2025《初中數(shù)學》專題突破專題60 二次函數(shù)背景下的特殊平行四邊形存在性問題（含答案及解析）

模型介紹模型介紹要求證平行四邊形的存在，得先了解平行四邊形的性質：（1）對應邊平行且相等.（2）對角線互相平分．這是圖形的性質，我們現(xiàn)在需要的是將其性質運用在在坐標系中：（1）對邊平行且相等可轉化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結】雖然由兩個性質推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當AC和BD為對角線時，結果可簡記為：（各個點對應的橫縱坐標相加）以上是對于平行四邊形性質的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問：若坐標系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．【題型分類】三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標系內確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設D點坐標為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點的橫縱坐標相加減）2.兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標．【分析】設C點坐標為（m，0），D點坐標為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點”．從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質都是在用兩個字母表示出4個點坐標．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質可知未知量，由未知量可知動點設計，由動點設計可化解問題．例題精講例題精講考點一：二次函數(shù)背景下的平行四邊形存在性問題【例1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與x軸交于A（2，0），B（﹣6，0）兩點．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上一點，點Q是拋物線對稱軸上一點，是否存在點P，使得以B、Q、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．變式訓練【變1-1】．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是經(jīng)過（1，0）且與y軸平行的直線，點P是拋物線上的一點，點Q是y軸上一點；（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；（3）若tan∠PCB＝，求點P的坐標．考點二：二次函數(shù)背景下的菱形存在性問題【例2】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當以P，B，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及△PBC的周長；（3）若點Q是平面直角坐標系內的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．變式訓練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x軸于A，B（1，0）兩點，交y軸于點C，一次函數(shù)y＝x+3的圖象交坐標軸于A，D兩點，E為直線AD上一點，作EF⊥x軸，交拋物線于點F（1）求拋物線的解析式；（2）若點F位于直線AD的下方，請問線段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點E的坐標；若沒有，請說明理由；（3）在平面直角坐標系內存在點G，使得G，E，D，C為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點G的坐標．考點三：二次函數(shù)背景下的矩形存在性問題【例3】．綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，OA＝1，對稱軸為直線x＝2，點D為此拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C、D兩點之間的距離是；（3）點E是第一象限內拋物線上的動點，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點P在拋物線對稱軸上，平面內存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．變式訓練【變3-1】．如圖1，若二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+4的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接AC、BC．（1）求三角形ABC的面積；（2）若點P是拋物線在一象限內BC上方一動點，連接PB、PC，是否存在點P，使四邊形ABPC的面積為18，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）如圖2，若點Q是拋物線上一動點，在平面內是否存在點K，使以點B、C、Q、K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．考點四：二次函數(shù)背景下的正方形存在性問題【例4】．已知O為坐標原點，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），有點C（﹣2，6）．（1）求A，B兩點的坐標．（2）若點D（1，﹣3），點E在線段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延長ED交y軸于點F，求△EFO的面積．（3）若M在直線AC上，點Q在拋物線上，是否存在點M和點N，使以Q，M，N，A為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出M點的坐標．若不存在，請說明理由．變式訓練【變4-1】．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達式；（2）點Q在該拋物線的對稱軸上，若△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，求點Q的坐標；（3）若P為BD的中點，過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標．1．綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，且OA＝2OC＝8OB，點P是第三象限內拋物線上的一動點，連接AC，過點P作PE∥y軸，與AC交于點E．（1）求此拋物線的解析式；（2）當PC∥AB時，求點P的坐標；（3）用含x的代數(shù)式表示PE的長，并求出當PE的長取最大值時對應的點P的坐標；（4）在（3）的條件下，平面內是否存在點Q，使以A、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．2．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點C．點P（m，0）是x軸上的一動點，PM⊥x軸，交直線AC于點M，交拋物線于點N．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）①若點P僅在線段AO上運動，如圖，求線段MN的最大值；②若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q，使以M，N，C，Q為頂點的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點A，B（3，0），與y軸交于點C，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作DM⊥x軸，垂足為點M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由；（3）已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點F，使以點B、C、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，頂點為D，其中A（﹣4，0），B（4，0），設點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉180°，得到新的拋物線C'．