2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-基本不等式最值與恒成立問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-基本不等式最值與恒成立問題-專項(xiàng)訓(xùn)練目錄 1 2類型一基本不等式“1”的妙用求最值 2類型二基本不等式的恒成立問題 7類型三對勾函數(shù)求最值 10類型四條件等式求最值 14類型五基本不等式求積的最大值 17類型六基本不等式求和的最小值 20類型七二次與二次（或一次）的商式的最值 24類型八基本不等式最值問題的應(yīng)用 27 321．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)；(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x＞0，y＞0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)一個技巧運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤eq\f(a2＋b2,2)；eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b＞0)逆用就是ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b＞0)等．還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號成立的條件等．兩個變形(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號)；(2)eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a＞0，b＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號)．這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們．三個注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致．類型一基本不等式“1”的妙用求最值“1”的代換若題中不存在滿足基本不等式的條件,則需要根據(jù)條件對式子進(jìn)行恒等變形,靈活運(yùn)用“1”的代換.在解題過程中,常常將不等式乘“1”、除以“1”或?qū)⒉坏仁街械哪硞€常數(shù)用等于“1”的式子代替.例1．（24-25高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則的最小值為4B．若，則的最大值為C．若，則的最小值為2D．若，且，則的最大值為7【變式訓(xùn)練1】（24-25高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知，，則的最大值是．【變式訓(xùn)練2】（24-25高一上·河南·階段練習(xí)）已知，.(1)若，證明；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)若，求的最大值.【變式訓(xùn)練3】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）問題：正數(shù)a，b滿足，求的最小值．其中一種解法是：，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即且時(shí)取等號．學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題：(1)若正實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值；(2)若正實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足，且，試比較和的大小，并說明理由；(3)利用（2）的結(jié)論，求代數(shù)式的最小值，并求出使得取得最小值時(shí)m的值．類型二基本不等式的恒成立問題將恒成立問題分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，分離后，利用基本不等式求最值.例2．（24-25高一上·江西南昌·階段練習(xí)）設(shè)正數(shù)，滿足，若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練1】（24-25高一上·廣東汕頭·階段練習(xí)）對任意的正實(shí)數(shù)x，y，恒成立，則k的最小值為．【變式訓(xùn)練2】（19-20高二上·江西新余·期末）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則的最大值為.【變式訓(xùn)練3】（21-22高一上·河南·階段練習(xí)）（1）若，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.類型三對勾函數(shù)求最值當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號）．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號）．例3．（24-25高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）下列說法正確的有（）A．函數(shù)的最小值為B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)滿足，則的最小值為3D．設(shè)，，則的最小值為【變式訓(xùn)練1】（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（

