解析式得:,解得,∴,自變量x為全體實(shí)數(shù);(2)由(1)得:C(0,),D(2,),∴CD=,故答案為2;(3)∵B(5,0),C(0,),∴直線(xiàn)BC的解析式為:,設(shè)E(x,),且0<x<5,作EF∥y軸交BC于點(diǎn)F,則F(x,),∴EF=﹣()=,∴,當(dāng)x=時(shí),S△BCE有最大值為;(4)設(shè)P(2,y),Q(m,n),由(1)知B(5,0),C(0,),若BC為矩形的對(duì)角線(xiàn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:,解得:,又∵∠BPC=90°,∴PC2+PB2=BC2,即:,解得y=4或y=﹣,∴n=或n=4,∴Q(3,)或Q(3,4),若BP為矩形的對(duì)角線(xiàn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,解得,又∵∠BCP=90°,BC2+CP2=BP2,即:,解得y=,∴Q(7,4),若BQ為矩形的對(duì)角線(xiàn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,解得:,又∵∠BCQ=90°,∴BC2+CQ2=BQ2,即:,解得n=,∴Q(﹣3,﹣),綜上,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,)或(3,4),或(7,4)或(﹣3,﹣).變式訓(xùn)練【變3-1】.如圖1,若二次函數(shù)y=﹣x2+3x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC.(1)求三角形ABC的面積;(2)若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)在一象限內(nèi)BC上方一動(dòng)點(diǎn),連接PB、PC,是否存在點(diǎn)P,使四邊形ABPC的面積為18,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;(3)如圖2,若點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)K,使以點(diǎn)B、C、Q、K為頂點(diǎn),BC為邊的四邊形是矩形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)令x=0,則y=4,∴C(0,4),令y=0,則﹣x2+3x+4=0,解得x=4或x=﹣1,∴A(﹣1,0),B(4,0),∴AB=5,∴S△ABC=×5×4=10;(2)存在,理由如下:∵四邊形ABPC的面積為18,S△ABC=10,∴△BCP的面積為8,設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+4,將點(diǎn)B(4,0)代入,得k=﹣1,∴直線(xiàn)BC的解析式為y=﹣x+4,過(guò)P點(diǎn)作PM⊥x軸,交BC于點(diǎn)M,設(shè)P(t,﹣t2+3t+4),則M(t,﹣t+4),∴S△BCP=×4×PM=2(﹣t2+3t+4+t﹣4)=2(﹣t2+4t)=8,∴t=2,∴P(2,6);(3)存在,理由如下:設(shè)Q(m,﹣m2+3m+4),當(dāng)m>0時(shí),如圖1,∵矩形是以BC為邊,∴QK∥BC,CQ⊥BC,KB⊥BC,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸交H點(diǎn),過(guò)K作KG⊥x軸交G點(diǎn),∵CQ=BK,∠OCB=∠OBC=45°,∴∠HCQ=∠GBK=45°,∴△CHQ≌△BGK(AAS),∴HC=HQ=BG=GK,∴m=﹣m2+3m+4﹣4,∴m=2或m=0(舍),∴HQ=2,∴K(6,2);當(dāng)m<0時(shí),如圖2,∵矩形是以BC為邊,∴QK∥BC,KC⊥BC,BQ⊥BC,設(shè)KC與x軸的交點(diǎn)為F,BQ與y軸的交點(diǎn)為H,過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸交G點(diǎn),過(guò)K作KE⊥x軸交E點(diǎn),∵∠OCB=∠OBC=45°,∴∠OBH=∠OHB=45°,∠FCO=∠CFO=45°,∴OF=OC=OB=OH=4,∠HQG=∠EFK=45°,∵KC=BQ,CF=HB,∴FK=QH,∴△QHG≌△KFE(AAS),∴QG=HG=EF=EK,∴﹣m=﹣4﹣(﹣m2+3m+4),∴m=﹣2或m=4(舍),∴GQ=2,∴K(﹣6,﹣2);綜上所述,K點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣6,﹣2)或(6,2).考點(diǎn)四:二次函數(shù)背景下的正方形存在性問(wèn)題【例4】.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線(xiàn)y=x2﹣3x﹣4與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),有點(diǎn)C(﹣2,6).(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo).(2)若點(diǎn)D(1,﹣3),點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上,且∠ACB=∠ADE,延長(zhǎng)ED交y軸于點(diǎn)F,求△EFO的面積.(3)若M在直線(xiàn)AC上,點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上,是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N,使以Q,M,N,A為頂點(diǎn)的四邊形是正方形?若存在,直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)令x2﹣3x﹣4=0,解得x=4或x=﹣1,∵A(4,0),B(﹣1,0);(2)過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA,設(shè)E(m,0),∵C(﹣2,6),D(1,﹣3),AC=6,AD=3,BC=,由△ABC的面積可得,5×6=6BG,∴BG=,由△ADE的面積可得,3|4﹣m|=3EH,∴EH=|4﹣m|,∵∠ACB=∠ADE∴=,∴=,∴2m2﹣41m+57=0,∴m=或m=19,∵點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上,∴E(,0),則ED的直線(xiàn)解析式為y=6x﹣9,∴F(0,﹣9),∴△EFO的面積=×OE×OF=××9=;(3)直線(xiàn)AC的解析式為y=﹣x+4,∴∠CAO=45°,設(shè)M(t,﹣t+4),如圖1:當(dāng)AC為正方形QAMN邊時(shí),M點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),∴N(t,t﹣4),∴M、N的中點(diǎn)為(t,0),∴A、Q中點(diǎn)也為(t,0),∴Q(2t﹣4,0),∵點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上,∴2t﹣4=﹣1,∴t=,∴M(,);如圖2:當(dāng)M、Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí),M(0,4),此時(shí)Q(0,﹣4)在拋物線(xiàn)上;如圖3:當(dāng)Q(0,﹣4)時(shí),M(8,﹣4);如圖4:當(dāng)Q(﹣1,0)時(shí),M(﹣1,5);綜上所述:M(,)或M(0,4)或M(8,﹣4)或M(﹣1,5).