人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修三講義)第10講7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列(學(xué)生版+解析)

第03講7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過具體案例，了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)。2.通過具體案例，了解兩點(diǎn)分布的概念及特點(diǎn)。3.會(huì)求離散型隨機(jī)變量的分布列及兩點(diǎn)分布列的相關(guān)量。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的離散型隨機(jī)變量的分布列，能應(yīng)用分布列的相關(guān)性質(zhì)求問題中的相關(guān)量，會(huì)應(yīng)用兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)解決與兩點(diǎn)分布有關(guān)的問題知識(shí)點(diǎn)01：離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量的定義一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，我們稱為隨機(jī)變量．表示：用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，如，，；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，如，，．特征：隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，隨機(jī)變量有如下特征：①取值依賴于樣本點(diǎn)．②所有可能取值是明確的．（2）隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系共同點(diǎn)：隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射區(qū)別:隨機(jī)變量把試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)聯(lián)系：試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)與函數(shù)的值域；注意：所有隨機(jī)變量的取值范圍的集合叫做隨機(jī)變量的值域.（3）離散型隨機(jī)變量的定義對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，如果可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的特征：①可用數(shù)值表示；②試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；③試驗(yàn)之前不能確定取何值；④試驗(yàn)結(jié)果能一一列出；⑤本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值（4）連續(xù)型隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.知識(shí)點(diǎn)02：離散型隨機(jī)變量的分布列（1）離散型隨機(jī)變量的分布列的定義一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為，，…，，我們稱取每一個(gè)值的概率，為的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．①解析式法：i,②表格法：…………③圖象法:（2）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①，②注意：①.列出隨機(jī)變量的所有可能取值；②.求出隨機(jī)變量的每一個(gè)值發(fā)生的概率.【即學(xué)即練1】1．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，所以.故選：D知識(shí)點(diǎn)03：兩點(diǎn)分布對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用表示“成功”,

表示“失敗”,定義如果，則，那么的分布列如下所示：01我們稱服從兩點(diǎn)分布或者分布.【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)榈姆植剂蟹膬牲c(diǎn)分布，所以，又，所以，所以，所以.故選：A.知識(shí)點(diǎn)04：寫離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟(1)找：理解并確定的意義，找出隨機(jī)變量X的所有可能的取值()(2)求：借助概率的有關(guān)知識(shí)求出隨機(jī)變量X取每一個(gè)值的概率()注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)(3)列：列出表格并檢驗(yàn)所求的概率是否滿足分布列的兩條性質(zhì).注意：寫出分布列時(shí)要注意將化為最簡(jiǎn)分式形式，但是在利用檢驗(yàn)分布列是否正確時(shí)可利用化簡(jiǎn)前的分式結(jié)果.題型01隨機(jī)變量【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋中有2個(gè)黑球、5個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到的球的個(gè)數(shù) B．取到紅球的個(gè)數(shù)C．至少取到一個(gè)紅球 D．至少取到一個(gè)紅球的概率【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是（）A．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和B．兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)C．第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)之差D．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)【典例3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）在下列表述中不是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量；

②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某籃球下降過程中離地面的距離；

④某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X．A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有個(gè)黑球個(gè)紅球，任取個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性【變式2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率【變式3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)黑球、3個(gè)白球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．至少取到1個(gè)黑球 B．取到黑球的個(gè)數(shù)C．至多取到1個(gè)黑球 D．取到的球的個(gè)數(shù)題型02分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)某種疫苗試驗(yàn)的失敗率是成功率的5倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則等于（

）A．0 B． C． D．1【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）隨機(jī)變量ξ的分布列如下：其中，則等于（

）A． B．C． D．【典例3】（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）隨機(jī)變量的分布列如下表所示：12340.10.3則.【典例4】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則m的值為.0123【變式1】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量X的分布列為（），其中是常數(shù)，則（