）A．函數(shù)的最小值是2B．如果，，，那么的最大值為3C．函數(shù)的最小值為D．如果，，且，那么的最小值為2【變式訓(xùn)練2】（23-24高一上·浙江·期中）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【變式訓(xùn)練3】（24-25高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知，則“”是“”的條件.（請?jiān)凇俺浞智也槐匾?、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選擇一個填寫）類型四條件等式求最值要利用條件等式對已知表達(dá)式變形，利用基本不等式后要注意到取等條件的成立與否.例4．（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】（23-24高一上·河北邯鄲·期中）若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】（2024高二下·浙江紹興·學(xué)業(yè)考試）已知正數(shù)a，b，c滿足，，則的最小值為.【變式訓(xùn)練3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為．類型五基本不等式求積的最大值利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.例5．（24-25高一上·山西大同·階段練習(xí)）已知，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2】（23-24高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知，則下列正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．最大值為8 D．的最大值為6【變式訓(xùn)練3】（24-25高一上·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，則的最大值為，的最小值為．類型六基本不等式求和的最小值利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.例6．（24-25高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數(shù)．已知均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．4【變式訓(xùn)練2】（24-25高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）若、、、均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為．【變式訓(xùn)練3】（23-24高一上·山東·期中）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.(1)請將這一事實(shí)表示為一個不等式，并加以證明；(2)已知，小明同學(xué)判斷添加克糖前后的兩杯糖水中的含糖濃度值之差的絕對值肯定小于，判斷是否正確，并說明理由.（）類型七二次與二次（或一次）的商式的最值1.配湊法是指根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法,使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值,或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后,使積式中的各項(xiàng)之和為定值.2.裂項(xiàng)法是指對分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離，分離為整式與“真分式”的和,再根據(jù)分式分母的情況對整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式求最值創(chuàng)造條件,進(jìn)而求出最值.3.分離常數(shù)法對于分子和分母都是二次式的分式，可將分子按照分母的形式進(jìn)行配湊，通過分拆轉(zhuǎn)化為一個常數(shù)和一個分式,再將分式的分子化為常數(shù),然后利用基本不等式求最值.例7．（20-21高二上·江蘇淮安·期中）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有．A．如果，那么取得最大值時(shí)的值為B．如果，，，那么的最小值為6C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為2【變式訓(xùn)練1】（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實(shí)數(shù)，則的最大值為．【變式訓(xùn)練2】（21-22高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若，，則的最小值為.【變式訓(xùn)練3】（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為.類型八基本不等式最值問題的應(yīng)用在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí),要注意以下四點(diǎn)：(1)先理解題意,設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的量定為變量;(2)建立相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式,把實(shí)際問題抽象為代數(shù)式的最值問題;(3)確定變量的范圍,利用基本不等式求出代數(shù)式的最值;(4)寫出正確答案,回答實(shí)際問題.例8．（24-25高一上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，則下列推理正確的是（

）A．由圖1和圖2面積相等得 B．由可得C．由可得 D．由可得【變式訓(xùn)練1】（23-24高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖所示，四邊形ABDC為梯形，其中，O為對角線的交點(diǎn).有4條線段（GH、KL、EF、MN）夾在兩底之間.GH表示平行于兩底且于他們等距離的線段（即梯形的中位線），KL表示平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLDC相似的線段，EF表示平行與兩底且過點(diǎn)O的線段，MN表示平行于兩底且將梯形ABDC分為面積相等的兩個梯形的線段.下列說法中正確的有（

）

A．若，則.B．，使得C．D．，.【變式訓(xùn)練2】（23-24高一上·湖北黃岡·期中）小明同學(xué)喜歡玩折紙游戲，經(jīng)常對折紙中的一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究.已知一矩形紙片其中的周長為他把沿AC向折疊，AB折過去后交DC于點(diǎn)他在思索一個問題：如果改變AB的長度(周長保持不變)，的面積是否存在最大值?請幫他確定的面積是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相應(yīng)的AB的長度；若不存在，試說明理由?【變式訓(xùn)練3】（22-23高一上·福建漳州·期中）已知某工廠要設(shè)計(jì)一個部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進(jìn)行裁剪，部件由三個全等的矩形和一個等邊三角形構(gòu)成，設(shè)矩形的兩邊長分別為（單位：），部件的面積是．

(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出定義域；(2)為節(jié)省材料，請問取何值時(shí)，所用到的圓形鐵片面積最小，最小值為多少？1．（24-25高一上·湖南·階段練習(xí)）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．2．（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值（

）A．2 B．4 C． D．3．（24-25高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．的最小值為2B．已知，則的最小值為C．函數(shù)的最小值為2D．若正數(shù)滿足，則的最小值為34．（2011高一·全國·競賽）定義：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超過x的最大整數(shù)．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則（

