工程數(shù)學(xué)答案

目錄第一章復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù) 2習(xí)題 2答案與提示 4第二章復(fù)變函數(shù)的積分 7習(xí)題 7答案與提示 9第三章級數(shù) 10習(xí)題 10答案與提示 14第四章留數(shù) 18習(xí)題 18答案與提示 21第五章傅立葉分析 23習(xí)題 23答案與提示 26第六章微分方程 31習(xí)題 31答案與提示 35第七章拉普拉斯變換 38習(xí)題 38答案與提示 44第八章微分方程的級數(shù)解及特征函數(shù) 48習(xí)題 48答案與提示 52第九章偏微分方程 65習(xí)題 65答案與提示 72第十章熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程 75習(xí)題 75答案與提示 79

第一章復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)習(xí)題計算下列復(fù)數(shù)（1），（2），(3)，(4)(5)，(6)，(7)，(8)2.計算下列各復(fù)數(shù)的模與輻角（1），（2），（3），（4），（5），(6)3．把下列各復(fù)數(shù)的寫成極坐標(biāo)表示（1），（2），（3），（4），（5），（6）4.對任意正整數(shù)，說明下列各式成立5.設(shè)，求和6.證明的充分必要條件是是實數(shù)或純虛數(shù)。7.設(shè)和是復(fù)數(shù)，且。如果或，那么。8.對任意的復(fù)數(shù)和，證明。9.求下列復(fù)數(shù)的根（1），（2），（3），（4），（5），（6）10.求下列復(fù)變函數(shù)中和。（1）（2）（3）11.求下列函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)值（1），求。（2），求。（3），求（4），求12.判斷下列函數(shù)的解析性（1）（2）（3）13.下面函數(shù)是調(diào)和函數(shù)？如果是調(diào)和的，求相應(yīng)的解析函數(shù)。（1）（2）（3）（4）14.決定和的值，以便下列函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，并求調(diào)和共軛函數(shù)。（1）（2）（3）（4）

答案與提示1.（1）26-18i，(2)，(3)，(4)(5)，(6)，(7)，(8)。2.（1），，為任意整數(shù)（2），，為任意整數(shù)（3），，為任意整數(shù)（4），，為任意整數(shù)（5），，為任意整數(shù)(6)，，為任意整數(shù)3．（1），（2），（3），（4）（5），（6）4.5.，6.證明：設(shè)。如果，那么。因此，可以得到，也就是或。故是實數(shù)或純虛數(shù)。如果是實數(shù)或純虛數(shù)，那么當(dāng)是實數(shù)時，，成立。當(dāng)是純虛數(shù)時，，，仍然成立。7.證明：因為對任意復(fù)數(shù)，，所以如果或，從上式都可以得到。8.證明：因為。，所以。9.（1）（2）（3）（4）（5）（6）10.（1），（2），（3），11.（1），（2），（3），（4）求12.（1）除在點可導(dǎo)外，在整個復(fù)平面不解析。（2）在整個復(fù)平面是解析的。（3）除在點可導(dǎo)外，在整個復(fù)平面不解析。13.（1）該函數(shù)不是調(diào)和的。（2）該函數(shù)是調(diào)和的，解析函數(shù)為，為實數(shù)。（3）該函數(shù)是調(diào)和的，解析函數(shù)為，為實數(shù)。（4）該函數(shù)不是是調(diào)和的。14.（1），（2），（3），（4），

第二章復(fù)變函數(shù)的積分習(xí)題計算下列線積分（1），為到的最短路徑。（2），為到的最短路徑。（3），為拋物線上到的曲線。（4），為半圓從到的圓周，。（5），為曲線，。（6），為到的直線段。2.計算下列圍線積分（1），為圓周，逆時針。（2），為圓周，逆時針。（3），為圓周，逆時針。（4），由的逆時針和的順時針組成。（5），為任意閉合路徑，逆時針。（6），由的逆時針和的順時針組成。（7），為，利用該題結(jié)果計算。（8），為包含的任意閉合路徑，逆時針。（9），為，逆時針。（10），為，逆時針（11），為，逆時針（12），為橢圓，順時針（13），由逆時針和順時針（14），為逆時針

