《正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性》教案

PAGEPAGE8正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性【教學(xué)目標(biāo)】1．使學(xué)生掌握正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性及其代數(shù)表示形式，理解誘導(dǎo)公式（R）與（R）的幾何意義，體會(huì)正弦函數(shù)的對(duì)稱性.2．在探究過(guò)程中滲透由具體到抽象，由特殊到一般以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生觀察、分析、抽象概括的能力.3．通過(guò)具體的探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)利用信息技術(shù)研究并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生之間合作與交流的意識(shí).【教學(xué)重點(diǎn)】正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性及其代數(shù)表示形式.【教學(xué)難點(diǎn)】用等式表示正弦函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.【教學(xué)方法】教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合.【教學(xué)手段】計(jì)算機(jī)、圖形計(jì)算器（學(xué)生人手一臺(tái)）.【教學(xué)過(guò)程】一、復(fù)習(xí)引入1.展示生活實(shí)例對(duì)稱在自然界中有著豐富多彩的顯現(xiàn)，各種對(duì)稱圖案、對(duì)稱符號(hào)也都十分普遍（見(jiàn)下圖）.2．復(fù)習(xí)對(duì)稱概念初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的有關(guān)概念：軸對(duì)稱圖形——將圖形沿一條直線折疊，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合；中心對(duì)稱圖形——將圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得圖形與原圖形重合.3．作圖觀察請(qǐng)同學(xué)們用圖形計(jì)算器畫出正弦函數(shù)的圖象（見(jiàn)右圖），仔細(xì)觀察正弦曲線是否是對(duì)稱圖形？是軸對(duì)稱圖形還是中心對(duì)稱圖形？4．猜想圖形性質(zhì)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單交流后，能夠發(fā)現(xiàn)正弦曲線既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，并能夠猜想出一部分對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.（教師點(diǎn)評(píng)并板書）如何檢驗(yàn)猜想是否正確？我們知道，誘導(dǎo)公式（R），刻畫了正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而（R），刻畫了余弦曲線關(guān)于軸對(duì)稱.從這兩個(gè)特殊的例子中我們得到一些啟發(fā)，如果我們能夠用代數(shù)式表示所發(fā)現(xiàn)的對(duì)稱性，就可以從代數(shù)上進(jìn)行嚴(yán)格證明.今天我們利用圖形計(jì)算器來(lái)研究正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性.（板書課題）二、探究新知分為兩個(gè)階段，第一階段師生共同探討正弦曲線的軸對(duì)稱性質(zhì)，第二階段學(xué)生自主探索正弦曲線的中心對(duì)稱性質(zhì).（一）對(duì)于正弦曲線軸對(duì)稱性的研究第一階段，實(shí)例分析——對(duì)正弦曲線關(guān)于直線對(duì)稱的研究.1．直觀探索——利用圖形計(jì)算器的繪圖功能進(jìn)行探索請(qǐng)同學(xué)們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫出正弦曲線和直線的圖象，選擇恰當(dāng)窗口并充分利用畫圖功能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索研究（見(jiàn)右圖），在直線兩側(cè)正弦函數(shù)值有什么變化規(guī)律？給學(xué)生一定的時(shí)間操作、觀察、歸納、交流，最后得出猜想：當(dāng)自變量在左右對(duì)稱取值時(shí)，正弦函數(shù)值相等.