）A．0 B．2 C．3 D．45．（23-24高一上·安徽·階段練習(xí)）已知a>0，b>0，且3a+b=2，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為 B．的最大值是2C．的最小值是18 D．的最小值是6．（23-24高一下·安徽安慶·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值為__7．（24-25高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)了不等式的內(nèi)容后，老師布置了這樣一道題：已知，，且，求的最小值.李雷和韓梅梅兩位同學(xué)都“巧妙地用了”，但結(jié)果并不相同.李雷的解法：由于，所以，而，.那么，則最小值為.韓梅梅的解法：由于，所以，而，則最小值為.(1)你認(rèn)為哪位同學(xué)的解法正確，哪位同學(xué)的解法有錯誤？（錯誤的需說明理由）(2)為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外兩道題，請你解決：（i）設(shè)，，都是正數(shù)，求證：；（ii）已知，，且，求的最小值.8．（20-21高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）兩縣城和相距km，現(xiàn)計(jì)劃在縣城外以為直徑的半圓弧(不含兩點(diǎn))上選擇一點(diǎn)建造垃圾處理站，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，垃圾處理廠對城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為；對城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為，對城市和城市的總影響度為城市和城市的影響度之和，記點(diǎn)到城市的距離為，建在處的垃圾處理廠對城和城的總影響度為，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對城和城的總影響度為.（1）將表示成的函數(shù)；（2）判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使得建在此處的垃圾處理廠對城市和城的總信影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城的距離；若不存在，說明理由.2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-基本不等式最值與恒成立問題-專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）目錄 1 2類型一基本不等式“1”的妙用求最值 2類型二基本不等式的恒成立問題 7類型三對勾函數(shù)求最值 10類型四條件等式求最值 14類型五基本不等式求積的最大值 17類型六基本不等式求和的最小值 20類型七二次與二次（或一次）的商式的最值 24類型八基本不等式最值問題的應(yīng)用 27 321．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)；(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x＞0，y＞0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)一個技巧運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤eq\f(a2＋b2,2)；eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b＞0)逆用就是ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b＞0)等．還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號成立的條件等．兩個變形(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號)；(2)eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a＞0，b＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號)．這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們．三個注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致．類型一基本不等式“1”的妙用求最值“1”的代換若題中不存在滿足基本不等式的條件,則需要根據(jù)條件對式子進(jìn)行恒等變形,靈活運(yùn)用“1”的代換.在解題過程中,常常將不等式乘“1”、除以“1”或?qū)⒉坏仁街械哪硞€常數(shù)用等于“1”的式子代替.例1．（24-25高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則的最小值為4B．若，則的最大值為C．若，則的最小值為2D．若，且，則的最大值為7【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，直接使用基本不等式即可；B選項(xiàng)，變形后使用基本不等式；C選項(xiàng)，使用基本不等式，但不滿足等號成立的條件，C錯誤；D選項(xiàng)，設(shè)，則，，從而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，從而得到的最大值.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故A正確；B選項(xiàng)，若，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，B正確；C選項(xiàng)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，但無解，故最小值取不到，C錯誤；D選項(xiàng)，設(shè)，則，，則，因?yàn)?，所以，其中，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】利用基本不等式求解最值問題，方法靈活，式子不能直接使用基本不等式時(shí)，常常需要變形，比如湊項(xiàng)法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等【變式訓(xùn)練1】（24-25高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知，，則的最大值是．【答案】【分析】先求出的最小值，再將化為，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，故，?dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號成立，所以，即的最大值是，故答案為：【變式訓(xùn)練2】（24-25高一上·河南·階段練習(xí)）已知，.(1)若，證明；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)若，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）減少變量化為即可證明；（2）構(gòu)造得，再利用乘“1”法即可得到答案；（3）利用，即可得到答案.