）A． B．C． D．以上均不正確【變式3】（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則常數(shù).【變式4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則.題型03求離散型隨機(jī)變量的分布列【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某縣教育局從縣直學(xué)校推薦的6名教師中任選3人去參加進(jìn)修活動(dòng)，這6名教師中，語文、數(shù)學(xué)、英語教師各2人．(1)求選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；(2)設(shè)X表示選出的3人中數(shù)學(xué)教師的人數(shù)，求X的分布列．【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2，3需要調(diào)整的概率分別為0.1，0.2，0.2，各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立．(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．【典例3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某食堂為了了解同學(xué)們?cè)诟叻迤诖蝻埖臅r(shí)間，故安排一名食堂阿姨隨機(jī)收集了在食堂某窗口打飯的100位同學(xué)的相關(guān)數(shù)據(jù)(假設(shè)同學(xué)們打飯所用時(shí)間均為下表列出時(shí)間之一)，如下表所示.學(xué)生數(shù)(人)x25y10打飯時(shí)間(秒/人)10152025已知這100位同學(xué)的打飯時(shí)間從小排到大的第65百分位數(shù)為17.5秒．(1)確定x，y的值；(2)若各學(xué)生的結(jié)算相互獨(dú)立，記X為該窗口開始打飯至20秒末已經(jīng)打飯結(jié)束的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列．(注：將頻率視為概率)【典例4】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個(gè)階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．(1)甲、乙、丙三人中，哪個(gè)人進(jìn)入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為，求p的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）學(xué)校舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的.已知小明每次投籃投中的概率都是.(1)求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；(2)求小明在4次投籃后的總得分ξ的分布列【變式2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知新高考數(shù)學(xué)共4道多選題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是每題滿分5分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選或不選的得0分．每道多選題共有4個(gè)選項(xiàng)，正確答案往往為2項(xiàng)或3項(xiàng).為了研究多選題的答題規(guī)律，某數(shù)學(xué)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)：多選題正確答案是“選兩項(xiàng)”的概率為，正確答案是“選三項(xiàng)”的概率為.現(xiàn)有學(xué)生甲、乙兩人，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很差，多選題完全沒有思路，只能靠猜.(1)已知某題正確答案是“選兩項(xiàng)”，求學(xué)生甲不得0分的概率；(2)學(xué)生甲的答題策略是“猜一個(gè)選項(xiàng)”，學(xué)生乙的策略是“猜兩個(gè)選項(xiàng)”，試寫出甲、乙兩名學(xué)生得分的分布列.【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)求隨機(jī)變量的分布列.【變式4】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識(shí)竟答活動(dòng)，根據(jù)答題得分情況評(píng)選出一二三等獎(jiǎng)若干，為了解不同性別學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動(dòng)的高一學(xué)生，獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：性別人數(shù)獲獎(jiǎng)人數(shù)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)男生200101515女生300252540假設(shè)所有學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立．(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)的概率；(2)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，以X表示這2名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列題型04由隨機(jī)變量分布列求概率【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為X01234P0.150.150.150.25m若隨機(jī)變量，則等于（）A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：X123Pm則，．【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列，則的值為（

）A．1 B． C． D．【變式2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機(jī)變量，則（

）．A． B． C． D．【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表：X1234Pm則．題型05兩個(gè)相關(guān)隨機(jī)變量的分布列【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量的分布列如表所示．0123(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）隨機(jī)變量的取值范圍是{1，2，3，4，5}，且．則Y的取值范圍是．【變式2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）某快餐店的小時(shí)工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1小時(shí)獲取30元．從該快餐店中任意抽取一名小時(shí)工，設(shè)其月工作時(shí)間為X小時(shí)，獲取的稅前月工資為Y元．(1)當(dāng)時(shí)，求Y的值；(2)寫出X與Y之間的關(guān)系式；(3)若，求的值．題型06兩點(diǎn)分布【典例1】（2023上·江西吉安·高三江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，，那么.【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，則；若，則.【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒有獎(jiǎng)品．顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列．【變式1】（2023下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，那么．【變式2】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）從裝有個(gè)白球和個(gè)紅球的口袋中任取個(gè)球，用表示“取到的白球個(gè)數(shù)”，則的取值為或，即，求隨機(jī)變量的概率分布．【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）擲一顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù).(1)求點(diǎn)數(shù)X的分布；(2)只關(guān)心點(diǎn)數(shù)6是否出現(xiàn).若出現(xiàn)，則記，否則記.求Y的分布.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為，那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（