答案與提示1.（1），（）（2）2，（）（3），（，，，）（4）（5）（6）2.（1）0（柯西定理）（2），（）（3）（柯西積分公式）（4）0，（多連通柯西定理）（5）0，（不包含時）；（包含時）（6）0（多連通柯西定理）（7）（柯西積分公式）；（令，則，直接計算可得）（8）0，（將分解為包含0的圓，包含的圓和包含的圓）（9）（10）（11）（12）（13），（在給定區(qū)域內(nèi)解析）（14）

第三章級數(shù)習(xí)題判斷下列復(fù)數(shù)數(shù)列收斂或發(fā)散，如果收斂，求出極限。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2.判斷下列級數(shù)收斂或發(fā)散，并解釋原因（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3.求下列函數(shù)項級數(shù)的收斂中心及收斂半徑(1)（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）4.求下列函數(shù)的Maclaurin級數(shù)及收斂半徑（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）5.逐項積分被積函數(shù)，求Maclaurin級數(shù)（1）（2）（3）（4）6.求下列函數(shù)在的Taylor級數(shù)及收斂半徑（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）7.求下列函數(shù)的洛朗（Laurent）級數(shù)，并指出收斂區(qū)域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）8.求下列函數(shù)在的Laurent級數(shù)，并給出收斂區(qū)域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）

答案與提示1.（1）該數(shù)列是發(fā)散的，（，）（2）收斂，（）（3）發(fā)散，（）（4）發(fā)散，（無界）（5）收斂，0（6）收斂，0（7）發(fā)散，（無界）（8）發(fā)散，（）（9）發(fā)散，（）（10）發(fā)散，（在與之間振蕩）2.（1）收斂，（比值判別法）（2）發(fā)散，（利用）（3）收斂，（比值判別法）（4）收斂，（利用）（5）發(fā)散，（比值法）（6）收斂，（比值法）（7）收斂，（比值法）（8），發(fā)散，（比值法）3.(1)收斂中心為，收斂半徑（2）收斂中心為，收斂半徑（3）收斂中心為，收斂半徑（4）收斂中心為，收斂半徑（5）收斂中心為，收斂半徑（6）收斂中心為，收斂半徑（7）收斂中心為，收斂半徑（8）收斂中心為，收斂半徑（9））收斂中心為，收斂半徑（10）收斂中心為，收斂半徑（11）收斂中心為，收斂半徑（12）收斂中心為，收斂半徑（13）收斂中心為，收斂半徑4.（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），。5.（1），（2），（3），（4），6.（1），（2），（3），（4），（5），，（6），（7），（8），7.（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），8.（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8）,

第四章留數(shù)習(xí)題求下列函數(shù)在有限平面的極點及留數(shù)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2.計算下列圍線積分（路徑為逆時針方向）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）3.計算下列積分，并給出計算過程（1），（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8），（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）