變式訓(xùn)練【變4-1】.如圖,拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD.(1)求經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;(2)點(diǎn)Q在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上,若△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);(3)若P為BD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,G為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),N為直線(xiàn)PF上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).解:(1)∵拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),∴,解得,,∴經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3.(2)如圖1,連接BC,CD.由題意,C(0,3),B(3,0),∴OB=OC=3,∵∠BOC=90°,∴∠OBC=∠OCB=45°∵y=﹣(x﹣1)2+4,∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),∵△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形,當(dāng)∠Q′BC=90′時(shí),∠ABQ′=45°,∴EB=EQ′=2,∴Q′(1,﹣2),當(dāng)∠QCB=90°時(shí),此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合,Q(1,4),綜上所述,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,4)或(1,﹣2).(3)如圖2中,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(a,﹣a2+2a+3),∵以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,∴FM=MG,即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|,當(dāng)2﹣a=﹣a2+2a+3時(shí),整理得,a2﹣3a﹣1=0,解得,a=,當(dāng)2﹣a=﹣(﹣a2+2a+3)時(shí),整理得,a2﹣a﹣5=0,解得,a=,∴當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0),(,0),(,0),(,0).1.綜合與探究如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣4交x軸于A(yíng),B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,且OA=2OC=8OB,點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn),連接AC,過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸,與AC交于點(diǎn)E.(1)求此拋物線(xiàn)的解析式;(2)當(dāng)PC∥AB時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)用含x的代數(shù)式表示PE的長(zhǎng),并求出當(dāng)PE的長(zhǎng)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);(4)在(3)的條件下,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)令x=0,則y=﹣4,∴C(0,﹣4),∴OC=4,∵OA=2OC=8OB,∴OA=8,OB=1,∴A(﹣8,0),B(1,0),將A、B代入y=ax2+bx﹣4,得,∴,∴y=x2+x﹣4;(2)當(dāng)PC∥AB時(shí),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4,∴x2+x﹣4=﹣4,∴x=0或x=﹣7,∵P點(diǎn)在第三象限,∴P(﹣7,﹣4);(3)設(shè)AC的直線(xiàn)解析式為y=kx+b,∴,解得,∴y=﹣x﹣4,設(shè)P(x,x2+x﹣4),則E(x,﹣x﹣4),∴PE=﹣x﹣4﹣(x2+x﹣4)=﹣x2﹣4x=﹣(x+4)2+8,∴當(dāng)x=﹣4時(shí),PE有最大值8,此時(shí)P(﹣4,﹣10);(4)存在點(diǎn)Q,使得以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,理由如下:設(shè)Q(m,n),①當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),AC的中點(diǎn)為(﹣4,﹣2),PQ的中點(diǎn)為(,),∴﹣4=,﹣2=,∴m=﹣4,n=6,∴Q(﹣4,6);②當(dāng)AP為對(duì)角線(xiàn)時(shí),AP的中點(diǎn)為(﹣6,﹣5),CQ的中點(diǎn)為(,),∴﹣6=,﹣5=,∴m=﹣12,n=﹣6,∴Q(﹣12,﹣6);③當(dāng)AQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí),AQ的中點(diǎn)為(,),CP的中點(diǎn)為(﹣2,﹣7),∴=﹣2,=﹣7,∴m=4,n=﹣14,∴Q(4,﹣14);綜上所述:以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,6)或(﹣12,﹣6)或(4,﹣14).2.