【詳解】（1）由得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號.（2）由得，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，由題意可知，，整理得，解得或(舍去)，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）因?yàn)?，所以，，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號，故的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用乘“1”法得到，最后解出即可.【變式訓(xùn)練3】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）問題：正數(shù)a，b滿足，求的最小值．其中一種解法是：，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即且時(shí)取等號．學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題：(1)若正實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值；(2)若正實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足，且，試比較和的大小，并說明理由；(3)利用（2）的結(jié)論，求代數(shù)式的最小值，并求出使得取得最小值時(shí)m的值．【答案】(1)(2)，理由見解析.(3)【分析】（1）把轉(zhuǎn)化為，利用題設(shè)給出的方法求和的最小值.（2）借助“1”的代換，利用，再利用不等式可判斷和的大小.（3）取，，構(gòu)造，利用（2）的結(jié)論，可求的最小值，再分析“”成立的條件，可得的值.【詳解】（1）由（，）可得：（，），所以（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.所以的最小值為：.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.所以（當(dāng)時(shí)取“”）所以：（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.（3）取，，由，此時(shí)，所以.同時(shí)：，取，.由（2）可知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，得即時(shí)取“”.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查用基本不等式求最小值，考查方法的類比：“1”的代換．解題關(guān)鍵是“1”的代換，即利用，從而借助基本不等式得出大小關(guān)系，同時(shí)考查新知識（新結(jié)論）的應(yīng)用.類型二基本不等式的恒成立問題將恒成立問題分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，分離后，利用基本不等式求最值.例2．（24-25高一上·江西南昌·階段練習(xí)）設(shè)正數(shù)，滿足，若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，然后根據(jù)不等式恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，則，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.因?yàn)椴坏仁綄θ我鈱?shí)數(shù)恒成立，即恒成立.，所以，即對任意實(shí)數(shù)恒成立.令，因?yàn)?，所?所以.故選：D.【變式訓(xùn)練1】（24-25高一上·廣東汕頭·階段練習(xí)）對任意的正實(shí)數(shù)x，y，恒成立，則k的最小值為．【答案】【分析】將恒成立問題分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，分離后，利用基本不等式求最值可得.【詳解】依題意x，y為正實(shí)數(shù)，則，則恒成立，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，且當(dāng)取滿足的任意正實(shí)數(shù)時(shí)等號成立.所以.所以，即k的最小值為．故答案為：.【變式訓(xùn)練2】（19-20高二上·江西新余·期末）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則的最大值為.【答案】16【解析】由題意得，，又，多次使用基本不等式即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且且且，即即，時(shí)，等號成立；又不等式恒成立，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查應(yīng)用基本不等式求最值，要注意等號成立的條件，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．【變式訓(xùn)練3】（21-22高一上·河南·階段練習(xí)）（1）若，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）最小值是；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，將式子化為，進(jìn)而通過基本不等式求得答案；（2）對式子進(jìn)行參變分離，轉(zhuǎn)化為求最值問題，進(jìn)而求得答案.【詳解】（1）由題意可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.故的最小值是.由題意可得恒成立，令，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.由（1）可知，的最小值是，故的取值范圍是.類型三對勾函數(shù)求最值當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號）．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號）．例3．（24-25高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）下列說法正確的有（）A．函數(shù)的最小值為B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)滿足，則的最小值為3D．設(shè)，，則的最小值為【答案】BCD【分析】利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；利用配湊法可判斷B；將已知變形為，妙用“1”可判斷C；將已知變形為，然后根據(jù)“1”的妙用可判斷D.【詳解】對A，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，A錯誤；對B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以B正確；對C，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以C正確；對D，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以D正確.故選：BCD【變式訓(xùn)練1】（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（

