第12章 全等三角形 單元測試

第12章全等三角形單元測試一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.如圖給出了四組三角形，其中全等的三角形有(

)組．A.1 B.2 C.3 D.42.下列說法中，不正確的是(

)①全等形的面積相等；②形狀相同的兩個三角形是全等三角形；③全等三角形的對應邊，對應角相等；④若兩個三角形全等，則其中一個三角形一定是由另一個三角形旋轉(zhuǎn)得到的．A.①與② B.③與④ C.①與③ D.②與④3.如圖，△ACE≌△DBF，若AD=8，BC=2，則AB的長度為(

)A.6 B.4 C.2 D.34.如下圖，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是(

)A.∠M=∠N B.AM/?/CN C.AB=CD D.AM=CN5.如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為60和35，則△EDF的面積為(

)A.25 B.5.5 C.7.5 D.12.56.已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=40°，則∠F等于(

)A.80° B.40° C.120° D.60°7.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，已知EH=EB=3，AE=4，則CH的長是

(

)A.4 B.5 C.1 D.28.如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④連接CP，CP平分∠ACB，其中正確的是(

)A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④

9.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:DC=9:7，則點D到AB邊的距離為(

)A.18 B.16 C.14 D.12

10.如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB=AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD(

)A.∠B=∠C B.AD=AE C.BE=CD D.BD=CE二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.一個三角形的三邊長分別是3，5，6，另一個三角形的三邊長為a，b，c，且滿足a=b+1，b=c+2，a+c=9，那么這兩個三角形的關系是______．12.如圖，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是______.(只需填一個)13.如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，則△DEB的周長為_______cm．14.我國的紙傘工藝十分巧妙，如圖，傘不論張開還是縮攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC和∠EDF，使△AED與△AFD始終全等，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動，則△AED≌△AFD的理由是______．15.如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點D，連接AD，則∠CAD=______．三、解答題（本大題共9小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.(本小題8.0分)如圖，E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=CD，AB/?/CD.求證：(1)△ABF≌△DCE．(2)AF/?/DE．17.(本小題8.0分)如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求證：AB/?/DE．18.(本小題8.0分)如圖，已知AB=CD，AC=BD。求證：∠A=∠D19.(本小題8.0分)如圖所示，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，且BD=CD．求證：BE=CF．20.(本小題8.0分)如圖，點C，F(xiàn)，E，B在同一條直線上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE.寫出CD與AB之間的關系，并證明你的結(jié)論．21.(本小題8.0分)在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，AD，BE交于點F，連接CF．(1)求證：△ACD≌△BCE(2)求證：CF平分∠AFE22.(本小題8.0分)已知：如圖，AD，AE分別是△ABC和△ABD的中線，且BA=BD.求證：AE=1223.(本小題9.0分)如圖，在△中，∠?ACB=900，AC=BC，BE?⊥?CE于E，AD?⊥?CE于(1)求證：△ADC≌△CEB.

(2)AD=5，DE=3，求BE的長度.24.(本小題10.0分)已知：如圖，∠B?=∠C?=?90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC(1)求證：AM平分∠BAD；(2)試說明線段DM與AM有怎樣的位置關系？(3)線段CD、AB、AD間有怎樣的關系？直接寫出結(jié)果．

第12章全等三角形單元測試一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.如圖給出了四組三角形，其中全等的三角形有(

)組．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D

【解析】圖一中兩個三角形的對應角相同，公共邊相等，用SAS可證全等；圖二中用SAS可證明全等；圖三中仍然可用SAS證明全等；圖四中可求出對應角相等，可用SAS證明全等.2.下列說法中，不正確的是(

)①全等形的面積相等；②形狀相同的兩個三角形是全等三角形；③全等三角形的對應邊，對應角相等；④若兩個三角形全等，則其中一個三角形一定是由另一個三角形旋轉(zhuǎn)得到的．A.①與② B.③與④ C.①與③ D.②與④【答案】D

【解析】②形狀和大小都必須相等；④可由旋轉(zhuǎn)、平移、對稱得到.3.如圖，△ACE≌△DBF，若AD=8，BC=2，則AB的長度為(

)A.6 B.4 C.2 D.3【答案】D

【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形對應頂點的字母寫在對應位置上確定出對應邊，然后求出AB=CD是解題的關鍵．根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AC=BD，再求出AB=CD，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【解答】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=DB，∴AC?BC=BD?BC，即AB=CD，∵AD=8，BC=2，∴AB=1故選D．

4.如下圖，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是(

)A.∠M=∠N B.AM/?/CN C.AB=CD D.AM=CN【答案】D

【解析】A、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN；

B、AM/?/CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN；

C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN；

D、根據(jù)條件AM=CN，MB=NN，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN．故選D．點評：根據(jù)三角形全等的判定定理，有ASS、SSS、ASA、SAS四種．逐條驗證．5.如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為60和35，則△EDF的面積為(

