內(nèi)蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期全盟中小學(xué)部分年級期末學(xué)業(yè)質(zhì)量抽測高一數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、班級、學(xué)校在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.（）A. B. C. D.3.設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則下列關(guān)系中正確的是A. B.C. D.4.平面向量，，若，則（）A B. C.1 D.25.已知長方體，，，則直線與所成角的余弦值為（）A B. C. D.6.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.7.如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形是弧（包括端點(diǎn)）上一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.小明去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠(yuǎn)處最合適呢？（單位：米）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知兩條直線，與兩個平面，，下列命題不正確的是（）A若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則10.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象11.如圖，正方體的棱長為，是側(cè)面上的一個動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.平面被正方體截得截面為等腰梯形B.若，直線C.若在上，的最小值為D.若，點(diǎn)的軌跡長度為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_______.13.已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____________________.14.已知直三棱柱中，底面邊長分別為、、3，高，則該三棱柱的外接球的表面積為_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求向量與的夾角的余弦值.16.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，求的長.17.如圖，在四棱錐中，，，，，平面.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求四棱錐的表面積.18.已知函數(shù)的最大值為；（1）求常數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞增；求最大值．19.在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）設(shè)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時，求三棱錐的體積．2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期全盟中小學(xué)部分年級期末學(xué)業(yè)質(zhì)量抽測高一數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、班級、學(xué)校在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（2，1）位于第四象限.故選：D.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡求值可得結(jié)果.【詳解】.故選：B.3.設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則下列關(guān)系中正確的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.4.平面向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得，即可求出.【詳解】向量，，若，則，所以.故選：A5.已知長方體，，，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由異面直線所成角的定義，直線與所成角為，然后計算即可.【詳解】連接，長方體中直線平面，平面，所以，由，所以直線與所成角為，由，，所以，所以中，

.故選：D6.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.7.如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形是弧（包括端點(diǎn)）上一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；法二：連接，設(shè)，則，，即可求解.【詳解】方法一：如圖1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則）．設(shè)，則．因為，所以．由題意知，圓O的半徑．因為點(diǎn)P在弧（包括端點(diǎn)）上，所以，所以的取值范圍是．方法二：如圖2，連接．易知，設(shè)，則．由已知可得，所以，所以．因為，所以，所以，所以，即的取值范圍是.故選：C．8.小明去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠(yuǎn)處最合適呢？（單位：米）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，作出符合題意得示意圖，過點(diǎn)作，得到，得出當(dāng)?shù)耐饨訄A與切于點(diǎn)時，觀賞者觀賞的角度最大，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)觀賞者眼睛出為點(diǎn)，畫的上沿為點(diǎn)，下沿為點(diǎn)，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，則，當(dāng)?shù)耐饨訄A（即為圓）與切于點(diǎn)時，觀賞者觀賞的角度最大，即最大，線段的長度為警戒線距墻的長度，由題設(shè)知：，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示，則，且，所以，所以與切于點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形為矩形，可得，且，所以，在直角中，由勾股定理得，所以，即警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻米遠(yuǎn)處最合適.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知兩條直線，與兩個平面，，下列命題不正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】ABC【解析】【分析】對于ABC選項，可以借助長方體模型舉反例判斷；對于D選項，運(yùn)用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線性質(zhì)，最后運(yùn)用面面垂直判定可判斷.【詳解】對于A選項,如圖所示，，，此時，故A錯誤；對于B選項,如圖所示，，，此時，故B錯誤；對于C選項,如圖所示，，，此時，故C錯誤；對于D選項，，則面內(nèi)一定可以找一條直線，使得，又，則，則,故D正確.故選：ABC．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】BD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】由圖象得，，解得，所以的最小正周期為，故A錯；，則，將代入中得，則，，解得，，因為，所以，，，所以是的對稱軸，故B正確；當(dāng)時，，因為在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯；該圖象向右平移個單位可得，故D正確.故選：BD11.如圖，正方體的棱長為，是側(cè)面上的一個動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.平面被正方體截得截面為等腰梯形B.若，直線C.若在上，的最小值為D.若，點(diǎn)的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】在上取點(diǎn)，使得，則即為截面，從而判斷A，為的中點(diǎn)，在棱上取點(diǎn)，使得，得到與不垂直，即可判斷B，將平面翻折，化折線為直線，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短判斷C，根據(jù)線面垂直得到線線垂直，即可判斷D.【詳解】對于A：在上取點(diǎn)，使得，連接、、、、，則，又且，所以為平行四邊形，則，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，即平面被正方體截得截面即為梯形，又，所以為等腰梯形，故A正確；對于B：因為，所以為中點(diǎn)，在棱上取點(diǎn)，使得，則且，所以為平行四邊形，所以，又，，，顯然，即與不垂直，則與不垂直，故B錯誤；對于C：如圖將平面展開到與平面共面，連接交于點(diǎn)，則即為的最小值，又，所以的最小值為，故C正確；對于D：連接、、、，則，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，又，所以，因為，所以線段（不含點(diǎn)）即為點(diǎn)的軌跡，又，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故D正確.故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：13.已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____________________.【答案】【解析】【分析】由題意可得且與不反向共線，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】若與共線，則，得，此時，與方向相反，因為與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，即且，解得且，則的取值范圍是.故答案為：.14.已知直三棱柱中，底面邊長分別為、、3，高，則該三棱柱的外接球的表面積為_____.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求的外接圓半徑，結(jié)合直棱柱的結(jié)構(gòu)特征求其外接圓半徑，進(jìn)而可得表面積.【詳解】不妨設(shè)，由余弦定理可得，由，則，所以的外接圓半徑，可得該三棱柱的外接球的半徑，所以該三棱柱的外接球的表面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求向量與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量平行的坐標(biāo)形式可求的值；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)形式可求的值，再利用公式可求向量與的夾角的余弦值.【小問1詳解】向量，則，由，得，解得.【小問2詳解】，由，有，解得，則，.所以向量與的夾角的余弦值.16.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，求的長.【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和差公式求解；（2）根據(jù)余弦定理求出邊，再根據(jù)向量運(yùn)算求.【小問1詳解】因為，根據(jù)正弦定理，得，化簡得，因為，所以，因為，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得，所以，解得．因為為的中線，所以，所以，因為，所以，解得.17.如圖，在四棱錐中，，，，，平面.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求四棱錐的表面積.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由線面垂直推出，，勾股定理求出邊AC，則易證，得證；（Ⅱ）易證各側(cè)面均為直角三角形，底面為兩直角三角形的組合，相應(yīng)直角邊長代入三角形面積計算公式求和即可.【詳解】（Ⅰ）因為平面，平面，平面，所以，，因為，，所以.因為，，所以，所以，，由，，可得，平面.（Ⅱ）由題意可知，，由（Ⅰ）可知，平面，平面，所以，同理可得，又，，所以，所以四棱錐的表面積.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，多面體的表面積，屬于中檔題.18.已知函數(shù)的最大值為；（1）求常數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞增；求最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出的值；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和集合間的子集關(guān)系求出的最大值．【小問1詳解】由于函數(shù)由于，故函數(shù)的最大值為，解得．【小問2詳解】由于，，解得，；故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；故,，；故取，則故，即的最大值為．19.在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）設(shè)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時，求三棱錐的體積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接與交于，連接，證明即可得證線面平行；（2）首先證明平面(只要取中點(diǎn)，可證平面，從而得，同理得