從直觀上得到的猜想，需要從數(shù)值上進(jìn)一步精確檢驗(yàn).2．?dāng)?shù)值檢驗(yàn)——利用圖形計(jì)算器的計(jì)算功能進(jìn)行探索請(qǐng)同學(xué)們思考，對(duì)于上述猜想如何取值進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)?教師組織學(xué)生通過(guò)合作的方式，對(duì)稱地在左右自主選取適當(dāng)?shù)淖宰兞?，并?jì)算函數(shù)值,對(duì)結(jié)果進(jìn)行列表比較歸納.同時(shí)為沒(méi)有思路的學(xué)生準(zhǔn)備參考表格如下：…………給學(xué)生一定的時(shí)間進(jìn)行思考、操作，根據(jù)情況進(jìn)行指導(dǎo)并組織學(xué)生進(jìn)行交流，然后請(qǐng)一組學(xué)生說(shuō)明他們的研究過(guò)程.學(xué)生可以采用不同的數(shù)據(jù)采集方法，得到的結(jié)果如下列圖表（表格中函數(shù)值精確到0.001）：………-0.4160.0710.5400.87810.8780.5400.071-0.416…上述計(jì)算結(jié)果，初步檢驗(yàn)了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.請(qǐng)同學(xué)們利用前面得到的數(shù)據(jù)，用圖形計(jì)算器描點(diǎn)畫圖（見(jiàn)下圖），然后進(jìn)行觀察比較，思考點(diǎn)P和P′在平面直角坐標(biāo)系中有怎樣的位置關(guān)系？根據(jù)畫圖結(jié)果，可以看出，點(diǎn)P和P′關(guān)于直線對(duì)稱.這樣，正弦曲線關(guān)于直線對(duì)稱，可以用等式（R）表示.這樣的計(jì)算是有限的，并受到精確度的影響，還需要對(duì)等式進(jìn)行嚴(yán)格證明.3．嚴(yán)格證明——證明等式對(duì)任意R恒成立請(qǐng)同學(xué)們思考，證明等式的基本方法有哪些？所要證的等式左右兩端有何特征？有可能選用什么樣的公式？預(yù)案一：根據(jù)誘導(dǎo)公式，有.預(yù)案二：根據(jù)公式和，有.預(yù)案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標(biāo)系中，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，角和的終邊總是關(guān)于軸對(duì)稱（見(jiàn)右圖），他們的正弦值恒相等.這樣我們就證明了等式對(duì)任意R恒成立，也就證明了正弦曲線關(guān)于直線對(duì)稱.事實(shí)上，誘導(dǎo)公式也可以由等式推出，即這兩個(gè)等式是等價(jià)的.因此，正弦曲線關(guān)于直線對(duì)稱，是誘導(dǎo)公式（R）的幾何意義.階段小結(jié)：我們從幾何直觀獲得啟發(fā)，又通過(guò)數(shù)據(jù)計(jì)算進(jìn)一步檢驗(yàn)，得出正弦曲線關(guān)于直線對(duì)稱可以用等式（R）表示，通過(guò)對(duì)這一等式的嚴(yán)格證明，證實(shí)了我們猜想的正確性.上述等式與誘導(dǎo)公式（R）的等價(jià)性，使我們對(duì)這一誘導(dǎo)公式有了新的理解.第二階段，抽象概括——探索正弦曲線的其他對(duì)稱軸.師生、生生交流，步步深入.問(wèn)題一：正弦曲線還有其他對(duì)稱軸嗎？有多少條對(duì)稱軸？對(duì)稱軸方程形式有什么特點(diǎn)？可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)圖象最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)且垂直于軸的直線都是正弦曲線的對(duì)稱軸（教師利用課件演示），則對(duì)稱軸方程的一般形式為：（Z）.問(wèn)題二：能用等式表示“正弦曲線關(guān)于直線（Z）對(duì)稱”嗎？根據(jù)前面的研究，上述對(duì)稱可以用等式（Z，R）表示.請(qǐng)學(xué)生證明上述等式，然后組織學(xué)生交流證明思路.證明預(yù)案：.（二）對(duì)于正弦曲線中心對(duì)稱性的研究我們已經(jīng)知道正弦函數(shù)（R）是奇函數(shù)，即（R），反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.那么，正弦曲線還有其他對(duì)稱中心嗎？請(qǐng)同學(xué)們參照軸對(duì)稱的研究方法，小組合作進(jìn)行研究.第一階段，對(duì)正弦曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的研究.1．直觀探索——從圖象上探索在點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值的變化規(guī)律.2．?dāng)?shù)值檢驗(yàn)——在左右對(duì)稱地選取一組自變量，計(jì)算函數(shù)值并列表整理.3．嚴(yán)格證明——證明等式對(duì)任意R恒成立.預(yù)案一：根據(jù)誘導(dǎo)公式，有.預(yù)案二：根據(jù)誘導(dǎo)公式和，有.