）A．2枚都是4點(diǎn)B．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)C．2枚都是2點(diǎn)D．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)3．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若隨機(jī)變量的分布列如表，則的值為（

）1234A． B． C． D．5．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是（

）A．第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn) B．第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)C．第一枚2點(diǎn)，第二枚6點(diǎn) D．第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn)6．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，我國(guó)古代珠算算具算盤每個(gè)檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個(gè)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）泊松分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.已知某線路每個(gè)公交車站臺(tái)的乘客候車相互獨(dú)立，且每個(gè)站臺(tái)候車人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，若該線路某站臺(tái)的候車人數(shù)為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個(gè)站臺(tái)各有1個(gè)乘客候車的概率為（

）A． B． C． D．8．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下，則等于（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．1010．（2023下·河南周口·高二校聯(lián)考期中）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為12460.20.1則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．三、填空題11．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）離散型隨機(jī)變量X的概率分布中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y代替，其概率分布如下：X123456P0.200.10x0.10y0.20則等于.12．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量X的概率分布列為，k＝1，2，3，則.四、解答題13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為，k=1，2，3，4，其中c為常數(shù)，求的值．14．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應(yīng)屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績(jī)通過了某重點(diǎn)大學(xué)的初試，即將參加該重點(diǎn)大學(xué)組織的復(fù)試．已知甲，乙，丙三名同學(xué)通過復(fù)試的概率分別為，，p，復(fù)試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學(xué)都沒有通過復(fù)試的概率為．(1)求p的值；(2)設(shè)甲，乙，丙三名同學(xué)中通過復(fù)試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．B能力提升1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高二東北師大附中校考期末）某商場(chǎng)為了促銷規(guī)定顧客購(gòu)買滿500元商品即可抽獎(jiǎng)，最多有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎(jiǎng)金，若沒有抽中，則停止抽獎(jiǎng)．顧客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎(jiǎng)金，結(jié)束抽獎(jiǎng)；也可選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)，若沒有抽中，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，結(jié)束抽獎(jiǎng)．小李購(gòu)買了500元商品并參與了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，己知他每次抽中的概率依次為，如果第一次抽中選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)的概率為，第二次抽中選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)的概率為，且每次是否抽中互不影響．(1)求小李第一次抽中且所得獎(jiǎng)金歸零的概率；(2)設(shè)小李所得獎(jiǎng)金總數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列．2．（2023下·浙江·高二校聯(lián)考期末）北京時(shí)間4月30日晩，2023年國(guó)際象棋世界冠軍賽在哈薩克斯坦首都阿斯塔納閉幕，來自溫州的國(guó)際象棋男子特級(jí)大師丁立人最終擊敗涅波姆尼齊亞，加冕世界棋王.這是中國(guó)棋手首次奪得國(guó)際象棋男子世界冠軍.某小學(xué)為了提高同學(xué)學(xué)習(xí)國(guó)際象棋的興趣，舉行了二年級(jí)國(guó)際象棋男子團(tuán)體賽，各班級(jí)均可以報(bào)送一支5人隊(duì)伍.比賽分多輪進(jìn)行，每輪比賽每隊(duì)都需選定4名選手，每輪比賽選手可不同.比賽沒有平局，每輪比賽結(jié)束，得勝班級(jí)得1分，反之0分.晉級(jí)賽規(guī)則如下：第一輪隨機(jī)為各隊(duì)伍匹配對(duì)手；從第二輪比賽開始，積分相同的隊(duì)伍之間再由抽簽決定對(duì)手.具體比賽程序如下圖.這樣進(jìn)行三輪對(duì)抗之后，得2分及以上的班級(jí)晉級(jí)，反之淘汰.晉級(jí)的隊(duì)伍再進(jìn)行相應(yīng)的比賽.

(1)二（1）班選派了A，B，C，D，E五名選手，在第一輪比賽中，已知選手A參加了比賽，請(qǐng)列舉出該班級(jí)所有可能的首發(fā)隊(duì)員的樣本空間；(2)現(xiàn)共有8支參賽隊(duì)伍，且實(shí)力相當(dāng)，二（3）班在第一輪比賽輸給了二（4）班，則兩隊(duì)在第三輪重新遇上的概率為多少?(3)某班級(jí)在籌備隊(duì)員時(shí)，班內(nèi)已推選水平較為穩(wěn)定的選手4名，很多同學(xué)紛紛自薦最后一個(gè)名額.現(xiàn)共有5名自薦選手，分別為五級(jí)棋士2名、六級(jí)棋士2名和七級(jí)棋士1名，五、六、七級(jí)棋士被選上的概率分別為0.8，0.6，0.5，最后一名選手會(huì)在這5名同學(xué)中產(chǎn)生.現(xiàn)任選一名自薦同學(xué)，計(jì)算該同學(xué)被選上的概率，并用表示選出的該同學(xué)的級(jí)別，求X的分布列.3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)食品安全的“兩個(gè)責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會(huì)召開之際特別邀請(qǐng)相關(guān)代表建言獻(xiàn)策．為保證政策制定的公平合理性，兩個(gè)部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個(gè)部門分別獨(dú)立地發(fā)出邀請(qǐng)，邀請(qǐng)的名單從專家?guī)熘须S機(jī)產(chǎn)生，兩個(gè)部門均邀請(qǐng)2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請(qǐng)后，專家如約參加會(huì)議．(1)用1，2，3，4代表專家?guī)熘械?位專家，甲、乙分別代表食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門，將兩個(gè)部門邀請(qǐng)的專家及參會(huì)的專家人數(shù)的所有情況繪制成一個(gè)表格，請(qǐng)完成如下表格．

(2)最大似然估計(jì)即最大概率估計(jì)，即當(dāng)時(shí)，概率取得最大值，則X的估計(jì)值為k（，，，…，），其中為X所有可能取值的最大值．請(qǐng)用最大似然估計(jì)法估計(jì)參加會(huì)議的專家人數(shù)．第03講7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過具體案例，了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)。2.通過具體案例，了解兩點(diǎn)分布的概念及特點(diǎn)。3.會(huì)求離散型隨機(jī)變量的分布列及兩點(diǎn)分布列的相關(guān)量。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的離散型隨機(jī)變量的分布列，能應(yīng)用分布列的相關(guān)性質(zhì)求問題中的相關(guān)量，會(huì)應(yīng)用兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)解決與兩點(diǎn)分布有關(guān)的問題知識(shí)點(diǎn)01：離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量的定義一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，我們稱為隨機(jī)變量．表示：用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，如，，；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，如，，．特征：隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，隨機(jī)變量有如下特征：①取值依賴于樣本點(diǎn)．②所有可能取值是明確的．（2）隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系共同點(diǎn)：隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射區(qū)別:隨機(jī)變量把試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)聯(lián)系：試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)與函數(shù)的值域；注意：所有隨機(jī)變量的取值范圍的集合叫做隨機(jī)變量的值域.（3）離散型隨機(jī)變量的定義對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，如果可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的特征：①可用數(shù)值表示；②試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；③試驗(yàn)之前不能確定取何值；④試驗(yàn)結(jié)果能一一列出；⑤本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值（4）連續(xù)型隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.知識(shí)點(diǎn)02：離散型隨機(jī)變量的分布列（1）離散型隨機(jī)變量的分布列的定義一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為，，…，，我們稱取每一個(gè)值的概率，為的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．①解析式法：i,②表格法：…………③圖象法:（2）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①，②注意：①.列出隨機(jī)變量的所有可能取值；②.求出隨機(jī)變量的每一個(gè)值發(fā)生的概率.【即學(xué)即練1】1．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，所以.故選：D知識(shí)點(diǎn)03：兩點(diǎn)分布對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用表示“成功”,