)A.25 B.5.5 C.7.5 D.12.5【答案】D

【解析】6.已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=40°，則∠F等于(

)A.80° B.40° C.120° D.60°【答案】D

【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=80°，∵∠E=40°，∴∠F=180°?∠D?∠E=180°?80°?40°=60°．故選：D．根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠D=∠A，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．本題考查了全等三角形對應角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)對應頂點的字母放在對應位置上準確確定出對應角是解題的關鍵．7.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，已知EH=EB=3，AE=4，則CH的長是

(

)A.4 B.5 C.1 D.2【答案】C

【解析】【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA，AAS、HL，要熟練掌握并靈活應用這些方法．本題可先根據(jù)AAS判定△AEH≌△CEB，可得出AE=CE，從而得出CH=CE?EH=4?3=1.

【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠ADB=90°；∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°，∵∠EHA=∠DHC(對頂角相等)，∴∠EAH=∠DCH(等量代換)；∵在△BCE和△HAE中∠BEC=∠HEA∠BCE=∠HAE∴△AEH≌△CEB(AAS)；∴AE=CE；∵EH=EB=3，AE=4，∴CH=CE?EH=AE?EH=4?3=1．故選C．

8.如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④連接CP，CP平分∠ACB，其中正確的是(

)A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】D

【解析】【分析】

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)逐條分析判斷．【解答】解：在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=45°，∴∠APB=135°，故①正確．易求∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，故②正確．∵∠APH=∠FPD，∠PAH=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴PH=DD，故③正確．△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，又∵三角形的三條內(nèi)角平分線交與一點，∴CP平分∠ACB，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④．故選D．

9.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:DC=9:7，則點D到AB邊的距離為(

)A.18 B.16 C.14 D.12【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)比例求出CD的長，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD，得到答案．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，∵BC=32，BD：CD=9：7，∴CD=32×7∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=CD=14，即D到AB的距離為14．故選C．

10.如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB=AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD(

)A.∠B=∠C B.AD=AE C.BE=CD D.BD=CE【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學生應熟練掌握全等三角形的判定定理．欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A為公共角，A.如添加∠B=∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD，故本選項錯誤；B.如添AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD，故本選項錯誤；C.如添BE=CD，因為SSA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項不能作為添加的條件，故本選項正確；D.如添BD=CE，等量關系可得AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD，故本選項錯誤．故選C．

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.一個三角形的三邊長分別是3，5，6，另一個三角形的三邊長為a，b，c，且滿足a=b+1，b=c+2，a+c=9，那么這兩個三角形的關系是______．【答案】全等；SSS

【解析】解：∵根據(jù)題意：另一個三角形三邊為a、b、c，且滿足a=b+1，b=c+2，a+c=9，∴解得：a=6，b=5，c=3，∴由全等三角形的判定定理SSS即可判定兩三角形全等．故答案為：全等，SSS．首先根據(jù)a=b+1，b=c+2，a+c=9，分別求得a、b、c的值，然后利用SSS即可確定兩三角形的關系．本題考查三角形全等的判定方法SSS，比較簡單，屬于基礎題．12.如圖，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是______.(只需填一個)【答案】∠B=∠D或∠C=∠E或AC=AE

【解析】【分析】要使△ABC≌△ADE，已知AB=AD，∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，若添加∠B=∠D可以利用ASA判定其全等，添加∠C=∠E可以利用AAS判定其全等，添加AC=AE可以利用SAS判定其全等．本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．【解答】解：∵AB=AD，∠1=∠2∴∠BAC=∠DAE∴若添加∠B=∠D可以利用ASA判定△ABC≌△ADE，若添加∠C=∠E可以利用AAS判定△ABC≌△ADE，若添加AC=AE可以利用SAS判定△ABC≌△ADE，故答案為：∠B=∠D或∠C=∠E或AC=AE．

13.如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，則△DEB的周長為

_cm．【答案】15

【解析】【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．先根據(jù)ASA判定△ACD≌△ECD得出AC=EC，AD=ED，再將其代入△DEB的周長中，通過邊長之間的轉(zhuǎn)換得到，周長=BD+DE+EB=BD+AD+EB=AB+BE=AC+EB=CE+EB=BC，所以為15cm.