）A．函數(shù)的最小值是2B．如果，，，那么的最大值為3C．函數(shù)的最小值為D．如果，，且，那么的最小值為2【答案】BCD【分析】利用基本不等式對選項(xiàng)逐個判斷即可得.【詳解】對A：當(dāng)時(shí)，，所以最小值不是2，故A錯誤；對B：由已知可得，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)的最大值為3，故B正確；對C：函數(shù)，設(shè)，，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取最大值，故C正確；對D：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值為2，故D正確．故選：BCD．【變式訓(xùn)練2】（23-24高一上·浙江·期中）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】ACD【分析】利用基本不等式可判斷ABC選項(xiàng)；對于D選項(xiàng)，由已知可得出，可得出，求出的取值范圍，結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足.對于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，A對；對于B選項(xiàng)，若，，則，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，B錯；對于C選項(xiàng)，若，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，C對；對于D選項(xiàng)，若，，則，可得，即，則，又因?yàn)?，則，令，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，即，D對.故選：ACD.【變式訓(xùn)練3】（24-25高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知，則“”是“”的條件.（請?jiān)凇俺浞智也槐匾?、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選擇一個填寫）【答案】必要且不充分【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)得到，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又對勾函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要且不充分條件.故答案為：必要且不充分類型四條件等式求最值要利用條件等式對已知表達(dá)式變形，利用基本不等式后要注意到取等條件的成立與否.例4．（23-24高一下·湖北·期中）已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用立方和公式及換元法，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由，得，設(shè)，則，解得，因?yàn)椋?，所以，解得或，又因?yàn)椋?，整理得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.因此，即，所以的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用立方和公式和換元法，根據(jù)建立關(guān)于的不等式即可.【變式訓(xùn)練1】（23-24高一上·河北邯鄲·期中）若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用條件等式將表達(dá)式變形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等條件是否成立.【詳解】因?yàn)椋杂深}意，因?yàn)?，所以，所以由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立，綜上所述，的最小值為.故選：D.【變式訓(xùn)練2】（2024高二下·浙江紹興·學(xué)業(yè)考試）已知正數(shù)a，b，c滿足，，則的最小值為.【答案】2【分析】使用不等式將放縮，使用“1”的代換及基本不等式求得目標(biāo)最小值.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)取等號，故，當(dāng)時(shí)取等號，綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求最小值關(guān)鍵是第一步用放縮法將放掉，第二步是將中的2代換為，將整式處理為，再用“1”的代換求最小值.【變式訓(xùn)練3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為．【答案】【分析】依題意可得，令，，則，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，化為，令，，則．聯(lián)立可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.類型五基本不等式求積的最大值利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.例5．（24-25高一上·山西大同·階段練習(xí)）已知，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由重要不等式可得出，可判斷A選項(xiàng)；利用基本不等式可得出，再利用基本不等式及不等式的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；分析可知，關(guān)于的二次方程有實(shí)根，由可判斷C選項(xiàng)；由基本不等式可得出，再利用立方和公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，且，對于A選項(xiàng)，由重要不等式可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，A錯；對于B選項(xiàng)，由重要不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，B對；對于C選項(xiàng)，由題意可知，關(guān)于的二次方程有實(shí)根，則，即，解得，又因?yàn)?，所以，，C對；對于D選項(xiàng)，由可得，由基本不等式可得，可得，即，因?yàn)?，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，，D對.故選：BCD.【變式訓(xùn)練1】（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由已知條件，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷AB；根據(jù)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)，基本不等式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故A錯誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，故B正確；C：由，得，即，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故C正確；D：由，得，即，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故D錯誤.故選：BC【變式訓(xùn)練2】（23-24高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知，則下列正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．最大值為8 D．的最大值為6【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，A選項(xiàng)，，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，所以A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以B選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以D選項(xiàng)錯誤.C選項(xiàng)，，由D選項(xiàng)的分析可知：，所以C選項(xiàng)正確.故選：BC【變式訓(xùn)練3】（24-25高一上·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，則的最大值為，的最小值為．