（1）求拋物線C的函數(shù)解析式；（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，求m的取值范圍；（3）如圖2，P是第一象限內拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C'上的對應點P'，設M是C上的動點，N是C'上的動點，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關于直線l對稱，點F為直線AD下方拋物線上一動點，連接FA，F(xiàn)D，求△FAD面積的最大值；（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射線AD平移4個單位，得到新的拋物線y1，點E為點F的對應點，點P為y1的對稱軸上任意一點，在y1上確定一點Q，使得以點D，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．6．如圖，直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于A、C兩點，拋物線y＝﹣x2+mx+4經(jīng)過點A，且與x軸的另一個交點為點B．連接BC，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點E是拋物線上的點，求滿足∠ECD＝∠BCO的點E的坐標；（3）點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線AC上，點P為第一象限內的拋物線上一點，若以點C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長．7．如圖，已知直線y＝2x+n與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點，拋物線的頂點是A（1，﹣4），點B在x軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是y軸上一點，點N是坐標平面內一點，當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，求點M的坐標．（3）在拋物線上是否存在點Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請直接寫出點Q的橫坐標；若不存在，說明理由．8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此拋物線的解析式．（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．①動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；②連接PA，以AP為邊作圖示一側的正方形APMN，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標．（結果保留根號）9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D，點E為拋物線在直線AD下方的一個動點，連接AE、DE，問：△ADE的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值和點E的坐標．若不存在，請說明理由．（3）P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上一動點，若以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點P的坐標（至少寫兩個）．10．如圖，一次函數(shù)y＝x﹣圖象與坐標軸交于點A、B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過A、B兩點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點C，點P是對稱軸上一動點，在拋物線上是否存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）點B與點D的坐標；（2）點P是第一象限內拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，設點P點的橫坐標為m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；（3）K是拋物線上一個動點，在平面直角坐標系中是否存在點H，使B、C、K、H為頂點的四邊形成為矩形？若存在，直接寫出點H的坐標；若不存在，說明理由．12．如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點M，交x軸于點N（2，0）．點D是拋物線上A，M之間的一動點，且點D不與A，M重合，連接DB交MN于點E．連接AD并延長交MN于點F．在點D運動過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），且A（﹣2，0），直線BC的解析式為y＝﹣+3．（1）求拋物線的解析式；（2）過點A作AD∥BC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE、EB、BD、DC，求四邊形BECD面積的最大值及相應點E的坐標；（3）將拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移2個單位，已知點M為拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點．在（2）中，當四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A，E，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．14．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA＝∠BDE時，求點F的坐標；（3）若點P是x軸上方拋物線上的動點，以PB為邊作正方形PBFG，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨著改變，當頂點F或G恰好落在y軸上時，請直接寫出點P的橫坐標．15．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），經(jīng)過點A的直線l：y＝kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．（1）直接寫出點A的坐標，并用含a的式子表示直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）點E為直線l下方拋物線上一點，當△ADE的面積的最大值為時，求拋物線的函數(shù)表達式；（3）設點P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．16．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A、C，與y軸交于點B，直線y＝x+3經(jīng)過A、B兩點．（1）求b、c的值．（2）若點P是直線AB上方拋物線上的一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線AB于點D，求線段PD的最大值．（3）在（2）的結論下，連接CD，點Q是拋物線對稱軸上的一動點，在拋物線上是否存在點G，使得以C、D、G、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．17．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點A在y軸上，BC邊與x軸重合，過C點作AB的垂線分別交AB和y軸于點D、H，AB＝HC，線段OB、OC（OB＜OC）的長是方程x2﹣6x+8＝0的根．（1）求直線CD的解析式；（2）點P是線段BC上的一動點，點Q是線段OA上的一動點且2BP＝3OQ，設BP＝t，△OPQ的面積為S，請求出S與t的函數(shù)關系；（3）在（2）的條件下，在平面上是否存在一點M，使得以P，Q，O，M為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．18．如圖，拋物線y＝x2﹣4x+3與坐標軸交于A、B、C三點，過點B的直線與拋物線交于另一點E，若經(jīng)過A、B、E三點的⊙M滿足∠EAM＝45°．（1）求直線BE的解析式；（2）若D點是直線BE下方的拋物線上一動點，連接BD和ED，求△BED面積的最大值；（3）點P在拋物線的對稱軸上，平面內是否存在一點Q，使得以點A，C，P，Q為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出Q點坐標．19．