【解答】解：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠ECD∵DE⊥BC于E∴∠DEC=∠A=90°∵CD=CD∴△ACD≌△ECD∴AC=EC，AD=ED∵∠A=90°，AB=AC∴∠B=45°∴BE=DE∴△DEB的周長為：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm．故答案為15．

14.我國的紙傘工藝十分巧妙，如圖，傘不論張開還是縮攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC和∠EDF，使△AED與△AFD始終全等，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動，則△AED≌△AFD的理由是______．【答案】ASA

【解析】解：∵傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC和∠EDF，∴∠EAD=∠FAD，∠ADE=∠ADF，在△ADE和△ADF中，∠EAD=∠FADAD=AD∴△ADE≌△ADF(ASA)．故答案為：ASA．根據(jù)確定三角形全等的條件進行判定即可．本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．15.如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點D，連接AD，則∠CAD=______．【答案】55°

【解析】【分析】本題考查的是角平分線的定義和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠BAC=180°?50°?60°=70°，∵∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點D，∴D到BE、AC、BA的距離相等，∴AD是∠BAC的外角平分線，

∴∠DAC=55°．故答案為55°．

三、解答題（本大題共9小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.(本小題8.0分)如圖，E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=CD，AB/?/CD.求證：(1)△ABF≌△DCE．(2)AF/?/DE．【答案】證明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE．∵AB/?/CD，∴∠B=∠C．在△ABF和△DCE中AB=CD∠B=∠C∴△ABF≌△DCE(SAS)；(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴AF/?/DE．

【解析】(1)由等式的性質(zhì)就可以得出BF=CE，由平行線的性質(zhì)就可以得出∠B=∠C，根據(jù)SAS就可以得出結(jié)論；(2)由△ABF≌△DCE就可以得出∠AFB=∠DEC就可以得出結(jié)論．17.(本小題8.0分)如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求證：AB/?/DE．【答案】證明：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC與△DEF中，AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ABC=∠DEF，∴AB/?/DE．

【解析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，證明它們所在的三角形全等即可．根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC=EF.運用SSS證明△ABC與△DEF全等．由此得到對應角相等，推出直線平行．18.(本小題8.0分)如圖，已知AB=CD，AC=BD。求證：∠A=∠D【答案】證明：連接BC，∵在△BCD和△CBA中CD=ABBD=AC∴△BCD≌△CBA(SSS)，∴∠A=∠D．

【解析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì).全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具，培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力．連接BC，根據(jù)條件AB=DC，AC=BD，再加上公共邊BC=CB可利用SSS證明△BCD≌△CBA，進而得到∠A=∠D．19.(本小題8.0分)如圖所示，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，且BD=CD．求證：BE=CF．【答案】20.(本小題8.0分)如圖，點C，F(xiàn)，E，B在同一條直線上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE.寫出CD與AB之間的關系，并證明你的結(jié)論．【答案】解：CD/?/AB，CD=AB．證明：∵CE=BF，∴CE?EF=BF?EF，∴CF=BE，在△AEB和△DFC中，∵∴△AEB≌△DFC(SAS)，∴CD=AB，∠C=∠B，∴CD//AB．

【解析】本題考查了平行線的判定和全等三角形的性質(zhì)和判定的應用．全等三角形的判定與性質(zhì)是證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件，求出CF=BE，根據(jù)SAS證明△AEB≌△CFD，推出CD=AB，∠C=∠B，根據(jù)平行線的判定推出CD/?/AB．21.(本小題8.0分)在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，AD，BE交于點F，連接CF．(1)求證：△ACD≌△BCE(2)求證：CF平分∠AFE【答案】【解】(1)證明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，?CA=CB??∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)；(2)證明：過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，如下圖所示，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，∠CAM=∠CBN??∠AMC=∠BNC=90°∴△ACM≌△BCN，∴CM=CN，∴CF平分∠AFE．

【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用，(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE；(2)首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可證∠CAD=∠CBE，再證△ACM≌△BCN，(或證△ECN≌△DCM)，可得CM=CN，即可證得CF平分∠AFE；

22.(本小題8.0分)已知：如圖，AD，AE分別是△ABC和△ABD的中線，且BA=BD.求證：AE=1【答案】證明：延長AE至F，使EF=AE，連接DF．∵AE是△ABD的中線，∴BE=DE．∵∠AEB=∠FED，∴△ABE≌△FDE．∴∠B=∠BDF，AB=DF．∵BA=BD，∴∠BAD=∠BDA，BD=DF．∵∠ADF=∠BDA+∠BDF，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠ADF=∠ADC．∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∴DF=CD．∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC=AF=2AE，即AE=1【解析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．延長AE至F，使EF=AE，連接DF，利用全等三角形的對應邊相等得到AC=AF=2AE，即可得證．23.(本小題9.0分)如圖，在△中，∠?ACB=900，AC=BC，BE?⊥?CE于E，AD?⊥?CE于(1)求證：△ADC≌△CEB.

(2)AD=5，DE=3，求BE的長度..【答案】(1)證明：∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠CAD