重構數與運算一致性形成結構化知識體系

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出數與運算之間有密切的關聯，數的概念本質上具有一致性，數的運算本質上具有一致性，并對數與運算的教學提出了新的要求。教師應在課程標準理念的指導下，探索“數的認識”和“數的運算”知識體系的構建策略。關鍵詞：數與運算一致性；結構化；知識體系《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）增加了“數與運算一致性”的內容，這對教材編寫和教學體系設計的影響尤其深遠。因為這不是對課程內容做簡單的補充，而是對整個小學階段“數的認識”和“數的運算”知識體系的根本變革。教師可以從當前數與運算一致性的底層邏輯分析入手，探討新課標中這種變革的必要性和可行性，并探索在這一理念下對“數的認識”和“數的運算”知識體系的構建策略。一、數與運算一致性的底層邏輯數與運算一致性包括三個方面的內容：一是數的概念的一致性；二是數的運算的一致性；三是數的認識與運算的一致性。數與運算的教學能否做到一致性？數與運算的教學怎樣做到一致性？這是亟待解決的兩個問題。（一）數與運算的教學能否做到一致性首先，數的產生和發(fā)展離不開運算，數的認識與運算具有一致性。古人在勞動實踐中創(chuàng)造了簡單的幾個自然數，并逐漸產生了“加法”的運算。通過“加法”的運算擴充了自然數的范圍，并進一步產生了“減法”“乘法”和“除法”運算。其中，“減法”運算為“0”和“負數”的產生提供了契機?！俺ā边\算促進了“分數”的產生。由于分數在計算和比較時不太方便，因此誕生了小數。其次，整數、分數、小數的構成都是以計數單位為基礎的，有了這個基礎，數的概念教學的一致性便有了自然的邏輯結構。最后，所有的運算都是以加法運算為基礎的，所以加減乘除四則運算在算理上有共同的邏輯本源，數的運算之間具有一致性。（二）數與運算的教學怎樣做到一致性數與運算的一致性可以通過以下教學方法達成：一是將“計數單位”確定為核心理念；二是將運算的意義以及基礎運算規(guī)律（五個運算定律和等式特性）作為計算的邏輯基礎；三是將兩個基本事實（加法口訣和乘法口訣）作為算法的起點；四是把數的意義理解為計數單位的疊加，把數的運算歸結為計數單位的運算和計數單位數量的運算。二、數的概念一致性的教學策略數的概念的教學以“計數單位”為核心概念，將數的認識歸結為計數單位的累加。根據這個要點，數的概念的教學，一定要凸顯計數單位的核心地位，通過幫助學生建立計數單位的概念，再通過計數單位來認識數，形成數感。（一）“一”是所有計數單位的基礎當我們提到計數單位時，很多教師腦海里一定會涌現出“十、百、千、萬……”“十分之一、百分之一、千分之一……”“二分之一、三分之一、四分之一……”，然而對“一”這個計數單位卻似乎并不重視。事實上，其他的計數單位都是通過“一”得出的，通過“一”的累積，形成整數的計數單位，通過對“一”的均分，形成分數（小數）的計數單位?！耙弧笔撬杏嫈祮挝坏幕A，計數單位“一”把整數、小數、分數的計數單位連成一個整體。所以，在教學“10以內數的認識”時，教師應讓學生體會“所有的整數都可以分解成若干個‘一”“‘一的不斷累加可以產生各種不同大小的整數”的含義。（二）“十的認識”是數的認識的一次飛躍“十的認識”這一課，對于引導學生體會計數單位在數的認識和表示上的作用，初步理解“位值制”計數法的原理非常關鍵。而傳統(tǒng)的教學沒能注意到這一要點，只是將“十的認識”與“十以內各數的認識”等同起來教學。為了改變這一現狀，筆者將“十的認識”這一課做了如下重構。教師先向學生呈現教材上的主題圖，然后詢問：“圖中有幾位孩子？（9位）請在計數器上用珠子表示?！睅煟涸偌由侠蠋煟还灿卸嗌偃?？（10個）你會用數來表示嗎？師：為什么9只要寫一個數字，而10卻要寫兩個數字？（教師組織學生討論：為什么不再另外創(chuàng)造一個符號來表示“十”）通過討論，學生明白了：如果數字“十”用一個符號來表示，那么“十一、十二、十三……”也要用單獨的符號來表示，這樣就需要記住很多符號，很不方便。接著，教師通過與學生一起在只有一個擋位的計數器上撥珠子表示“十、十一、十二……”，讓學生進一步體會：在一個檔位上撥太多的珠子，在計數上很不方便。所以人們就規(guī)定：計數器上的一個檔位最多只能撥9個珠子，如果要表示更大的數，就得在左邊增加一個檔位，原來的檔位叫做“個位”，新增加的檔位叫做“十位”。師：現在誰知道“十”在計數器上該如何表示？生：在個位上撥9個，在十位上撥1個，合起來一共是10個。生：只要在十位上撥1個珠子就可以了。師：你認為哪種方法更好，為什么？