【答案】【分析】第一空直接利用基本不等式求解即可；第二空先提公因式，再利用，使得分式其次得，然后化簡，利用基本不等式得，然后再構(gòu)造，利用基本不等式求解即可；【詳解】由題可知，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最大值為；因?yàn)?，得?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于分式型的雙變量求最值問題，我們經(jīng)常利用題中條件進(jìn)行齊次化構(gòu)造，然后再利用基本不等式求解；多次利用基本不等式求最值，我們一定要判斷兩個等號需要同時(shí)成立才可以取到最值.類型六基本不等式求和的最小值利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.例6．（24-25高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，利用換元法可將原式變形再利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，且因此，令，則；又；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立；此時(shí)的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將未知數(shù)個數(shù)減少，并合理變形利用基本不等式求解.【變式訓(xùn)練1】（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數(shù)．已知均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】設(shè)，可得，利用基本不等式運(yùn)算求解，注意等號成立的條件.【詳解】由題意可知：均為正實(shí)數(shù)，設(shè)，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，可得，即，所以的最小值為2.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)定義得出，，再結(jié)合基本不等式求得.【變式訓(xùn)練2】（24-25高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）若、、、均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為．【答案】4【分析】根據(jù)題意，從后兩項(xiàng)著手依次使用基本不等式，經(jīng)過2025次計(jì)算，即可求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為4，故答案為：4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是從后兩項(xiàng)著手依次使用基本不等式，經(jīng)過2025次計(jì)算，求得所求代數(shù)式的最小值.【變式訓(xùn)練3】（23-24高一上·山東·期中）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.(1)請將這一事實(shí)表示為一個不等式，并加以證明；(2)已知，小明同學(xué)判斷添加克糖前后的兩杯糖水中的含糖濃度值之差的絕對值肯定小于，判斷是否正確，并說明理由.（）【答案】(1)不等式：已知，，則，證明見解析(2)小明同學(xué)判斷正確，理由見解析【分析】（1）作差法比較兩式的大小.（2）根據(jù)已知條件列式，代入，利用換元法構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)基本不等式求函數(shù)的最值，注意基本不等式成立的條件.【詳解】（1）不等式：已知，，則.證明：，因?yàn)椋瑒t，所以，即.（2）答：小明同學(xué)判斷正確，理由如下：兩杯糖水的含糖濃度值之差的絕對值，不妨設(shè)（），記（），化簡得，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值小于，綜上：添加克糖前后的兩杯糖水的含糖濃度值之差的絕對值肯定小于.類型七二次與二次（或一次）的商式的最值1.配湊法是指根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法,使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值,或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后,使積式中的各項(xiàng)之和為定值.2.裂項(xiàng)法是指對分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離，分離為整式與“真分式”的和,再根據(jù)分式分母的情況對整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式求最值創(chuàng)造條件,進(jìn)而求出最值.3.分離常數(shù)法對于分子和分母都是二次式的分式，可將分子按照分母的形式進(jìn)行配湊，通過分拆轉(zhuǎn)化為一個常數(shù)和一個分式,再將分式的分子化為常數(shù),然后利用基本不等式求最值.例7．（20-21高二上·江蘇淮安·期中）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有．A．如果，那么取得最大值時(shí)的值為B．如果，，，那么的最小值為6C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為2【答案】AB【解析】A.將其配成頂點(diǎn)坐標(biāo)式即可得出答案；B.將其配成代入即可得其最小值；C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)無解D.根據(jù)題意構(gòu)造，將“1”替換為，代入用基本不等式.【詳解】解：對于A.如果，那么，當(dāng)時(shí)取得最大值，故正確；對于B.如果，，則整理得，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故正確；對于C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)無解，不能取得最小值2，故錯誤；對于D.如果，，且，那么當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值，故錯誤.故選：AB【變式訓(xùn)練1】（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實(shí)數(shù)，則的最大值為．【答案】【分析】化簡整理后，將看成一個整理，利用基本不等式求最值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號成立.故答案為：【變式訓(xùn)練2】（21-22高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若，，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題中所給等式可化為，再通過平方關(guān)系將其與聯(lián)系起來，運(yùn)用基本不等式求解最小值即可.【詳解】因?yàn)榍?，則兩邊同除以，得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以.故答案為:【變式訓(xùn)練3】（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，結(jié)合立方和公式得出，由，解關(guān)于的不等式，再利用基本不等式，再解關(guān)于的不等式得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得：，即，設(shè)，則：，，，，，解得或，又，，化簡得，①當(dāng)時(shí)，不等式不成立；②當(dāng)時(shí)，，即，，又恒成立，可得，的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤類型八基本不等式最值問題的應(yīng)用在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí),要注意以下四點(diǎn)：(1)先理解題意,設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的量定為變量;(2)建立相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式,把實(shí)際問題抽象為代數(shù)式的最值問題;(3)確定變量的范圍,利用基本不等式求出代數(shù)式的最值;(4)寫出正確答案,回答實(shí)際問題.例8．（24-25高一上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，則下列推理正確的是（