如圖，直線y＝x+2與x軸，y軸分別交于點A，C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為B，點D是拋物線上一動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點D在直線AC上方時，連接BC，CD，BD，BD交AC于點E，令△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；（3）點F是該拋物線對稱軸上一動點，是否存在以點B，C，D，F(xiàn)為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．20．如圖1，平面直角坐標系中，O是坐標原點，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣3），點B坐標是（3，0），點P是拋物線的頂點．（1）請直接寫出二次函數(shù)的表達式及頂點P的坐標；（2）如圖2，設二次函數(shù)圖象的對稱軸PH與x軸交于點H，①連接AC，BC，CP，點D為對稱軸PH上的一點，且△CDP與△ABC相似，求點D的坐標；②點M為對稱軸PH上一點且在x軸下方，在x軸負半軸上有一點E，在y軸負半軸上有一點F，且滿足OF＝4EO＝4MH，已知點N在拋物線上，以E，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點E的坐標．21．在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖，直線y＝與拋物線交于A，D兩點，與直線BC交于點E．若M（m，0）是線段AB上的動點，過點M作x軸的垂線，交拋物線于點F，交直線AD于點G，交直線BC于點H．①當點F在直線AD上方的拋物線上，且S△EFG＝S△OEG時，求m的值；②在平面內是否存在點P，使四邊形EFHP為正方形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．22．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點A（2，﹣3），與x軸負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC＝3OB．（1）求拋物線的解析式，并寫出x為何值時y＝0．（2）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．【提示】①以AB為邊時，求點M的坐標．②以AB為對角線時，求點M的坐標．23．如圖1（注：與圖2完全相同）所示，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過B、D兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．（1）求拋物線的解析式．（2）設拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積．（請在圖1中探索）（3）設點Q在y軸上，點P在拋物線上．要使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．（請在圖2中探索）24．如圖所示，拋物線與x軸相交于A，B兩點（B在A的右邊），與y軸相交于點C（0，﹣3），點M（1，﹣4）為拋物線的頂點．（1）求此拋物線的解析式．（2）若點N是第四象限內拋物線上的一個動點，連接BN，CN，當△BNC是以BN，NC為腰的等腰三角形時，求點N的坐標．（3）若點D是拋物線對稱軸上的動點，點G是拋物線上的動點，是否存在以點B，C，D，G為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點G的坐標；若不存在，試說明理由．（4）直線CM交x軸于點E，若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P，E，O為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．25．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標為A（﹣2，0），點C的坐標為C（0，6），對稱軸為直線x＝1．點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為m（1＜m＜4），連接AC，BC，DC，DB．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求m的值；（3）在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．26．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣6與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，OA＝2，OB＝4，直線l是拋物線的對稱軸，在直線l右側的拋物線上有一動點D，連接AD，BD，BC，CD．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點D在x軸的下方，當△BCD的面積是時，求△ABD的面積；（3）在（2）的條件下，點M是x軸上一點，點N是拋物線上一動點，是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點，以BD為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．27．綜合與探究在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0），點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點C（2，6），如圖①．（1）求拋物線的解析式；（2）直線AB的函數(shù)解析式為，點M的坐標為，cos∠ABO＝；連接OC，若過點O的直線交線段AC于點P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點P的坐標為；（3）在y軸上找一點Q，使得△AMQ的周長最小．具體作法如圖②，作點A關于y軸的對稱點A'，連接MA'交y軸于點Q，連接AM、AQ，此時△AMQ的周長最?。埱蟪鳇cQ的坐標；（4）在坐標平面內是否存在點N，使以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

模型介紹模型介紹要求證平行四邊形的存在，得先了解平行四邊形的性質：（1）對應邊平行且相等.（2）對角線互相平分．這是圖形的性質，我們現(xiàn)在需要的是將其性質運用在在坐標系中：（1）對邊平行且相等可轉化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結】雖然由兩個性質推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當AC和BD為對角線時，結果可簡記為：（各個點對應的橫縱坐標相加）以上是對于平行四邊形性質的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問：若坐標系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．【題型分類】三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標系內確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設D點坐標為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點的橫縱坐標相加減）2.兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標．【分析】設C點坐標為（m，0），D點坐標為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點”．從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質都是在用兩個字母表示出4個點坐標．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質可知未知量，由未知量可知動點設計，由動點設計可化解問題．例題精講例題精講考點一：二次函數(shù)背景下的平行四邊形存在性問題【例1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與x軸交于A（2，0），B（﹣6，0）兩點．