預(yù)案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標(biāo)系中，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，角和的終邊總是關(guān)于軸對(duì)稱（見(jiàn)右圖），他們的正弦值互為相反數(shù).事實(shí)上，等式與誘導(dǎo)公式是等價(jià)的.這樣，正弦曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是誘導(dǎo)公式（R）的幾何意義.第二階段，探索正弦曲線的其它對(duì)稱中心.請(qǐng)同學(xué)嘗試解決下列三個(gè)問(wèn)題：1．歸納正弦函數(shù)圖象對(duì)稱中心坐標(biāo)的一般形式.正弦函數(shù)圖象對(duì)稱中心坐標(biāo)的一般形式為：（Z）（教師利用課件演示）.2．用等式表示“正弦曲線關(guān)于點(diǎn)（Z）對(duì)稱”.上述對(duì)稱可以用等式（Z，R）表示.3．證明歸納出的等式.（根據(jù)課堂情況可以由學(xué)生課后完成證明）三、課堂小結(jié)1．課堂小結(jié)（1）知識(shí)上：得出了正弦函數(shù)圖象對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo)的一般形式，研究了對(duì)稱性的代數(shù)表示形式，并利用誘導(dǎo)公式完成了嚴(yán)格的理論證明.在研究的過(guò)程中，對(duì)誘導(dǎo)公式與（R）有了新的理解，感受了正弦函數(shù)的對(duì)稱性以及數(shù)和形的辨證統(tǒng)一.（2）方法上：直觀→抽象，特殊→一般，體驗(yàn)了觀察—?dú)w納—猜想—嚴(yán)格證明的研究方法.2．作業(yè)（1）總結(jié)課上的研究過(guò)程和方法，嘗試研究余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，并結(jié)合自己的研究過(guò)程和結(jié)論寫出研究報(bào)告，與其他同學(xué)交流收獲.（2）找一個(gè)一般函數(shù)，如，R，研究它的圖象及對(duì)稱性；并與正弦函數(shù)的圖象及對(duì)稱性進(jìn)行比較.（3）思考：如何用等式表示函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，以及關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱？（4）嘗試證明函數(shù)的圖象分別關(guān)于直線和直線對(duì)稱.【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】1．關(guān)于教學(xué)內(nèi)容正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的大部分性質(zhì)是借助函數(shù)圖象進(jìn)行研究的．但是，在本章第五節(jié)中，借助單位圓中的三角函數(shù)線已經(jīng)研究了它們的四個(gè)重要性質(zhì)，并歸納為四組誘導(dǎo)公式，其中公式三、四、五分別刻畫了兩個(gè)函數(shù)圖象的一部分對(duì)稱性，奇偶性只是特殊的對(duì)稱性.因此，本課時(shí)以正弦函數(shù)為例補(bǔ)充研究圖象的對(duì)稱性，從函數(shù)圖象的特征出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器自主探索，并最終發(fā)現(xiàn)與誘導(dǎo)公式的聯(lián)系.通過(guò)本課時(shí)的教學(xué)，可以使學(xué)生在進(jìn)一步掌握?qǐng)D象特征的同時(shí)，加深對(duì)正弦函數(shù)及其誘導(dǎo)公式的理解，既是對(duì)以前所學(xué)知識(shí)的梳理，也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)和理解“由已知三角函數(shù)值求角”奠定基礎(chǔ).2．關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)本課時(shí)我采用啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探索相結(jié)合的教學(xué)方法.在回顧舊知識(shí)的基礎(chǔ)上提出新的研究問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從形象思維逐步過(guò)度到抽象思維，突破教學(xué)難點(diǎn).教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖如下：中心對(duì)稱的研究軸對(duì)稱的研究中心對(duì)稱的研究軸對(duì)稱的研究實(shí)例分析抽象概括實(shí)例分析抽象概括幾何探索數(shù)值檢驗(yàn)理論證明幾何探索數(shù)值檢驗(yàn)理論證明正弦曲線的對(duì)稱性通過(guò)引導(dǎo)學(xué)