2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)全書要點速記學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGE全書要點速記第一章空間向量與立體幾何要點1空間向量基本定理1．共線向量基本定理對隨意兩個空間向量a，b，假如a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa．推論：若存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(OB,\s\up8(→))(O為空間隨意一點)，則P，A，B三點共線．2．共面對量定理假如兩個向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使得c＝xa＋yb．推論1：假如A，B，C三點不共線，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))．推論2：空間四點P，A，B，C共面的充要條件是存在x，y，z∈R，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1，O為空間隨意一點．)3．空間向量基本定理假如空間中的三個向量a，b，c不共面，那么對空間中的隨意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．要點2空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)a⊥b?a·b＝0，此結(jié)論一般用于證明空間中的垂直關(guān)系．(2)|a2|＝a2，即|a|＝eq\r(a2)，此結(jié)論一般用于求空間中線段的長度．(3)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，此結(jié)論一般用于求空間角的問題．(4)|b|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|)，此結(jié)論一般用于求空間中的距離問題．要點3空間向量在立體幾何中的應(yīng)用設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則線線平行l(wèi)∥m?a∥b?a＝kb，k∈R線面平行l(wèi)∥α?a⊥u?a·u＝0面面平行α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R線線垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝0線面垂直l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0線線夾角l，m的夾角為θ，cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)線面夾角l，α的夾角為θ，sinθ＝eq\f(|a·u|,|a||u|)面面夾角α，β的夾角為θ，cosθ＝eq\f(|u·ν|,|u||ν|)留意：①線線夾角、線面夾角、面面夾角的范圍都為0≤θ≤eq\f(π,2)；②二面角的范圍為[0，π]，解題時應(yīng)詳細(xì)分析二面角是銳角還是鈍角．其次章平面解析幾何要點1直線的傾斜角與斜率(1)設(shè)直線的傾斜角為α，斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)為直線上的不同兩點．當(dāng)α≠90°即x1≠x2時，k＝tanα＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；當(dāng)α＝90°或x1＝x2時，直線斜率不存在．(2)斜率與傾斜角的關(guān)系直線與x軸平行由左向右上升與y軸平行由左向右下降圖示θ的范圍θ＝00＜θ＜eq\f(π,2)θ＝eq\f(π,2)eq\f(π,2)＜θ＜πk的范圍k＝0k＞0k不存在k＜0k的增減性隨θ的增大而增大隨θ的增大而增大說明：k的增減性與θ的關(guān)系可借助正切函數(shù)y＝tanθ的性質(zhì)進行記憶．要點2直線的方程已知條件方程適用范圍點斜式點P0(x0，y0)和斜率ky－y0＝k·(x－x0)斜率存在，即適用于與x軸不垂直的直線斜截式斜率k和直線在y軸上的截距by＝kx＋b兩點式點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)斜率存在且不為0，即適用于與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式直線在x軸上的截距a和直線在y軸上的截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1斜率存在且不為0，直線不過原點，即適用于不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)全部直線要點3兩條直線的位置關(guān)系斜截式：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2一般式：A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2，B2，C2均不為0)重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0要點4平面上的距離公式(1)隨意兩點間的距離：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．(2)點到直線的距離：點P0(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)兩條平行直線間的距離：直線Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A與B不同時為0，且C1≠C2)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．要點5圓的方程1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為(a，b)，半徑為r(r＞0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2．2．圓的一般方程當(dāng)D2＋E2－4F＞0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)．3．求圓的方程的方法(1)幾何性質(zhì)法：利用圓的隨意弦的垂直平分線過圓心求出圓心，再求圓的方程．(2)待定系數(shù)法：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(條件與圓心或半徑有關(guān))(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用條件求出a，b，r或D，E，F(xiàn)即可．要點6直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系的判定方法關(guān)系相交相切相離幾何法d＜rd＝rd＞r代數(shù)法Δ＞0Δ＝0Δ＜0說明：d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑，Δ為直線和圓的方程聯(lián)立消元后所得一元二次方程的根的判別式．2．求弦長的方法(1)利用垂徑定理：已知半徑r、弦心距d、弦長l，則d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2．(2)利用弦長公式：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，則弦長為eq\r(1＋k2)|x1－x2|(或eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|)．3．圓的切線方程(1)經(jīng)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2．(2)經(jīng)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)經(jīng)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＋D·eq\f(x＋x0,2)＋E·eq\f(y＋y0,2)＋F＝0．4．求切線方程的方法若切線斜率k存在，且不為0．(1)幾何法：利用圓心到直線的距離等于半徑，求出k，即得切線方程．(2)代數(shù)法：將切線方程與圓的方程聯(lián)立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切線方程．留意：過圓外一點的切線有兩條，若解出的k值唯一，則應(yīng)檢驗是否有一條與x軸垂直的切線．要點7圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何法d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|代數(shù)法Δ＜0Δ＝0Δ＞0Δ＝0Δ＜0說明：d為兩圓的圓心距，r1，r2分別為兩圓半徑，Δ為聯(lián)立兩圓方程消元后所得的一元二次方程的根的判別式．由于利用代數(shù)法求出Δ＜0或Δ＝0后兩圓的位置關(guān)系仍不明確，因此一般利用幾何法推斷兩圓的位置關(guān)系．要點8橢圓、雙曲線、拋物線的比較橢圓雙曲線拋物線定義假如F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個常數(shù)，且2a＞|F1F2|，則平面內(nèi)滿意|PF1|＋|PF2|＝2a的動點P的軌跡稱為橢圓假如F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個正常數(shù)，且2a＜|F1F2|，則平面上滿意||PF1|－|PF2||＝2a的動點P的軌跡稱為雙曲線設(shè)F是平面內(nèi)的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)y2＝2px(p＞0)幾何圖形集合表示{P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|＞0}{P|||PF2|－|PF1||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}{P||PF|＝點P到直線l的距離}焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(－a，0)，A2(a，0)O(0，0)中心原點(0，0)原點(0，0)無離心率0＜e＝eq\f(c,a)＜1e＝eq\f(c,a)＞1e＝1通徑長eq\f(2b2,a)eq\f(2b2,a)2p焦半徑|PF1|＝a＋exP，|PF2|＝a－exP若點P在右支上，則|PF1|＝a＋exP，|PF2|＝－a＋exP；若點P在左支上，則|PF1|＝－a－exP，|PF2|＝a－exP|PF|＝eq\f(p,2)＋xP要點9橢圓、雙曲線的焦點三角形的相關(guān)結(jié)論1．橢圓設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，P為橢圓上一點，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．(1)當(dāng)且僅當(dāng)a2≥2b2時，橢圓上存在以P為直角頂點的直角三角形．其中，當(dāng)a2＝2b2時，直角頂點為短軸端點．(2)離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))，e＝eq\f(sinθ,sinα＋sinβ)．(3)|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1＋cosθ)，Seq\s\do8(△PF1F2)＝b2taneq\f(θ,2)．2．雙曲線設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線上一點，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ．(1)離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，e＝eq\f(sinθ,|sinα－sinβ|)．(2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1－cosθ)，Seq\s\do16(△PF1F2)＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))．要點10拋物線焦點弦的相關(guān)結(jié)論已知F是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，PQ為過焦點F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直線的傾斜角為θ．(1)焦點弦長|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦點弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切．(2)P，Q的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積均為定值