答案與提示1.（1），（2），0（3），（4），（5），（6），（7），（8），，，（9），（10），2.（1）在內(nèi)，單極點5，留數(shù)-3，單極點-1，留數(shù)4，積分值（2）在內(nèi)，單極點，留數(shù)，積分值（3）在內(nèi)，單極點，留數(shù)1，積分值（4）在內(nèi)，單極點，留數(shù)，單極點，留數(shù)，積分值（5）在內(nèi)，單極點，留數(shù)，3階極點0，留數(shù)，積分值0（6）在內(nèi)，單極點，留數(shù)，積分值（7）在內(nèi)，3階極點，留數(shù)，3階極點，留數(shù)，積分值0（8）在內(nèi)，5階極點0，留數(shù)，積分值（9）在內(nèi)，單極點，留數(shù)，單極點，留數(shù)，積分值（10）在內(nèi)，單極點，留數(shù)2，2極點，留數(shù)，積分值（11）在內(nèi)，單極點，留數(shù)，單極點，留數(shù)，積分值（12）在內(nèi)，單極點，留數(shù)，單極點，留數(shù)，積分值3.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）0（10）上半平面的3階極點為，積分值（11）上半平面的2階極點為，積分值（12）上半平面的2個1階極點為，積分值（13）奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分值為0（14）上半平面的2個1階極點為，，積分值（15）上半平面的3個1階極點為，，，積分值（16）函數(shù)在上半平面的2階極點為，積分值（17）奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分值為0（18）函數(shù)在上半平面的2個1階極點為和，積分值（19）實軸上單極點，上半平面單極點，積分值（20）實軸上單極點，上半平面單極點，積分值（21）實軸上單極點，上半平面單極點，積分值

第五章傅立葉分析習(xí)題求下列函數(shù)的Fourier級數(shù)(1),（2），（3），（4），，（5），，（6），（7），，（8），（9），，（10），（11）求電壓通過半波整流后的Fourier級數(shù)。（12）利用，，的Fourier級數(shù)，證明證明下列的積分（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.將下列函數(shù)用Fourier余弦積分表示（1）（2）（3）（4）（5）（6）4.將下列函數(shù)用Fourier正弦積分表示（1）（2）（3）（4）（5）5.求下列函數(shù)的Fourier余弦變換（1）（2）（3）（4）6.求下列函數(shù)的Fourier變換（1），為實數(shù)（2）（3），（4），為實數(shù)（5）（6）

答案與提示1.(1)為偶函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)镕ourier余弦級數(shù)（2）為奇函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)镕ourier正弦級數(shù)（3）為奇函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)镕ourier正弦級數(shù)（4）為偶函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)镕ourier余弦級數(shù)（5）為偶函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)镕ourier余弦級數(shù)（6）不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)（7）為偶函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)镕ourier余弦級數(shù)（8）是奇函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)镕ourier正弦級數(shù)（9）是奇函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)镕ourier正弦級數(shù)（10）是偶函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)镕ourier余弦級數(shù)（11）電壓通過半波整流后，表示為，電壓通過半波整流后為偶函數(shù)，所以Fourier級數(shù)變?yōu)橛嘞褾ourier級數(shù)。上式中，當(dāng)時，，·（12），的Fourier級數(shù)為該級數(shù)在時，收斂到，所以也就是2.（1）提示：取，計算的Fourier積分（2）提示：取，計算的Fourier正弦積分（3）提示：取，計算的Fourier正弦積分（4）提示：取，計算的Fourier余弦積分（5）提示：取，計算的Fourier正弦積分（6）提示：取，計算的Fourier正弦積分3.（1）（2）（3）因為的Fourier余弦積分為所以（4）（5）（6）4.（1）（2）（3）（4）（5）5.（1）（2）（3）（4），6.（1），提示：求的Fourier變換,并利用性質(zhì)（2）（3）（4），提示：，（5）（6）

第六章微分方程習(xí)題用分離變量法求下列方程的通解（1）（2）(3)(4)（5）2.用積分因子法求解下列方程（1）（2）（3）（4）3.用全微分法求解下列方程（1）（2）（3）（4）4.決定的值，以便下列方程為全微分方程，并給出通解（1）（2）5.用積分因子將方程變換為全微分方程，并求出積分因子和通解6.解下列方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）7.求下列齊次方程的通解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）8．求下列非齊次微分方程的通解（用參數(shù)變分法決定特解）（1）（2）（3）（4）（5）（6）9.求下列非齊次微分方程的通解（用待定系數(shù)法決定特解）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）10.求下列歐拉（Euler）方程的通解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