如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A(﹣3,0),B(1,0),交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)P(m,0)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn),PM⊥x軸,交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)①若點(diǎn)P僅在線(xiàn)段AO上運(yùn)動(dòng),如圖,求線(xiàn)段MN的最大值;②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng),則在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以M,N,C,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)把A(﹣3,0),B(1,0)代入y=x2+bx+c中,得,解得,∴y=x2+2x﹣3.(2)①設(shè)直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y=kx+b,把A(﹣3,0),C(0,﹣3)代入y=kx+b′.得,解得,∴y=﹣x﹣3,∵點(diǎn)P(m,0)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn),且PM⊥x軸.∴M(m,﹣m﹣3),N(m,m2+2m﹣3),∴MN=(﹣m﹣3)﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m=﹣(m+)2+,∵a=﹣1<0,∴此函數(shù)有最大值.又∵點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng),且﹣3<﹣<0,∴當(dāng)m=﹣時(shí),MN有最大值.②如圖2﹣1中,當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上,MN=MC,四邊形MNQC是菱形時(shí).∵M(jìn)N=﹣m2﹣3m,MC=﹣m,∴﹣m2﹣3m=﹣m,解得m=﹣3+或0(舍棄)∴MN=3﹣2,∴CQ=MN=3﹣2,∴OQ=3+1,∴Q(0,﹣3﹣1).如圖2﹣2中,當(dāng)MC是菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí),四邊形MNCQ是正方形,此時(shí)CN=MN=CQ=2,可得Q(0,﹣1).如圖2﹣3中,當(dāng)點(diǎn)M在CA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),MN=CM,四邊形MNQC是菱形時(shí),則有,m2+3m=﹣m,解得m=﹣3﹣或0(舍棄),∴MN=CQ=3+2,∴OQ=CQ﹣OC=3﹣1,∴Q(0,3﹣1).當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí),顯然MN>CM,此時(shí)滿(mǎn)足條件的菱形不存在.綜上所述,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,﹣3﹣1)或(0,﹣1)或(0,3﹣1).3.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1,與x軸交于點(diǎn)A,B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC.(1)求此拋物線(xiàn)的解析式;(2)已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,DM交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以A,C,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)已知點(diǎn)E是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)拋物線(xiàn)y=ax2+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1,與x軸交于點(diǎn)A,B(3,0),∴A(﹣1,0),∴,解得,∴拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3,∴C(0,3),設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+3,將點(diǎn)B(3,0)代入得:0=3k+3,解得:k=﹣1,∴直線(xiàn)BC的解析式為y=﹣x+3;設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(t,﹣t2+2t+3),則點(diǎn)N(t,﹣t+3),∵A(﹣1,0),C(0,3),∴AC2=12+32=10,AN2=(t+1)2+(﹣t+3)2=2t2﹣4t+10,CN2=t2+(3+t﹣3)2=2t2,①當(dāng)AC=AN時(shí),AC2=AN2,∴10=2t2﹣4t+10,解得t1=2,t2=0(不合題意,舍去),∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,1);②當(dāng)AC=CN時(shí),AC2=CN2,∴10=2t2,解得t1=,t2=﹣(不合題意,舍去),∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,3﹣);③當(dāng)AN=CN時(shí),AN2=CN2,∴2t2﹣4t+10=2t2,解得t=,∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,);綜上,存在,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,1)或(,3﹣)或(,);(3)設(shè)E(1,a),F(xiàn)(m,n),∵B(3,0),C(0,3),∴BC=3,①以BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),BC2=CE2+BE2,∴(3)2=12+(a﹣3)2+a2+(3﹣1)2,解得:a=,或a=,∴E(1,)或(1,),∵B(3,0),C(0,3),∴m+1=0+3,n+=0+3或n+=0+3,∴m=2,n=或n=,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,)或(2,);②以BC為邊時(shí),BE2=CE2+BC2或CE2=BE2+BC2,∴a2+(3﹣1)2=12+(a﹣3)2+(3)2或12+(a﹣3)2=a2+(3﹣1)2+(3)2,解得:a=4或a=﹣2,∴E(1,4)或(1,﹣2),∵B(3,0),C(0,3),∴m+0=1+3,n+3=0+4或m+3=1+0,n+0=3﹣2,∴m=4,n=1或m=﹣2,n=1,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,1)或(﹣2,1),綜上所述:存在,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,)或(2,)或(4,1)或(﹣2,1).4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)C:y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A(yíng),B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為D,其中A(﹣4,0),B(4,0),設(shè)點(diǎn)F(m,0)是x軸的正半軸上一點(diǎn),將拋物線(xiàn)C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線(xiàn)C'.(1)求拋物線(xiàn)C的函數(shù)解析式;(2)若拋物線(xiàn)C'與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求m的取值范圍;(3)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)C上一點(diǎn),它到兩坐標(biāo)軸的距離相等,點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P',設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn),N是C'上的動(dòng)點(diǎn),試探究四邊形PMP'N能否成為正方形?若能,求出m的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)由題意把點(diǎn)A(﹣4,0),B(4,0),代入y=﹣x2+bx+c中,得:,解得:,∴拋物線(xiàn)C的函數(shù)解析式為:y=﹣x2+8;(2)如圖1,由題意拋物線(xiàn)C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,﹣8),設(shè)拋物線(xiàn)C′的解析式為:y=(x﹣2m)2﹣8,由,消去y得到:,∵拋物線(xiàn)C′與拋物線(xiàn)C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),∴,解得:,∴滿(mǎn)足條件的m的取值范圍為:4<m<4;(3)結(jié)論:四邊形PMP'N能成為正方形.理由:情形1,如圖2,作PE⊥x軸于E,MH⊥x軸于H.由題意易知P(4,4),當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時(shí),四邊形PMP'N是正方形,∴PF=FM,∠PFM=90°,∵∠PEF=∠FHM=90°,∴∠PFE+∠FPE=90°,∠PFE+∠MFH=90°,在△PFE和△FMH中,∴,∴△PFE≌△FMH(AAS),∴PE=FH=4,EF=HM=4﹣m,∴M(m+4,m﹣4),∵點(diǎn)M在y=﹣x2+8上,∴m﹣4=﹣(m+4)2+8,解得或(舍),∴m=﹣6+2時(shí),四邊形PMP'N是正方形.情形2,如圖,四邊形PMP′N(xiāo)是正方形,同法可得M(m﹣4,4﹣m),把M(m﹣4,4﹣m)代入y=﹣x2+8中,4﹣m=﹣(m﹣4)2+8,解得m=12或m=0(舍去),∴m=12時(shí),四邊形PMP′N(xiāo)是正方形.綜上,四邊形PMP′N(xiāo)能成為正方形,m=﹣6+2或12.5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣4(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求該拋物線(xiàn)的解析式;(2)直線(xiàn)l為該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),點(diǎn)F為直線(xiàn)AD下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),連接FA,F(xiàn)D,求△FAD面積的最大值;(3)在(2)的條件下,將拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣4(a≠0)沿射線(xiàn)AD平移4個(gè)單位,得到新的拋物線(xiàn)y1,點(diǎn)E為點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)P為y1的對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn),在y1上確定一點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)D,E,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).解:(1)將A(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx﹣4得,∴,∴y=x2﹣3x﹣4,(2)當(dāng)x=0時(shí),y=﹣4,∴點(diǎn)C(0,﹣4),∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=,∴D(3,﹣4),∵A(﹣1,0),∴直線(xiàn)AD的函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣x﹣1,設(shè)F(m,m2﹣3m﹣4),作FH∥y軸交直線(xiàn)AD于H,∴H(m,﹣m﹣1),∴FH=﹣m﹣1﹣(m2﹣3m﹣4)=﹣m2+2m+3,∴S△AFD=S△AFH+S△DFH==2(﹣m2+2m+3)=﹣2m2+4m+6,當(dāng)m=﹣=1時(shí),S△AFD最大為8,(3)∵直線(xiàn)AD與x軸正方向夾角為45°,∴沿AD方向平移,實(shí)際可看成向右平移4個(gè)單位,再向下平移4個(gè)單位,∵F(1,﹣6),∴E(5,﹣10),拋物線(xiàn)y=x2﹣3x﹣4平移后y1=x2﹣11x+20,∴拋物線(xiàn)y1的對(duì)稱(chēng)軸為:直線(xiàn)x=,當(dāng)DE為平行四邊形的邊時(shí):若D平移到對(duì)稱(chēng)軸上F點(diǎn),則Q的橫坐標(biāo)為,代入y1=x2﹣11x+20得y=﹣,∴Q(,﹣),若E平移到對(duì)稱(chēng)軸上F點(diǎn),則Q的橫坐標(biāo)為,代入y1=x2﹣11x+20得y=,∴Q(,﹣),若DE為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí),若E平移到對(duì)稱(chēng)軸上F點(diǎn),則Q平移到D點(diǎn),∴Q的橫坐標(biāo)為,代入y1=x2﹣11x+20得y=﹣,∴Q(,﹣),∴Q()或Q()或Q().6.如圖,直線(xiàn)y=﹣x+4分別交x軸、y軸于A(yíng)、C兩點(diǎn),拋物線(xiàn)y=﹣x2+mx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B.連接BC,過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)E是拋物線(xiàn)上的點(diǎn),求滿(mǎn)足∠ECD=∠BCO的點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方,點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上一點(diǎn),若以點(diǎn)C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,求菱形的邊長(zhǎng).解:(1)y=﹣x+4,令x=0,則y=4,令y=0,則x=4,則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,4),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式并解得:m=3,故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:y=﹣x2+3x+4…①,令y=0,則x=﹣1或4,故點(diǎn)B(﹣1,0);(2)①當(dāng)點(diǎn)E在CD上方時(shí),tan∠BCO==,則直線(xiàn)CE的表達(dá)式為:y=x+4…②,聯(lián)立①②并解得:x=0或(舍去0),則點(diǎn)E(,);②當(dāng)點(diǎn)E在CD下方時(shí),同理可得:點(diǎn)E′(,);故點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(,)或(,);(3)①如圖2,當(dāng)CM為菱形的一條邊時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸,∵OA=OC=4,∴∠PMQ=∠CAO=45°,設(shè)點(diǎn)P(x,﹣x2+3x+4),則PM=PQ=x,C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,則PM=PN,即:x=﹣x2+3x+4﹣(﹣x+4),解得:x=0或4﹣(舍去0),故菱形邊長(zhǎng)為x=4﹣2;②如圖3,當(dāng)CM為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí),同理可得:菱形邊長(zhǎng)為2;故:菱形邊長(zhǎng)為4﹣2或2.7.如圖,已知直線(xiàn)y=2x+n與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c相交于A(yíng),B兩點(diǎn),拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是A(1,﹣4),點(diǎn)B在x軸上.(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q,使∠BAQ=45°,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.解:(1)將點(diǎn)A(1,﹣4)代入直線(xiàn)y=2x+n得,2+n=﹣4,∴n=﹣6,∴直線(xiàn)y=2x﹣6,當(dāng)y=0時(shí),代入直線(xiàn)得:0=2x﹣6,解得:x=3,∴點(diǎn)B坐標(biāo)(3,0),設(shè)拋物線(xiàn)表達(dá)式為y=a(x﹣1)2﹣4,將點(diǎn)B代入拋物線(xiàn)得,0=4a﹣4,解得:a=1,∴拋物線(xiàn)表達(dá)式y(tǒng)=(x﹣1)2﹣4;(2)當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí),有兩種情況:①如圖,當(dāng)AB為邊時(shí),設(shè)點(diǎn)M(0,m),已知點(diǎn)A(1,﹣4),點(diǎn)B(3,0)∴MA2=12+(m+4)2,AB2=(1﹣3)2+(﹣4﹣0)2=20,BM2=32+m2,∴MB2=AM2+AB2,即12+(m+4)2+20=32+m2,解得m=﹣,即點(diǎn)M的坐標(biāo)(0,﹣),延長(zhǎng)BN交y軸于點(diǎn)M′,作AG⊥y軸于G,BH⊥GA交GA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H.由△BOM′∽△BHA,可得=,∴=,∴OM′=,∴M′(0,),②如圖,當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí),取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P,作輔助圓⊙P,與y軸交于點(diǎn)M1,M2,作PG⊥y軸于點(diǎn)G,點(diǎn)P坐標(biāo)(,),即(2,﹣2),由①可得線(xiàn)段AB==2,∴⊙P半徑,在Rt△PM1G中,PM1=,PG=2,M1G==1,根據(jù)垂徑定理可得,M2G=1,∴點(diǎn)M1坐標(biāo)(0,﹣1),點(diǎn)M2坐標(biāo)(0,﹣3);綜上所述,當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí),點(diǎn)M坐標(biāo)為:(0,﹣)或(0,)或(0,﹣1)或(0,﹣3);(3)存在點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2或,使∠BAQ=45°.理由如下:假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q,如圖,當(dāng)四邊形ADBC為正方形,且點(diǎn)Q1,Q2分別在直線(xiàn)AD和直線(xiàn)AC上時(shí),∠BAQ=45°,設(shè)過(guò)線(xiàn)段AB中點(diǎn)P,且與線(xiàn)段AB垂直的直線(xiàn):y=﹣+b,將點(diǎn)P(2,﹣2)代入得:﹣2=﹣1+b,解得b=﹣1,∴直線(xiàn)為y=﹣,設(shè)點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)(n,﹣n﹣1),在Rt△ABD中,∠BAQ=45°,AB=2,sin45°=,解得BD=,∴BD==,解得n1=0,n2=4,∴點(diǎn)C坐標(biāo)(0,﹣1),點(diǎn)D坐標(biāo)(4,﹣3),設(shè)直線(xiàn)AD表達(dá)式為:y=qx+p,將點(diǎn)A(1,﹣4),點(diǎn)D(4,﹣3)代入得,,解得,∴直線(xiàn)AD的表達(dá)式為y=﹣,同理可得直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y=﹣3x﹣1,聯(lián)立直線(xiàn)AD與拋物線(xiàn)y=(x﹣1)2﹣4可得,﹣=(x﹣1)2﹣4,解得x1=1,x2=,同理聯(lián)立直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)可解得x3=1,x4=﹣2,∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2或.8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),已知點(diǎn)A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).(1)求此拋物線(xiàn)的解析式.(2)點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),(不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn),垂足為F,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E,作PD⊥AB于點(diǎn)D.①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),△PDE的周長(zhǎng)最大,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);②連接PA,以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí),求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo).(結(jié)果保留根號(hào))解:(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0),∴,解得,所以,拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3;(2)①∵A(﹣3,0),B(0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°,∵PF⊥x軸,∴∠AEF=90°﹣45°=45°,又∵PD⊥AB,∴△PDE是等腰直角三角形,∴PD越大,△PDE的周長(zhǎng)越大,易得直線(xiàn)AB的解析式為y=x+3,設(shè)與AB平行的直線(xiàn)解析式為y=x+m,聯(lián)立,消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,當(dāng)△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,即m=時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn),PD最長(zhǎng),此時(shí)x=﹣,y=﹣+=,∴點(diǎn)P(﹣,)時(shí),△PDE的周長(zhǎng)最大;②拋物線(xiàn)y=﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=﹣1,(i)如圖1,點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱(chēng)軸于Q,在正方形APMN中,AP=PM,∠APM=90°,∴∠APF+∠FPM=90°,∠QPM+∠FPM=90°,∴∠APF=∠QPM,∵在△APF和△MPQ中,,∴△APF≌△MPQ(AAS),∴PF=PQ,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n(n<0),則PQ=﹣1﹣n,即PF=﹣1﹣n,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,﹣1﹣n),∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=﹣x2﹣2x+3上,∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n,整理得,n2+n﹣4=0,解得n1=(舍去),n2=,﹣1﹣n=﹣1﹣=,所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,);(ii)如圖2,點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí),設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)Q,∵∠PAF+∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,∴∠FPA=∠QAN,又∵∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN,∴△APF≌△NAQ,∴PF=AQ,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(x,﹣x2﹣2x+3),則有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣(﹣3)=2,解得x=﹣1(不合題意,舍去)或x=﹣﹣1,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣﹣1,2).綜上所述,當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí),點(diǎn)P坐標(biāo)為(,),當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣﹣1,2).9.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(1,0),B(3,0),C(0,6)三點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的解析式.(2)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M與對(duì)稱(chēng)軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),直線(xiàn)AN交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D,點(diǎn)E為拋物線(xiàn)在直線(xiàn)AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AE、DE,問(wèn):△ADE的面積是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出面積的最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)P為拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn),Q為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),若以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(至少寫(xiě)兩個(gè)).