表示“失敗”,定義如果，則，那么的分布列如下所示：01我們稱服從兩點(diǎn)分布或者分布.【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)榈姆植剂蟹膬牲c(diǎn)分布，所以，又，所以，所以，所以.故選：A.知識(shí)點(diǎn)04：寫離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟(1)找：理解并確定的意義，找出隨機(jī)變量X的所有可能的取值()(2)求：借助概率的有關(guān)知識(shí)求出隨機(jī)變量X取每一個(gè)值的概率()注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)(3)列：列出表格并檢驗(yàn)所求的概率是否滿足分布列的兩條性質(zhì).注意：寫出分布列時(shí)要注意將化為最簡(jiǎn)分式形式，但是在利用檢驗(yàn)分布列是否正確時(shí)可利用化簡(jiǎn)前的分式結(jié)果.題型01隨機(jī)變量【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋中有2個(gè)黑球、5個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到的球的個(gè)數(shù) B．取到紅球的個(gè)數(shù)C．至少取到一個(gè)紅球 D．至少取到一個(gè)紅球的概率【答案】B【詳解】選項(xiàng)A的取值是一個(gè)固定的數(shù)字，不具有隨機(jī)性，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B取到紅球的個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的可能取值是0，1，2，故B正確；選項(xiàng)C是一個(gè)事件而非隨機(jī)變量，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中一個(gè)事件的概率值是一個(gè)定值而非隨機(jī)變量，故D錯(cuò)誤．故選：B.【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是（）A．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和B．兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)C．第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)之差D．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)【答案】D【詳解】A中，將一個(gè)骰子擲兩次，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是一個(gè)變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，是一個(gè)隨機(jī)變量．B中，兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)是一個(gè)變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，是一個(gè)隨機(jī)變量．C中，第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是一個(gè)變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，之差也都是隨機(jī)變量，D中，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)不是一個(gè)變量，所以不是隨機(jī)變量．故選：D.【典例3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）在下列表述中不是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量；

②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某籃球下降過程中離地面的距離；

④某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X．A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的【答案】C【詳解】①②④中的隨機(jī)變量可能取的值，我們都可以按一定的次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機(jī)變量；③中的可以取一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量.故選：C【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有個(gè)黑球個(gè)紅球，任取個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性【答案】C【詳解】對(duì)于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為，是常量，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，等出租車的事件是隨機(jī)變量，但無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)是有限個(gè)或可列舉的無限多個(gè)，是離散型隨機(jī)變量，C正確；對(duì)于D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量，D錯(cuò)誤.故選：C.【變式2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率【答案】C【詳解】對(duì)于A，5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，BD也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能為0、1、2是隨機(jī)變量.故選：C【變式3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)黑球、3個(gè)白球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．至少取到1個(gè)黑球 B．取到黑球的個(gè)數(shù)C．至多取到1個(gè)黑球 D．取到的球的個(gè)數(shù)【答案】B【詳解】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項(xiàng)，其中A、C選項(xiàng)是事件，D選項(xiàng)取到球的個(gè)數(shù)是2個(gè)為確定值，ACD錯(cuò)誤；故選：B．題型02分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)某種疫苗試驗(yàn)的失敗率是成功率的5倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則等于（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意得，“”表示試驗(yàn)失敗，“”表示試驗(yàn)成功，成功率為p，失敗率為5p，故X的分布列為：X01P5pp所以，得，所以失敗率為，即．故選：C.【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）隨機(jī)變量ξ的分布列如下：其中，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，且，解得，.故選：D.【典例3】（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）隨機(jī)變量的分布列如下表所示：12340.10.3則.【答案】0.7/【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，，可得，所以．故答案為：0.7【典例4】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則m的值為.0123【答案】/【詳解】依題意，，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，，符合題意，所以m的值為.故答案為：【變式1】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，．故選：A．【變式2】（多選）（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量X的分布列為（），其中是常數(shù)，則（

）A． B．C． D．以上均不正確【答案】ABC【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，則，解得，則.故選：ABC.【變式3】（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則常數(shù).【答案】【詳解】，解得，故答案為：.【變式4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則.【答案】【詳解】，，解得：，.故答案為：.題型03求離散型隨機(jī)變量的分布列【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某縣教育局從縣直學(xué)校推薦的6名教師中任選3人去參加進(jìn)修活動(dòng)，這6名教師中，語文、數(shù)學(xué)、英語教師各2人．(1)求選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；(2)設(shè)X表示選出的3人中數(shù)學(xué)教師的人數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【詳解】（1）從6名老師中選3人的方法種數(shù)有：.數(shù)學(xué)老師多于語文老師的選法有：①1名數(shù)學(xué)，2名英語的選法：種；②2名數(shù)學(xué)的選法有：種.所以數(shù)學(xué)老師多于語文老師的選法有：種.故數(shù)學(xué)老師多于語文老師的概率為：.（2）由題意，的可能取值為：0，1，2.，，.所以的分布列為：0120.20.60.2【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2，3需要調(diào)整的概率分別為0.1，0.2，0.2，各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立．(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．【答案】(1)0.28(2)分布列見解析【詳解】（1）部件1，2都不需要調(diào)整的概率為，則部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率為P＝1－0.72＝0.28；（2）由題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，，0123【典例3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某食堂為了了解同學(xué)們?cè)诟叻迤诖蝻埖臅r(shí)間，故安排一名食堂阿姨隨機(jī)收集了在食堂某窗口打飯的100位同學(xué)的相關(guān)數(shù)據(jù)(假設(shè)同學(xué)們打飯所用時(shí)間均為下表列出時(shí)間之一)，如下表所示.學(xué)生數(shù)(人)x25y10打飯時(shí)間(秒/人)10152025已知這100位同學(xué)的打飯時(shí)間從小排到大的第65百分位數(shù)為17.5秒．(1)確定x，y的值；(2)若各學(xué)生的結(jié)算相互獨(dú)立，記X為該窗口開始打飯至20秒末已經(jīng)打飯結(jié)束的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列．(注：將頻率視為概率)【答案】(1)(2)分布列見解析【詳解】（1）因?yàn)榈?5百分位數(shù)為17.5＝，所以，所以.（2）由已知得打飯時(shí)間為10秒的概率為，打飯時(shí)間為15秒的概率為，打飯時(shí)間為20秒的概率為，打飯時(shí)間為25秒的概率為，由題可知X的可能取值為0，1，2，∴，，，∴分布列如下：X012P0.10.740.16【典例4】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個(gè)階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．(1)甲、乙、丙三人中，哪個(gè)人進(jìn)入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為，求p的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．【答案】(1)乙(2)(3)分布列見解析【詳解】（1）解：甲進(jìn)入決賽的概率為，乙進(jìn)入決賽的概率為，丙進(jìn)入決賽的概率為，因?yàn)?，所以，顯然，乙進(jìn)入決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大.（2）解：因?yàn)榧?、乙、丙三人中恰有兩?duì)進(jìn)入決賽的概率為，則，整理得，解得或，因?yàn)?，所?（3）解：由（2）知，丙進(jìn)入決賽的概率為，所以甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的概率分布為，根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能取值為，可得；，，則，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）學(xué)校舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的.已知小明每次投籃投中的概率都是.(1)求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；(2)求小明在4次投籃后的總得分ξ的分布列【答案】(1)(2)分布列見解析【詳解】（1）設(shè)“小明在投籃過程中直到第三次才投中”為事件，事件說明小明前兩次沒有投中，第三次投中，，小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率為.（2）小明在4次投籃后的總得分ξ的可能取值為0，2，4，6，8，，，，，，則總得分的分布列為：02468【變式2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知新高考數(shù)學(xué)共4道多選題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是每題滿分5分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選或不選的得0分．每道多選題共有4個(gè)選項(xiàng)，正確答案往往為2項(xiàng)或3項(xiàng).為了研究多選題的答題規(guī)律，某數(shù)學(xué)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)：多選題正確答案是“選兩項(xiàng)”的概率為，正確答案是“選三項(xiàng)”的概率為.現(xiàn)有學(xué)生甲、乙兩人，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很差，多選題完全沒有思路，只能靠猜.(1)已知某題正確答案是“選兩項(xiàng)”，求學(xué)生甲不得0分的概率；(2)學(xué)生甲的答題策略是“猜一個(gè)選項(xiàng)”，學(xué)生乙的策略是“猜兩個(gè)選項(xiàng)”，試寫出甲、乙兩名學(xué)生得分的分布列.【答案】(1)；(2)答案見解析.【詳解】（1）某題正確答案是“選兩項(xiàng)”的條件下，他不得0分的情況有兩種：①只選一個(gè)選項(xiàng)得2分的概率為：;②選兩個(gè)選項(xiàng)，得5分的概率為：;所以某題正確答案是“選兩項(xiàng)”的條件下，學(xué)生甲不得0分的概率為：;（2）結(jié)合題意：設(shè)學(xué)生甲得分為,則的可能取值為，;;學(xué)生甲得分的分布列為:02設(shè)學(xué)生乙得分為,則的可能取值為，;;;學(xué)生乙得分的分布列為:02

5【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)求隨機(jī)變量的分布列.【答案】(1)分布列見解析(2)分布列見解析【詳解】（1）由分布列的性質(zhì)知：，解得，列表為X0123410123即隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，可得，，，故的分布列為η0123P0.10.30.30.3（2）列表得X01234014916即隨機(jī)變量的可能取值為0，1，4，9，16.從而的分布列為014916P0.20.10.10.30.3【變式4】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識(shí)竟答活動(dòng)，根據(jù)答題得分情況評(píng)選出一二三等獎(jiǎng)若干，為了解不同性別學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動(dòng)的高一學(xué)生，獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：性別人數(shù)獲獎(jiǎng)人數(shù)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)男生200101515女生300252540假設(shè)所有學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立．(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)的概率；(2)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，以X表示這2名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列【答案】(1)(2)分布列見解析【詳解】（1）設(shè)事件為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)”，則.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2.記事件為“從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，該學(xué)生獲獎(jiǎng)”，事件為“從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，該學(xué)生獲獎(jiǎng)”.由題設(shè)知，事件，相互獨(dú)立，且估計(jì)為估計(jì)為.所以，，.所以的分布列為012題型04由隨機(jī)變量分布列求概率【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為X01234P0.150.150.150.25m若隨機(jī)變量，則等于（）A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【答案】A【詳解】由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3，所以.故選：A.【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令表示前k個(gè)球?yàn)榘浊颍趥€(gè)球?yàn)榧t球，此時(shí)，則．故選：A．【典例3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：X123Pm則，．【答案】//【詳解】由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以.故答案為：；【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列，所以，解得：，.故選：B.【變式2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機(jī)變量，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】由分布列的性質(zhì)可知：解得，由，等價(jià)于，由表可知；故選：A.【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表：X1234Pm則．【答案】【詳解】，.故答案為：題型05兩個(gè)相關(guān)隨機(jī)變量的分布列【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，由，所以.故選：D【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量的分布列如表所示．0123(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)分布列見解析(2)【詳解】（1）由隨機(jī)變量的分布列知，的可能取值為0，1，4，9，則，或，或．可得隨機(jī)變量的分布列如表所示．0149（2）因?yàn)?，，又因?yàn)椋?∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）隨機(jī)變量的取值范圍是{1，2，3，4，5}，且．則Y的取值范圍是．【答案】{3，5，7，9，11}【詳解】因?yàn)榈娜≈捣秶莧1，2，3，4，5}，且，所以的取值范圍是{3，5，7，9，11}．故答案為：{3，5，7，9，11}【變式2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）某快餐店的小時(shí)工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1小時(shí)獲取30元．從該快餐店中任意抽取一名小時(shí)工，設(shè)其月工作時(shí)間為X小時(shí)，獲取的稅前月工資為Y元．(1)當(dāng)時(shí)，求Y的值；(2)寫出X與Y之間的關(guān)系式；(3)若，求的值．【答案】(1)4300(2)(3)0.4【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，表示工作了110個(gè)小時(shí)，所以．（2）由題意得：．（3）因?yàn)?，所以，從?題型06兩點(diǎn)分布【典例1】（2023上·江西吉安·高三江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，，那么.【答案】【詳解】由題意可知，解得.故答案為：.【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，則；若，則.【答案】0.7/0.3/【詳解】因?yàn)榉膮?shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，所以，.當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：0.7，0.3【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒有獎(jiǎng)品．顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列．【答案】分布列見解析【詳解】抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有1和0兩種情況．，則.因此X的分布列為：X01P【變式1】（2023下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，那么．【答案】/0.5【詳解】由題意可知或，由于，所以，故答案為：【變式2】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）從裝有個(gè)白球和個(gè)紅球的口袋中任取個(gè)球，用表示“取到的白球個(gè)數(shù)”，則的取值為或，即，求隨機(jī)變量的概率分布．【答案】分布列見解析【詳解】由題意知，，故隨機(jī)變量的概率分布列如下表所示：01【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）擲一顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù).(1)求點(diǎn)數(shù)X的分布；(2)只關(guān)心點(diǎn)數(shù)6是否出現(xiàn).若出現(xiàn)，則記，否則記.求Y的分布.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）因?yàn)閿S得每個(gè)點(diǎn)數(shù)為等可能事件，所以點(diǎn)數(shù)X的分布為．（2）因?yàn)?，而，所以Y的分布為．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】＋＋＋＝，A錯(cuò)誤；＋＝，B錯(cuò)誤；，C正確；＋＝，D錯(cuò)誤.故選：C2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為，那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（

）A．2枚都是4點(diǎn)B．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)C．2枚都是2點(diǎn)D．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)【答案】D【詳解】A表示的是隨機(jī)試驗(yàn)中的其中一個(gè)結(jié)果，B，C中表示的是隨機(jī)試驗(yàn)中的部分結(jié)果，而D是代表隨機(jī)試驗(yàn)中的所有試驗(yàn)結(jié)果.故選：D.3．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)，則有，解得，故..故選：C.4．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若隨機(jī)變量的分布列如表，則的值為（

）1234A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意可得，所以.故選：A.5．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是（

）A．第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn) B．第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)C．第一枚2點(diǎn)，第二枚6點(diǎn) D．第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn)【答案】A【詳解】由題意知表示第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差，當(dāng)?shù)谝幻?點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)時(shí)，，滿足題意，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)?shù)谝幻?點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)時(shí)，，不滿足，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)?shù)谝幻?點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)時(shí)，，不滿足，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)?shù)谝幻?點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)時(shí)，，不滿足，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A6．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，我國(guó)古代珠算算具算盤每個(gè)檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個(gè)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】方法一：由題意可知，的所有可能取值為，，，則．方法二：由題意可知，的所有可能取值為，，，則．故選：A7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）泊松分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.已知某線路每個(gè)公交車站臺(tái)的乘客候車相互獨(dú)立，且每個(gè)站臺(tái)候車人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，若該線路某站臺(tái)的候車人數(shù)為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個(gè)站臺(tái)各有1個(gè)乘客候車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，即解得，所以，從而，故該線路公交車兩個(gè)站臺(tái)各有1個(gè)乘客候車的概率為.故選：D8．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)可得，即，解得或，時(shí)，不合題意，．故選：B．二、多選題9．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10【答案】ABC【詳解】由隨機(jī)變量的分布列，知：的可能取值為，且，，，，則，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：ABC.10．（2023下·河南周口·高二校聯(lián)考期中）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為12460.20.1則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，若，可得，則，故B正確；對(duì)于C中，由概率的定義知，所以C不正確；對(duì)于D中，由，，則，所以D正確．故選：ABD.三、填空題11．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）離散型隨機(jī)變量X的概率分布中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y代替，其概率分布如下：X123456P0.200.10x0.10y0.20則等于.【答案】/【詳解】由概率分布的性質(zhì)可知隨機(jī)變量的所有取值的概率和為1，則.故答案為:.12．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量X的概率分布列為，k＝1，2，3，則.【答案】/0.5【詳解】由題意知，，所以.故答案為：.四、解答題13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為，k=1，2，3，4，其中c為常數(shù)，求的值．【答案】【詳解】解

由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，所以．解得．所以，．14．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應(yīng)屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)