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上一點，點Q是拋物線對稱軸上一點，是否存在點P，使得以B、Q、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）將點A（2，0），B（﹣6，0）代入拋物線y＝ax2+bx+6得：，解得，∴拋物線的表達式為y＝﹣x2﹣2x+6；（2）存在點P，使得以B、Q、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：∵y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+2）2+8，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣2，在y＝﹣x2﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，∴C（0，6），設P（m，﹣m2﹣2m+6），Q（﹣2，t），又B（﹣6，0），①以CP，QB為對角線，則CP，QB的中點重合，∴，解得，∴P（﹣8，﹣10）；②以CQ，PB為對角線，則CQ，PB中點重合，∴，解得，∴P（4，﹣10）；③以CB，PQ為對角線，則CB，PQ中點重合，∴，解得，∴P（（﹣4，6）；綜上所述，點P的坐標為（﹣4，6）或（﹣8，﹣10）或（4，﹣10）．變式訓練【變1-1】．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是經(jīng)過（1，0）且與y軸平行的直線，點P是拋物線上的一點，點Q是y軸上一點；（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；（3）若tan∠PCB＝，求點P的坐標．解：（1）當y＝0時，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3＝0，解得x1＝，x2＝3，即A（，0）B（3，0），由A，B關于x＝1對稱，得＝﹣1，解得m＝2，即A（﹣1，0），函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）由四邊形ABPQ是平行四邊形，得PQ∥AB，PQ＝AB＝4，當PQ＝4，即x＝4時，y＝5，即P（4，5）；當x＝﹣4時，y＝21，即P（﹣4，21），AB為對角線，A（﹣1，0），B（3，0），設P（a，a2﹣2a﹣3），Q（0，n），則，解得，P（2，﹣3）．綜上所述：四邊形ABPQ是平行四邊形P（4，5），（﹣4，21），（2，﹣3）；（3）如圖，過P作PQ⊥x軸于Q，交CB延長線于R，過P作PH⊥BC于H，設P（m，m2﹣2m﹣3），∵拋物線y＝x2﹣4x+3與坐標軸交于A，B，C三點，∴x＝0，則y＝﹣3；y＝0，則0＝x2﹣4x+3，解得：x1＝﹣1，x2＝3，故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），設直線BC的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，故直線BC解析式：y＝x﹣3，∴R（m，m﹣3），PR＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m，∵OB＝OC＝3，∴∠CBQ＝135°，∴∠HPR＝45°，∵CO＝OB，∴∠OCR＝45°，∴CR＝OQ＝m，∴PH＝RH＝PR÷＝m（m﹣3），又∵CR＝OQ＝m，∴CH＝m+m（m﹣3）＝m（m﹣1）由tan∠PCB＝＝＝，解得：m＝5，則m2﹣2m﹣3＝12，故P（5，12）．當點P在直線BC的下方時，同法可得：＝，解得m＝或0（舍棄），∴P（，﹣），綜上所述，滿足條件點P坐標為（5，12）或（，﹣）．考點二：二次函數(shù)背景下的菱形存在性問題【例2】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當以P，B，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及△PBC的周長；（3）若點Q是平面直角坐標系內的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，BC是定值，∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小．如圖1，點A、B關于對稱軸l對稱，連接AC交l于點P，則點P為所求的點．∵AP＝BP，∴△PBC周長的最小值是AC+BC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝3，BC＝．∴△PBC周長的最小值是：3+．拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，設直線AC的解析式為y＝kx+c，將A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）存在．設P（1，t），Q（m，n）∵A（3，0），C（0，3），則AC2＝32+32＝18，AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，∵四邊形ACPQ是菱形，∴分三種情況：以AP為對角線或以AC為對角線或以CP為對角線，①當以AP為對角線時，則CP＝CA，如圖2，∴t2﹣6t+10＝18，解得：t＝3±，∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），∵四邊形ACPQ是菱形，∴AP與CQ互相垂直平分，即AP與CQ的中點重合，當P1（1，3﹣）時，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝﹣，∴Q1（4，﹣），當P2（1，3+）時，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝，∴Q2（4，），②以AC為對角線時，則PC＝AP，如圖3，∴t2﹣6t+10＝t2+4，解得：t＝1，∴P3（1，1），∵四邊形APCQ是菱形，∴AC與PQ互相垂直平分，即AC與CQ中點重合，∴＝，＝，解得：m＝2，n＝2，∴Q3（2，2），③當以CP為對角線時，則AP＝AC，如圖4，∴t2+4＝18，解得：t＝±，∴P4（1，），P5（1，﹣），∵四邊形ACQP是菱形，∴AQ與CP互相垂直平分，即AQ與CP的中點重合，∴＝，＝，解得：m＝﹣2，n＝3，∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），綜上所述，符合條件的點Q的坐標為：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．變式訓練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x軸于A，B（1，0）兩點，交y軸于點C，一次函數(shù)y＝x+3的圖象交坐標軸于A，D兩點，E為直線AD上一點，作EF⊥x軸，交拋物線于點F（1）求拋物線的解析式；（2）若點F位于直線AD的下方，請問線段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點E的坐標；若沒有，請說明理由；（3）在平面直角坐標系內存在點G，使得G，E，D，C為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點G的坐標．解：（1）將y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴點A的坐標為（﹣3，0）．設拋物線的解析式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0），∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵點C的坐標為（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣1；（2）設點E的坐標為（m，m+3），線段EF的長度為y，則點F的坐標為（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此時點E的坐標為（，）；（3）點G的坐標為（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．理由：①如圖1，當四邊形CGDE為菱形時．∴EG垂直平分CD∴點E的縱坐標y＝＝1，將y＝1代入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG關于y軸對稱，∴點G的坐標為（2，1）；②如圖2，當四邊形CDEG為菱形時，以點D為圓心，DC的長為半徑作圓，交AD于點E，可得DC＝DE，構造菱形CDEG設點E的坐標為（n，n+3），點D的坐標為（0，3）∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．∴點E的坐標為（﹣2，﹣2+3）或（2，2+3）將點E向下平移4個單位長度可得點G，點G的坐標為（﹣2，﹣2﹣1）（如圖2）或（2，2﹣1）（如圖3）③如圖4，“四邊形CDGE為菱形時，以點C為圓心，以CD的長為半徑作圓，交直線AD于點E，設點E的坐標為（k，k+3），點C的坐標為（0，﹣1）．∴EC＝＝．∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0（舍去），k2＝﹣4．∴點E的坐標為（﹣4，﹣1）將點E上移4個單位長度得點G．∴點G的坐標為（﹣4，3）．綜上所述，點G的坐標為（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．考點三：二次函數(shù)背景下的矩形存在性問題【例3】．綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，OA＝1，對稱軸為直線x＝2，點D為此拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C、D兩點之間的距離是2；（3）點E是第一象限內拋物線上的動點，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；（4）點P在拋物線對稱軸上，平面內存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），又∵對稱軸為x＝2，∴B（5，0），將A，B代入解析式得：，解得，∴，自變量x為全體實數(shù)；（2）由（1）得：C（0，），D（2，），∴CD＝，故答案為2；（3）∵B（5，0），C（0，），∴直線BC的解析式為：，設E（x，），且0＜x＜5，作EF∥y軸交BC于點F，則F（x，），∴EF＝﹣（）＝，∴，當x＝時，S△BCE有最大值為；（4）設P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC為矩形的對角線，由中點坐標公式得：，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，）或Q（3，4），若BP為矩形的對角線，由中點坐標公式得，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ為矩形的對角線，由中點坐標公式得，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），綜上，點Q的坐標為（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．變式訓練【變3-1】．如圖1，若二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+4的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接AC、BC．（1）求三角形ABC的面積；（2）若點P是拋物線在一象限內BC上方一動點，連接PB、PC，是否存在點P，使四邊形ABPC的面積為18，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）如圖2，若點Q是拋物線上一動點，在平面內是否存在點K，使以點B、C、Q、K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），令y＝0，則﹣x2+3x+4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，∴S△ABC＝×5×4＝10；（2）存在，理由如下：∵四邊形ABPC的面積為18，S△ABC＝10，∴△BCP的面積為8，設直線BC的解析式為y＝kx+4，將點B（4，0）代入，得k＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，過P點作PM⊥x軸，交BC于點M，設P（t，﹣t2+3t+4），則M（t，﹣t+4），∴S△BCP＝×4×PM＝2（﹣t2+3t+4+t﹣4）＝2（﹣t2+4t）＝8，∴t＝2，∴P（2，6）；（3）存在，理由如下：設Q（m，﹣m2+3m+4），當m＞0時，如圖1，∵矩形是以BC為邊，∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，過點Q作QH⊥y軸交H點，過K作KG⊥x軸交G點，∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCQ＝∠GBK＝45°，∴△CHQ≌△BGK（AAS），∴HC＝HQ＝BG＝GK，∴m＝﹣m2+3m+4﹣4，∴m＝2或m＝0（舍），∴HQ＝2，∴K（6，2）；當m＜0時，如圖2，∵矩形是以BC為邊，∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，設KC與x軸的交點為F，BQ與y軸的交點為H，過點Q作QG⊥y軸交G點，過K作KE⊥x軸交E點，∵∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°，∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°，∵KC＝BQ，CF＝HB，∴FK＝QH，∴△QHG≌△KFE（AAS），∴QG＝HG＝EF＝EK，∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），∴m＝﹣2或m＝4（舍），∴GQ＝2，∴K（﹣6，﹣2）；綜上所述，K點的坐標為（﹣6，﹣2）或（6，2）．考點四：二次函數(shù)背景下的正方形存在性問題【例4】．已知O為坐標原點，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），有點C（﹣2，6）．（1）求A，B兩點的坐標．（2）若點D（1，﹣3），點E在線段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延長ED交y軸于點F，求△EFO的面積．（3）若M在直線AC上，點Q在拋物線上，是否存在點M和點N，使以Q，M，N，A為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出M點的坐標．若不存在，請說明理由．解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∵A（4，0），B（﹣1，0）；（2）過點B作BG⊥AC，過點E作EH⊥OA，設E（m，0），∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），AC＝6，AD＝3，BC＝，由△ABC的面積可得，5×6＝6BG，∴BG＝，由△ADE的面積可得，3|4﹣m|＝3EH，∴EH＝|4﹣m|，∵∠ACB＝∠ADE∴＝，∴＝，∴2m2﹣41m+57＝0，∴m＝或m＝19，∵點E在線段OA上，∴E（，0），則ED的直線解析式為y＝6x﹣9，∴F（0，﹣9），∴△EFO的面積＝×OE×OF＝××9＝；（3）直線AC的解析式為y＝﹣x+4，∴∠CAO＝45°，設M（t，﹣t+4），如圖1：當AC為正方形QAMN邊時，M點與N點關于x軸對稱，∴N（t，t﹣4），∴M、N的中點為（t，0），∴A、Q中點也為（t，0），∴Q（2t﹣4，0），∵點Q在拋物線上，∴2t﹣4＝﹣1，∴t＝，∴M（，）；如圖2：當M、Q關于x軸對稱時，M（0，4），此時Q（0，﹣4）在拋物線上；如圖3：當Q（0，﹣4）時，M（8，﹣4）；如圖4：當Q（﹣1，0）時，M（﹣1，5）；綜上所述：M（，）或M（0，4）或M（8，﹣4）或M（﹣1，5）．變式訓練【變4-1】．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達式；（2）點Q在該拋物線的對稱軸上，若△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，求點Q的坐標；（3）若P為BD的中點，過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標．解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得，，∴經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3．（2）如圖1，連接BC，CD．由題意，C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線頂點D的坐標為（1，4），∵△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，當∠Q′BC＝90′時，∠ABQ′＝45°，∴EB＝EQ′＝2，∴Q′（1，﹣2），當∠QCB＝90°時，此時點Q與點D重合，Q（1，4），綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（1，4）或（1，﹣2）．（3）如圖2中，設點M的坐標為（a，0），則點G的坐標為（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形，∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，當2﹣a＝﹣a2+2a+3時，整理得，a2﹣3a﹣1＝0，解得，a＝，當2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）時，整理得，a2﹣a﹣5＝0，解得，a＝，∴當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，點M的坐標為（，0），（，0），（，0），（，0）．1．綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，且OA＝2OC＝8OB，點P是第三象限內拋物線上的一動點，連接AC，過點P作PE∥y軸，與AC交于點E．（1）求此拋物線的解析式；（2）當PC∥AB時，求點P的坐標；（3）用含x的代數(shù)式表示PE的長，并求出當PE的長取最大值時對應的點P的坐標；（4）在（3）的條件下，平面內是否存在點Q，使以A、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）令x＝0，則y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OA＝2OC＝8OB，∴OA＝8，OB＝1，∴A（﹣8，0），B（1，0），將A、B代入y＝ax2+bx﹣4，得，∴，∴y＝x2+x﹣4；（2）當PC∥AB時，P點的縱坐標為﹣4，∴x2+x﹣4＝﹣4，∴x＝0或x＝﹣7，∵P點在第三象限，∴P（﹣7，﹣4）；（3）設AC的直線解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣4，設P（x，x2+x﹣4），則E（x，﹣x﹣4），∴PE＝﹣x﹣4﹣（x2+x﹣4）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+4）2+8，∴當x＝﹣4時，PE有最大值8，此時P（﹣4，﹣10）；（4）存在點Q，使得以A、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：設Q（m，n），①當AC為對角線時，AC的中點為（﹣4，﹣2），PQ的中點為（，），∴﹣4＝，﹣2＝，∴m＝﹣4，n＝6，∴Q（﹣4，6）；②當AP為對角線時，AP的中點為（﹣6，﹣5），CQ的中點為（，），∴﹣6＝，﹣5＝，∴m＝﹣12，n＝﹣6，∴Q（﹣12，﹣6）；③當AQ為對角線時，AQ的中點為（，），CP的中點為（﹣2，﹣7），∴＝﹣2，＝﹣7，∴m＝4，n＝﹣14，∴Q（4，﹣14）；綜上所述：以A、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，Q點坐標為（﹣4，6）或（﹣12，﹣6）或（4，﹣14）．2．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點C．點P（m，0）是x軸上的一動點，PM⊥x軸，交直線AC于點M，交拋物線于點N．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）①若點P僅在線段AO上運動，如圖，求線段MN的最大值；②若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q，使以M，N，C，Q為頂點的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①設直線AC的表達式為y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵點P（m，0）是x軸上的一動點，且PM⊥x軸．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函數(shù)有最大值．又∵點P在線段OA上運動，且﹣3＜﹣＜0，∴當m＝﹣時，MN有最大值．②如圖2﹣1中，當點M在線段AC上，MN＝MC，四邊形MNQC是菱形時．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍棄）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如圖2﹣2中，當MC是菱形的對角線時，四邊形MNCQ是正方形，此時CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．如圖2﹣3中，當點M在CA延長線上時，MN＝CM，四邊形MNQC是菱形時，則有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍棄），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．當點P在y軸的右側時，顯然MN＞CM，此時滿足條件的菱形不存在．綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．3．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點A，B（3，0），與y軸交于點C，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作DM⊥x軸，垂足為點M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由；（3）已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點F，使以點B、C、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點A，B（3，0），∴A（﹣1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），設直線BC的解析式為y＝kx+3，將點B（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；設點D坐標為（t，﹣t2+2t+3），則點N（t，﹣t+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝12+32＝10，AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，①當AC＝AN時，AC2＝AN2，∴10＝2t2﹣4t+10，解得t1＝2，t2＝0（不合題意，舍去），∴點N的坐標為（2，1）；②當AC＝CN時，AC2＝CN2，∴10＝2t2，解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），∴點N的坐標為（，3﹣）；③當AN＝CN時，AN2＝CN2，∴2t2﹣4t+10＝2t2，解得t＝，∴點N的坐標為（，）；綜上，存在，點N的坐標為（2，1）或（，3﹣）或（，）；（3）設E（1，a），F(xiàn)（m，n），∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，①以BC為對角線時，BC2＝CE2+BE2，∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，解得：a＝，或a＝，∴E（1，）或（1，），∵B（3，0），C（0，3），∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，∴m＝2，n＝或n＝，∴點F的坐標為（2，）或（2，）；②以BC為邊時，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，解得：a＝4或a＝﹣2，∴E（1，4）或（1，﹣2），∵B（3，0），C（0，3），∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，∴點F的坐標為（4，1）或（﹣2，1），綜上所述：存在，點F的坐標為（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．4．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，頂點為D，其中A（﹣4，0），B（4，0），設點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉180°，得到新的拋物線C'．（1）求拋物線C的函數(shù)解析式；（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，求m的取值范圍；（3）如圖2，P是第一象限內拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C'上的對應點P'，設M是C上的動點，N是C'上的動點，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．解：（1）由題意把點A（﹣4，0），B（4，0），代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴拋物線C的函數(shù)解析式為：y＝﹣x2+8；（2）如圖1，由題意拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣8），設拋物線C′的解析式為：y＝（x﹣2m）2﹣8，由，消去y得到：，∵拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，∴，解得：，∴滿足條件的m的取值范圍為：4＜m＜4；（3）結論：四邊形PMP'N能成為正方形．理由：情形1，如圖2，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（4，4），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP'N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∵∠PEF＝∠FHM＝90°，∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠MFH＝90°，在△PFE和△FMH中，∴，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝4，EF＝HM＝4﹣m，∴M（m+4，m﹣4），∵點M在y＝﹣x2+8上，∴m﹣4＝﹣（m+4）2+8，解得或（舍），∴m＝﹣6+2時，四邊形PMP'N是正方形．情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣4，4﹣m），把M（m﹣4，4﹣m）代入y＝﹣x2+8中，4﹣m＝﹣（m﹣4）2+8，解得m＝12或m＝0（舍去），∴m＝12時，四邊形PMP′N是正方形．綜上，四邊形PMP′N能成為正方形，m＝﹣6+2或12．5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關于直線l對稱，點F為直線AD下方拋物線上一動點，連接FA，F(xiàn)D，求△FAD面積的最大值；（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射線AD平移4個單位，得到新的拋物線y1，點E為點F的對應點，點P為y1的對稱軸上任意一點，在y1上確定一點Q，使得以點D，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．解：（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，∴，∴y＝x2﹣3x﹣4，（2）當x＝0時，y＝﹣4，∴點C（0，﹣4），∵點D與點C關于直線l對稱，且對稱軸為直線x＝，∴D（3，﹣4），∵A（﹣1，0），∴直線AD的函數(shù)關系式為：y＝﹣x﹣1，設F（m，m2﹣3m﹣4），作FH∥y軸交直線AD于H，∴H（m，﹣m﹣1），∴FH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，∴S△AFD＝S△AFH+S△DFH＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，當m＝﹣＝1時，S△AFD最大為8，（3）∵直線AD與x軸正方向夾角為45°，∴沿AD方向平移，實際可看成向右平移4個單位，再向下平移4個單位，∵F（1，﹣6），∴E（5，﹣10），拋物線y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，∴拋物線y1的對稱軸為：直線x＝，當DE為平行四邊形的邊時：若D平移到對稱軸上F點，則Q的橫坐標為，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴Q（，﹣），若E平移到對稱軸上F點，則Q的橫坐標為，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，∴Q（，﹣），若DE為平行四邊形的對角線時，若E平移到對稱軸上F點，則Q平移到D點，∴Q的橫坐標為，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴Q（，﹣），∴Q（）或Q（）或Q（）．6．如圖，直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于A、C兩點，拋物線y＝﹣x2+mx+4經(jīng)過點A，且與x軸的另一個交點為點B．連接BC，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點E是拋物線上的點，求滿足∠ECD＝∠BCO的點E的坐標；（3）點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線AC上，點P為第一象限內的拋物線上一點，若以點C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長．解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝4，則點A、C的坐標分別為（4，0）、（0，4），將點A的坐標代入拋物線的表達式并解得：m＝3，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x+4…①，令y＝0，則x＝﹣1或4，故點B（﹣1，0）；（2）①當點E在CD上方時，tan∠BCO＝＝，則直線CE的表達式為：y＝x+4…②，聯(lián)立①②并解得：x＝0或（舍去0），則點E（，）；②當點E在CD下方時，同理可得：點E′（，）；故點E的坐標為E（，）或（，）；（3）①如圖2，當CM為菱形的一條邊時，過點P作PQ∥x軸，∵OA＝OC＝4，∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，設點P（x，﹣x2+3x+4），則PM＝PQ＝x，C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形，則PM＝PN，即：x＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4），解得：x＝0或4﹣（舍去0），故菱形邊長為x＝4﹣2；②如圖3，當CM為菱形的對角線時，同理可得：菱形邊長為2；故：菱形邊長為4﹣2或2．7．如圖，已知直線y＝2x+n與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點，拋物線的頂點是A（1，﹣4），點B在x軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是y軸上一點，點N是坐標平面內一點，當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，求點M的坐標．（3）在拋物線上是否存在點Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請直接寫出點Q的橫坐標；若不存在，說明理由．解：（1）將點A（1，﹣4）代入直線y＝2x+n得，2+n＝﹣4，∴n＝﹣6，∴直線y＝2x﹣6，當y＝0時，代入直線得：0＝2x﹣6，解得：x＝3，∴點B坐標（3，0），設拋物線表達式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點B代入拋物線得，0＝4a﹣4，解得：a＝1，∴拋物線表達式y(tǒng)＝（x﹣1）2﹣4；（2）當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，有兩種情況：①如圖，當AB為邊時，設點M（0，m），已知點A（1，﹣4），點B（3，0）∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，解得m＝﹣，即點M的坐標（0，﹣），延長BN交y軸于點M′，作AG⊥y軸于G，BH⊥GA交GA的延長線于點H．由△BOM′∽△BHA，可得＝，∴＝，∴OM′＝，∴M′（0，），②如圖，當AB為對角線時，取線段AB的中點P，作輔助圓⊙P，與y軸交于點M1，M2，作PG⊥y軸于點G，點P坐標（，），即（2，﹣2），由①可得線段AB＝＝2，∴⊙P半徑，在Rt△PM1G中，PM1＝，PG＝2，M1G＝＝1，根據(jù)垂徑定理可得，M2G＝1，∴點M1坐標（0，﹣1），點M2坐標（0，﹣3）；綜上所述，當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，點M坐標為：（0，﹣）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）；（3）存在點Q的橫坐標為﹣2或，使∠BAQ＝45°．理由如下：假設存在滿足條件的點Q，如圖，當四邊形ADBC為正方形，且點Q1，Q2分別在直線AD和直線AC上時，∠BAQ＝45°，設過線段AB中點P，且與線段AB垂直的直線：y＝﹣+b，將點P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，解得b＝﹣1，∴直線為y＝﹣，設點C點坐標（n，﹣n﹣1），在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，sin45°＝，解得BD＝，∴BD＝＝，解得n1＝0，n2＝4，∴點C坐標（0，﹣1），點D坐標（4，﹣3），設直線AD表達式為：y＝qx+p，將點A（1，﹣4），點D（4，﹣3）代入得，，解得，∴直線AD的表達式為y＝﹣，同理可得直線AC的表達式為y＝﹣3x﹣1，聯(lián)立直線AD與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4可得，﹣＝（x﹣1）2﹣4，解得x1＝1，x2＝，同理聯(lián)立直線AC與拋物線可解得x3＝1，x4＝﹣2，∴點Q的橫坐標為﹣2或．8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此拋物線的解析式．（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．①動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；②連接PA，以AP為邊作圖示一側的正方形APMN，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標．（結果保留根號）解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，所以，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°，∵PF⊥x軸，∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周長越大，易得直線AB的解析式為y＝x+3，設與AB平行的直線解析式為y＝x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2+3x+m﹣3＝0，當△＝32﹣4×1×（m﹣3）＝0，即m＝時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，此時x＝﹣，y＝﹣+＝，∴點P（﹣，）時，△PDE的周長最大；②拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，（i）如圖1，點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，∴∠APF＝∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF＝PQ，設點P的橫坐標為n（n＜0），則PQ＝﹣1﹣n，即PF＝﹣1﹣n，∴點P的坐標為（n，﹣1﹣n），∵點P在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3＝﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4＝0，解得n1＝（舍去），n2＝，﹣1﹣n＝﹣1﹣＝，所以，點P的坐標為（，）；（ii）如圖2，點N在對稱軸上時，設拋物線對稱軸與x軸交于點Q，∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，∴∠FPA＝∠QAN，又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF＝AQ，設點P坐標為P（x，﹣x2﹣2x+3），則有﹣x2﹣2x+3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，解得x＝﹣1（不合題意，舍去）或x＝﹣﹣1，此時點P坐標為（﹣﹣1，2）．綜上所述，當頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時，點P坐標為（，），當頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時，點P的坐標為（﹣﹣1，2）．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D，點E為拋物線在直線AD下方的一個動點，連接AE、DE，問：△ADE的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值和點E的坐標．若不存在，請說明理由．（3）P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上一動點，若以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點P的坐標（至少寫兩個）．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），把點C（0，6）代入，∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6，∴拋物線解析式為y＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴頂點M的坐標為（2，﹣2），∵拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，∴點N（2，2），設直線AN的解析式為：y＝kx+b，由題意可得：，解得：，∴直線AN解析式為：y＝2x﹣2，聯(lián)立y＝2x2﹣8x+6得：，解得：，，∴點D（4，6），設△ADE的面積為S，點E（e，2e2﹣8e+6），過點E作EF⊥x軸交直線AD于點F，則點F坐標為（e，2e﹣2），∴EF＝（2e﹣2）﹣（2e2﹣8e+6）＝﹣2e2+10e﹣8，∴S＝?EF?|Dx﹣Ax|＝×3×（﹣2e2+10e﹣8）＝﹣3（e2﹣5e﹣4）＝，所以，當時，△ADE的面積，此時點E坐標為；（3）由（2）知，A（1，0），D（4，6），設Q（2，m），P（x，2x2﹣8x+6），①以AD為對角線時，∵以A，D，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴，解得：，∴P（3，0）；②以AP為對角線時，∵以A，D，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴，解得：，∴P（5，16）；③以AQ為對角線時，∵以A，D，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴，解得：，∴P（﹣1，16）；綜上所述，當點P的坐標為（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）時，以A，D，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形．10．如圖，一次函數(shù)y＝x﹣圖象與坐標軸交于點A、B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過A、B兩點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點C，點P是對稱軸上一動點，在拋物線上是否存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣），∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過A、B兩點，∴，解得，∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣x﹣；（2）存在，理由如下：由二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣可得其對稱軸為直線x＝＝1，設P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），∵C與B關于直線x＝1對稱，∴C（2，﹣），①當BC、PQ為對角線時，如圖：此時BC的中點即是PQ的中點，即，解得，∴當P（1，﹣），Q（1，﹣）時，四邊形BQCP是平行四邊形，由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，∴PB＝PC，∴四邊形BQCP是菱形，∴此時Q（1，﹣）；②BP、CQ為對角線時，如圖：同理BP、CQ中點重合，可得，解得，∴當P（1，0），Q（﹣1，0）時，四邊形BCPQ是平行四邊形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四邊形BCPQ是菱形，∴此時Q（﹣1，0）；③以BQ、CP為對角線，如圖：BQ、CP中點重合，可得，解得，∴P（1，0），Q（3，0）時，四邊形BCQP是平行四邊形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四邊形BCQP是菱形，∴此時Q（3，0）；綜上所述，Q的坐標為：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）點B與點D的坐標；（2）點P是第一象限內拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，設點P點的橫坐標為m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；（3）K是拋物線上一個動點，在平面直角坐標系中是否存在點H，使B、C、K、H為頂點的四邊形成為矩形？若存在，直接寫出點H的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）當y＝0時，由y＝﹣x2+x+4＝0，得x1＝﹣2，x2＝8，∴A（﹣2，0），B（8，0）；∵點D為線段AB的中點，∴D（3，0）.（2）如圖1，作PG⊥x軸，交CD的延長線于點G，作PE⊥CD于點E，∵拋物線y＝﹣x2+x+4＝0與y軸交于點C，∴C（0，4），∴CD＝＝5；∵∠PEG＝∠DOC＝90°，∠G＝∠OCD，∴＝sin∠DCO＝；設直線CD的解析式為y＝kx+4，