經過交流，學生了解到：盡管第一個學生的方法能用于表示超過十的數，但是數值越大，需要的珠子就越多，所以對于表示一個很大的數就不十分方便。而通過第二個學生的方法，只需用十位的一個珠子替代個位的10個珠子，便可表示更大的數，這樣就無需準備大量的珠子了。教師通過在計數器上撥珠，可以使學生明白“為什么9只要寫一個數字來表示，而10卻要寫兩個數字來表示”的道理。這樣，學生會自然地明白“十進制計數法”的原理，理解“位值制”計數法的優(yōu)越性。（三）基于“數量”引入分數，通過“計數單位”理解分數現行人教版數學教材是通過“率”來引入分數的，在認識分數的過程中淡化“計數單位”的作用，這與整數、小數的認識不太一致。為此，筆者對“分數的認識”這一單元做了如下重構?！菊J識幾分之一】師：把1塊月餅平均分給兩個人，每個人能得到多少塊月餅？生：半個。師：把1塊月餅平均分給三個人，每個人能得到多少塊月餅？生：小半個。師：把1塊月餅平均分給四個人，每個人能得到多少塊月餅？生：小小半個。隨著情境的繼續(xù)，學生發(fā)現，用生活中的“半個”“小半個”“小小半個”無法準確地表示分到月餅的數量，那到底該用什么數來表示每人分到的個數呢？通過對以上問題的探討，教師自然地引入一種新的數——分數，體現了數是對數量的抽象，與整數的認識相一致?！菊J識幾分之幾】1.媽媽、小明和爸爸一起吃一塊比薩。2.你能在下面的線段上找到媽媽、小明和爸爸吃的塊數嗎？你還能找到哪些數？以上教學使學生明白：分數也是用來表示數量多少的，分數也是可以“數”出來的，分數也是可以用“數線”上的點來表示的，分數也是可以和整數比較大小的。由此，分數與整數在意義、結構和研究方法等方面都是一致的。三、數的運算一致性的教學策略（一）數的加減運算的一致性在數的加減運算教學中，無論是教材還是課堂實踐都做到了一致性。例如，在教學中教師通常都會引導學生將整數、小數、分數加減運算的算理、算法進行比較。學生需要明白，無論是在整數加減中的“數位對齊”、小數加減中的“小數點對齊”，或者是分數加減中的“通分”，都有相同的核心要領，就是“相同的計數單位上的個數相加減，計數單位保持不變。”（二）數的乘法運算的一致性與數的乘法運算一致的算法是：計數單位乘以計數單位，計數單位上的個數相乘。為了讓學生理解其道理，教師需要分兩個方面來引導他們進行探討：一是計數單位乘以計數單位怎么算。整數的計數單位相乘可以通過“數數”的過程來理解。例如，對于“一個一個地數，10個一是1個十”“一十一十地數，10個十是1個百”“一百一百地數，10個百是1個千”……教師可以繼續(xù)引導學生用算式來表示這些結論：“1×10=10”“10×10=100”“10×100=1000”……小數、分數的計數單位相乘可以借助“面積模型”來理解。例如，求下列陰影部分小長（正）方形的面積。二是為什么計數單位乘以計數單位作積的計數單位，計數單位上的個數相乘作積的計數單位的個數。需要以下三節(jié)“關鍵課”來學習?！菊當党艘哉當怠苛昙壨瑢W舉行藝術隊列表演活動，一共有30列，每列20人，參加藝術隊列表演的同學一共有多少人？師：你會列算式嗎？（30×20）師：到底有多少個人呢？逐個計數實在太麻煩，應該怎么數呢？（以百為單位來計數）師：在點子圖里圈一圈、數一數。師：說一說你是怎么數的。生：按10行10列為一塊，每塊有10×10=100個；30里面有3個10，一行分成3塊；20里面有2個10，一列有2塊；用3×2算出一共有6塊；每塊100個，所以有600個。根據學生的回答，教師適時進行以下板書?！拘党艘孕怠块L方形玻璃的長是0.3米，寬是0.2米，求長方形玻璃的面積。教師同樣也是引導學生將長方形分割成3×2個邊長為0.1米的小正方形，先計算一個小正方形的面積為0.1×0.1=0.01（m2），再算3×2=6（塊），最后算6×0.01=0.06（m2）?！痉謹党艘苑謹怠糠謹党艘苑謹档慕虒W方法與小數乘以小數相同。通過對乘法運算的算理、算法的重構，教師可引導學生發(fā)現整數、小數、分數乘法運算在思想方法上的一致性：都要先用兩個因數的計數單位相乘得到積的計數單位，再用兩個因數各自計數單位的個數相乘得到積的計數單位的個數，最后根據數的意義將積的計數單位個數和計數單位相乘，得到最后的積。（三）數的除法運算的一致性根據除法是乘法的逆運算，很容易得出除法運算的一致性算法：計數單位除以計數單位作商的計數單位，計數單位上的個數相除作商的計數單位個數。但是，在實際教學中還有一些細節(jié)需要處理。二是計數單位的個數除不盡的情況。例如，0.07÷3，計算時會出現7÷3除不盡的情況，這就需要在認識小數之后學習“整數除以整數得小數”這一關鍵課。這一課