答案與提示1.（1）(2)(3)(4),和也是方程的奇異解（5），，為任意整數(shù)2.（1）（2）（3）（4）3.（1）（2）（3）（4）4.（1），（2），5.，6.（1）Riccati方程，，（2）Bernoulli方程，，（3）齊次方程，（4）全微分方程，（5）Bernoulli方程，，（6）Bernoulli方程，，（7）Riccati方程，，7.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）8.（1）（2）（3）（4）（5）（6）9.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）10.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

第七章拉普拉斯變換習(xí)題1.求下列函數(shù)的Laplace變換（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2.假設(shè)是的以為周期函數(shù)，證明下列等式（1）（2）（3）（4）3.假設(shè)是以為周期函數(shù)，的定義為求4.求，，的Laplace變換5.求如圖7.20所示函數(shù)的Laplace變換圖7.20題5函數(shù)6.求如圖7.21所示函數(shù)的Laplace變換圖7.21題6函數(shù)7.用Laplace變換求解下列初始值問題（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）8.求下列函數(shù)的Laplace逆變換（1）（2）（3）（4）（5）（6）9，解下列積分方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）10.用Laplace變換求解下列微分方程（1）（2）(3)(4)(5)（6）（7）（8）（9）(10)11.電路如圖7.22所示,用Laplace變換求電路的電流.假設(shè)(a),,(b),,(c),,圖7.22題1112.電路如圖7.23所示,用Laplace變換求電路的電流.假設(shè)(a),,(b),,(c),,圖7.23題1213.電路如圖7.24所示,用Laplace變換求電路的電流.假設(shè),(a),,(b),,(c),,圖7.24題1314.電路如圖7.25所示,用Laplace變換求電路的電流.假設(shè),(a),,,,(b),,,,(c),,,,圖7.25題14

答案與提示1.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7），提示：（8），提示（9），提示：2.（1）（2）令，則有，于是得到（3）將（2）的結(jié)果代入（1）即可。（4）利用，立即得證3.由第2題的（3）知4.是周期為的全波整流函數(shù)，所以5.該函數(shù)的表達式為周期為的函數(shù)，所以Laplace變換6.該函數(shù)的曲線為半波整流，其表達式為周期為的函數(shù)，所以Laplace變換7.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）8.（1）（2）（3）（4）（5）（6）9，（1）（2）（3）（4）（5）（6）10.(1)，提示：，(2)(3)(4)(5)（6）（7）（8）（9）(10)11.(a)(b)(c)12.(a)(b)(c)13.(a)(b)(c)14.(a)(b)(c)

第八章微分方程的級數(shù)解及特征函數(shù)習(xí)題1.用遞推法求解下列方程關(guān)于0點的冪級數(shù)解，并用遞推關(guān)系寫出前5項（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）求出下列方程的兩個線性無關(guān)解，并寫出每一解的前5項（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.說明下面Sturm-Liouville問題在那么些區(qū)間上是正則的，周期的或奇異的，并求出特征值和特征函數(shù)（1）（2）（3）(4)（5）（6）（7）（8）（9）（10）4.利用Legendre多項式的遞推關(guān)系，求，和5.設(shè)是非負整數(shù)，證明下列Legendre多項式及6.當(dāng)時,說明Legendre函數(shù)7.當(dāng)時,說明Legendre函數(shù)8.將下列多項式展開為Fourier-Legendre級數(shù)（1）（2）(3)9.將下列函數(shù)在[-1,1]展開為Fourier-Legendre級數(shù)，并給出5項的系數(shù)。畫出函數(shù)和前5項部分和在相同區(qū)間（）的曲線。展開級數(shù)只是在（-1，1）表示給定的函數(shù)，但直觀上可以看到部分和與給定函數(shù)在區(qū)間之外是不相關(guān)的。（1）（2）（3）（4）（5）（6）10.說明是方程的一個解11.用和的組合,寫出下列方程的通解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)12.使用給定變量替換，將下列方程變換為通解可以用Bessel函數(shù)表示的方程，并給出原方程的通解（1），（2），（3），（4），（5），（6），13.設(shè)是的一個正根，證明14.對任意整數(shù)，證明和15.對任意整數(shù)和，證明和16.求下列函數(shù)在上以函數(shù)展開的Fourier-Bessel級數(shù)的前5項，這里是的第個根。比較前5項的部分和與曲線的差異。（1）（2）（3）（4）（5）（6）17.當(dāng)時，證明對任意的整數(shù)18.證明對任意的整數(shù)

答案與提示1.（1）是任意常數(shù)，，，（2）是任意常數(shù)，，，，（3）是任意常數(shù)，，，（4），是任意常數(shù)，，（5），是任意常數(shù)，，（6），是任意常數(shù)，，（7），是任意常數(shù)，，，（8）是任意常數(shù)，，，（9），是任意常數(shù)，，，，（10），是任意常數(shù)，，2.（1），（2），（3）（4）提示：是任意的常數(shù)，它后面的多項式是方程的解，故?。?），（6）3.（1）區(qū)間上的正則問題，特征值，特征函數(shù)（2）區(qū)間上的正則問題，特征值，特征函數(shù)（3）區(qū)間上的正則問題,,特征函數(shù)(4)區(qū)間上的周期問題,特征值，特征函數(shù)（5）區(qū)間上的周期問題,，特征函數(shù)（6）區(qū)間上的正則問題，特征值，，特征函數(shù)（7）區(qū)間上的正則問題，特征值，，特征函數(shù)（8）區(qū)間上的正則問題，特征值，特征函數(shù)（9）區(qū)間上的正則問題，特征值，特征函數(shù)（10）區(qū)間上的正則問題，特征值，特征函數(shù)4.當(dāng)時，由Legendre多項式的遞推關(guān)系得到類似得到5.考慮下列中和的情形當(dāng)時，，上式變?yōu)椋援?dāng)時，，上式變?yōu)?，所?.提示:利用，立即得到7.提示:利用,立即得到8.（1）（2）（3）9.（1），，，，，；（1）與前5項部分和曲線（2），，，，，；（2）與前5項部分和的曲線（3），，，，，；（3）與前5項部分和的曲線（4），，，；（4）與前5項部分和的曲線（5），，，，；（5）與前5項部分和的曲線（6），，，，；（6）與前5項部分和的曲線10.令，計算將其代入微分方程左邊,并化簡得到由于是Bessel方程的一個解,所以故是方程的一個解11.(1)由，，，，得到，，，方程的通解為(2)由，，，，得到，，，方程的通解為(3)由，，，，得到，，，方程的通解為(4)由，，，，得到，，，方程的通解為(5)由，，，，得到，，，方程的通解為(6)由，，，，得到，，，方程的通解為（7）由，，，，得到，，，方程的通解為12.（1）變換后的方程為，其通解為原方程的通解為（2）變換后的方程為其通解為原方程的通解為（3）變換后的方程為其通解為原方程的通解為（4）變換后的方程為，其通解為原方程的通解為（5）變換后的方程為，其通解為原方程的通解為（6）變換后的方程為，其通解為原方程的通解為13．提示：利用，取，得到令，立即得證。14.提示：利用和，取，兩邊積分，立即得到和15提示：利用14題的結(jié)論，令，立即得證16.（1），，，，，；，，，，；（1）前5項的部分和與的曲線（2），，，，，；，，，，；（2）前5項的部分和與的曲線（3），，，，，；，，，，；（3）前5項的部分和與的曲線（4），，，，，；，，，，；（4）前5項的部分和與的曲線（5），，，，，；，，，，；（5）前5項的部分和與的曲線（6），，，，，；，，，，；前5項的部分和與的曲線17.提示：令，則18.提示：令，則

第九章偏微分方程習(xí)題用分離變量法求解下列波動方程的初始值問題。（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.(7).（8）求解初始邊值問題(1)(2)（3).(4)3.用Fourier變換求解下列初值問題（1）.上式中.（2）.上式中.（3）.上式中.（4）.上式中.（5）.上式中.（6