解:(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(3,0),∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3),把點(diǎn)C(0,6)代入,∴6=a(0﹣1)(0﹣3),∴a=2,∴y=2(x﹣1)(x﹣3)=2x2﹣8x+6,∴拋物線(xiàn)解析式為y=2x2﹣8x+6;(2)∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,﹣2),∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M與對(duì)稱(chēng)軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),∴點(diǎn)N(2,2),設(shè)直線(xiàn)AN的解析式為:y=kx+b,由題意可得:,解得:,∴直線(xiàn)AN解析式為:y=2x﹣2,聯(lián)立y=2x2﹣8x+6得:,解得:,,∴點(diǎn)D(4,6),設(shè)△ADE的面積為S,點(diǎn)E(e,2e2﹣8e+6),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交直線(xiàn)AD于點(diǎn)F,則點(diǎn)F坐標(biāo)為(e,2e﹣2),∴EF=(2e﹣2)﹣(2e2﹣8e+6)=﹣2e2+10e﹣8,∴S=?EF?|Dx﹣Ax|=×3×(﹣2e2+10e﹣8)=﹣3(e2﹣5e﹣4)=,所以,當(dāng)時(shí),△ADE的面積,此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為;(3)由(2)知,A(1,0),D(4,6),設(shè)Q(2,m),P(x,2x2﹣8x+6),①以AD為對(duì)角線(xiàn)時(shí),∵以A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,∴,解得:,∴P(3,0);②以AP為對(duì)角線(xiàn)時(shí),∵以A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,∴,解得:,∴P(5,16);③以AQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí),∵以A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,∴,解得:,∴P(﹣1,16);綜上所述,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,16)或(﹣1,16)或(3,0)時(shí),以A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.10.如圖,一次函數(shù)y=x﹣圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn).(1)求二次函數(shù)解析式;(2)點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q,使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)在y=x﹣中,令x=0得y=﹣,令y=0得x=3,∴A(3,0),B(0,﹣),∵二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn),∴,解得,∴二次函數(shù)解析式為y=x2﹣x﹣;(2)存在,理由如下:由二次函數(shù)y=x2﹣x﹣可得其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x==1,設(shè)P(1,m),Q(n,n2﹣n﹣),而B(niǎo)(0,﹣),∵C與B關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),∴C(2,﹣),①當(dāng)BC、PQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí),如圖:此時(shí)BC的中點(diǎn)即是PQ的中點(diǎn),即,解得,∴當(dāng)P(1,﹣),Q(1,﹣)時(shí),四邊形BQCP是平行四邊形,由P(1,﹣),B(0,﹣),C(2,﹣)可得PB2==PC2,∴PB=PC,∴四邊形BQCP是菱形,∴此時(shí)Q(1,﹣);②BP、CQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí),如圖:同理BP、CQ中點(diǎn)重合,可得,解得,∴當(dāng)P(1,0),Q(﹣1,0)時(shí),四邊形BCPQ是平行四邊形,由P(1,0),B(0,﹣),C(2,﹣)可得BC2=4=PC2,∴四邊形BCPQ是菱形,∴此時(shí)Q(﹣1,0);③以BQ、CP為對(duì)角線(xiàn),如圖:BQ、CP中點(diǎn)重合,可得,解得,∴P(1,0),Q(3,0)時(shí),四邊形BCQP是平行四邊形,由P(1,0),B(0,﹣),C(2,﹣)可得BC2=4=PC2,∴四邊形BCQP是菱形,∴此時(shí)Q(3,0);綜上所述,Q的坐標(biāo)為:(1,﹣)或(﹣1,0)或(3,0).11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=﹣x2+x+4與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D.(1)點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且S△CDP=S△ABC,求m的值;(3)K是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H,使B、C、K、H為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.解:(1)當(dāng)y=0時(shí),由y=﹣x2+x+4=0,得x1=﹣2,x2=8,∴A(﹣2,0),B(8,0);∵點(diǎn)D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),∴D(3,0).(2)如圖1,作PG⊥x軸,交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,作PE⊥CD于點(diǎn)E,∵拋物線(xiàn)y=﹣x2+x+4=0與y軸交于點(diǎn)C,∴C(0,4),∴CD==5;∵∠PEG=∠DOC=90°,∠G=∠OCD,∴=sin∠DCO=;設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+4,

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