）A．由圖1和圖2面積相等得 B．由可得C．由可得 D．由可得【答案】C【分析】根據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達(dá)式，可判斷A選項(xiàng)正誤，由題意可求得圖3中的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項(xiàng)，即可得答案【詳解】對于A，由圖1和圖2面積相等得，所以，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，整理得，故B錯誤；對于C，因?yàn)镈為斜邊BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，整理得，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，整理得，故D錯誤．故選：C．【變式訓(xùn)練1】（23-24高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖所示，四邊形ABDC為梯形，其中，O為對角線的交點(diǎn).有4條線段（GH、KL、EF、MN）夾在兩底之間.GH表示平行于兩底且于他們等距離的線段（即梯形的中位線），KL表示平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLDC相似的線段，EF表示平行與兩底且過點(diǎn)O的線段，MN表示平行于兩底且將梯形ABDC分為面積相等的兩個梯形的線段.下列說法中正確的有（

）

A．若，則.B．，使得C．D．，.【答案】ACD【分析】根據(jù)題中所給的梯形模型，結(jié)合平行線分線段成比例定理，相似，面積相等等方式，建立得到幾個平均數(shù)，再利用基本不等式和作差法比較大小即可.【詳解】因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，因?yàn)樘菪闻c梯形相似，所以，所以，若，則，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，①因?yàn)?，所以，所以，②由①②得，所以，設(shè)梯形，，的面積分別為，高分別為，則，即，解得，所以，所以，解得，故C正確；因?yàn)?，由基本不等式得，，，則，所以，所以，即，，故B錯誤，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)平行線分線段成比例定理，相似，面積求出是解決本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】（23-24高一上·湖北黃岡·期中）小明同學(xué)喜歡玩折紙游戲，經(jīng)常對折紙中的一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究.已知一矩形紙片其中的周長為他把沿AC向折疊，AB折過去后交DC于點(diǎn)他在思索一個問題：如果改變AB的長度(周長保持不變)，的面積是否存在最大值?請幫他確定的面積是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相應(yīng)的AB的長度；若不存在，試說明理由?【答案】存在，時(shí)，取最大面積【分析】先用AB邊長通過幾何關(guān)系表示出所求面積，再用基本不等式即可求解，注意檢驗(yàn)等號是否能取得【詳解】由題意可知，矩形的周長為，設(shè)，則設(shè)，則，，而為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，此時(shí)，滿足，故時(shí)，取最大面積【變式訓(xùn)練3】（22-23高一上·福建漳州·期中）已知某工廠要設(shè)計(jì)一個部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進(jìn)行裁剪，部件由三個全等的矩形和一個等邊三角形構(gòu)成，設(shè)矩形的兩邊長分別為（單位：），部件的面積是．

(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出定義域；(2)為節(jié)省材料，請問取何值時(shí)，所用到的圓形鐵片面積最小，最小值為多少？【答案】(1)，；(2)時(shí)，面積最小，.【分析】（1）利用已知條件求出，然后求解函數(shù)的定義域即可．（2）設(shè)圓形鐵片半徑為R，面積S=πR2，過圓心O作CD的垂線，垂足為E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)OD，求出R的表達(dá)式，然后利用基本不等式求解最小值即可．【詳解】（1）由題意，利用矩形面積和正三角形的面積公式，可得，整理得，又由，所以，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，．?）設(shè)圓形鐵片半徑為R，則面積S=πR2，過圓心O作CD的垂線，垂足為E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)OD，則，所以=，因?yàn)閤2＞0，由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以圓形鐵片的最小面積為（cm2），

答：當(dāng)x=2時(shí)，所用圓形貼片的面積最小，最小面積為（cm2）．1．（24-25高一上·湖南·階段練習(xí)）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．【答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式及其變形可判斷A；利用常值代換可判斷B；利用消元法可判斷C；根據(jù)重要不等式得到，代入即可判斷D.【詳解】對于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故A錯誤；對于B，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，故C錯誤；對于D，由得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故D正確.故選：BD.2．（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】首先不等式變形為恒成立，再利用兩次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.【詳解】不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為恒成立，其中，令，，，第二次使用基本不等式，等號成立的條件是且，得且，此時(shí)第一次使用基本不等式，說明兩次基本不等式能同時(shí)取得，所以的最小值為，即，則，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是再求的最值時(shí)，需變形為，再通過兩次基本不等式求最值.3．（24-25高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．的最小值為2B．已知，則的最小值為C．函數(shù)的最小值為2D．若正數(shù)滿足，則的最小值為3【答案】BD【分析】舉反例判斷A；變形后利用基