《數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（第二版）》 課件 第４章　積分及應(yīng)用

積分及應(yīng)用第4章157目錄4.1積分的基本概念4.2積分法4.3定積分的應(yīng)用4.4廣義積分158教學(xué)要求：1.理解定積分的概念及性質(zhì)，能正確使用有關(guān)術(shù)語(yǔ)及符號(hào).2.了解導(dǎo)數(shù)（或微分）與積分的聯(lián)系，理解原函數(shù)的概念，知道積分上限函數(shù)

f（t）dt可導(dǎo)時(shí)，就是f（x）在［a，b］上的一個(gè)原函數(shù).3.掌握微積分學(xué)基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）.4.理解不定積分的概念及性質(zhì)，掌握不定積分的基本公式.5.熟練掌握第一換元積分法.6.掌握第二換元積分法（僅限于簡(jiǎn)單的根式代換和三角代換）.7.熟練掌握不定積分的分部積分法.1598.會(huì)查簡(jiǎn)易積分表.9.掌握用微元法解決一些實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.10.掌握用定積分求平面圖形的面積，能用定積分求繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積.11.了解定積分在其他方面的一些應(yīng)用.12.了解廣義積分的概念和計(jì)算方法.1604.１積分的基本概念161定積分的概念及性質(zhì)定積分的定義要計(jì)算的量（曲邊梯形的面積A及變速直線運(yùn)動(dòng)的路程s）的實(shí)際意義不同（前者是幾何量，后者是物理量），但解決的方法是相同的，都?xì)w結(jié)為求一個(gè)和式的極限．在科學(xué)技術(shù)上有許多實(shí)際問(wèn)題都可以歸結(jié)為某種特定的和式極限．為此，我們給出如下定積分的定義：162163利用定積分的定義，實(shí)例考察中的兩個(gè)問(wèn)題可以表述如下．若f（x）≥0，由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A等于曲邊函數(shù)f（x）在其底所在的區(qū)間[a，b]上的定積分，即變速直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻T1到時(shí)刻T2這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s等于其速度函數(shù)v＝v（t）在時(shí)間區(qū)間[T1，T2]上的定積分，即164165關(guān)于定積分的定義，做以下幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）當(dāng)和式的極限存在時(shí)，其極限值僅與被積函數(shù)f（x）及積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，而與區(qū)間[a，b]的分法及點(diǎn)ξi的取法無(wú)關(guān)．（2）定積分的值與表示積分變量的字母無(wú)關(guān)，即有（3）在定積分的定義中，要求滿足a＜b，為了以后計(jì)算方便起見(jiàn)，對(duì)于a＞b及a＝b的情形，我們給出如下的補(bǔ)充約定定積分的幾何意義我們已經(jīng)知道，如果函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（x）≥0，則定積分

f（x）dx在幾何上表示由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A，即如果函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（x）≤0，此時(shí)由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，則定積分f（x）dx在幾何上表示曲邊梯形面積A的相反數(shù)，即166167如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（x）有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)，則定積分

f（x）dx在幾何上表示曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的幾塊曲邊梯形中，在x軸上方的各曲邊梯形面積之和，減去在x軸下方的各曲邊梯形面積之和．總之，定積分f（x）dx在各種實(shí)際問(wèn)題中所代表的實(shí)際意義雖然不同，但它的數(shù)值在幾何上都可用曲邊梯形面積的代數(shù)和來(lái)表示，這就是定積分的幾何意義．168定積分的幾何意義直觀地告訴我們，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么，由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的各部分面積的代數(shù)和是一定存在的，即f（x）在區(qū)間[a，b]上一定是可積的．另一種情形，當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，f（x）在區(qū)間[a，b]上也一定是可積的．為此，我們有下面兩個(gè)定積分存在定理：定理1設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在區(qū)間[a，b]上可積．定理2設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間[a，b]上可積．169定積分的性質(zhì)在下面的討論中，各性質(zhì)中積分上下限的大小，如無(wú)特別說(shuō)明，均不加限制，并假設(shè)各函數(shù)在積分區(qū)間上都是可積的．性質(zhì)1如果在區(qū)間[a，b]上，f（x）恒等于1，則性質(zhì)1的幾何解釋如圖所示．性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即其中k為常數(shù)．170性質(zhì)3兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即這是因?yàn)樾再|(zhì)3對(duì)于有限個(gè)可積函數(shù)代數(shù)和的定積分也是成立的．171性質(zhì)4如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即設(shè)a＜c＜b，則如圖所示，性質(zhì)4說(shuō)明定積分對(duì)積分區(qū)間具有可加性．這個(gè)性質(zhì)可以用來(lái)求分段函數(shù)的定積分．另外需要說(shuō)明的是，如果a，b，c是任意三個(gè)實(shí)數(shù)，性質(zhì)4同樣成立．172利用性質(zhì)4和定積分的幾何意義，可以看出奇函數(shù)和偶函數(shù)在對(duì)稱于原點(diǎn)的區(qū)間（簡(jiǎn)稱對(duì)稱區(qū)間）上的定積分有以下計(jì)算公式：（1）如果f（x）在[－a，a]上連續(xù)且為奇函數(shù)，則（2）如果f（x）在[－a，a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則性質(zhì)5如果在區(qū)間[a，b]上，f（x）≤g（x），則性質(zhì)5可以用來(lái)比較兩個(gè)定積分的大小．173性質(zhì)6（定積分估值定理）設(shè)M與m分別是f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值，則如圖所示，性質(zhì)6可用來(lái)估計(jì)定積分值的大致范圍．174性質(zhì)7（定積分中值定理）如果f（x）在[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使下式成立：如圖所示，定積分中值定理的幾何意義是：在區(qū)間[a，b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得以區(qū)間[a，b]為底邊，以曲線y＝f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為f（ξ）的矩形的面積．175因此，我們把f（ξ）＝（x）dx稱為連續(xù)曲線f（x）在[a，b]上的平均高度，或稱為連續(xù)函數(shù)f（x）在[a，b]上的平均值．這是有限個(gè)數(shù)的算數(shù)平均值概念的推廣，只有應(yīng)用定積分才有可能求出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值．176微積分學(xué)基本定理積分上限函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，x為區(qū)間[a，b]上任意一點(diǎn)．由于y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，因而在[a，x]上也連續(xù)，因此，定積分（t）dt存在．這個(gè)定積分是一個(gè)變上限的定積分，對(duì)每一個(gè)x（x∈[a，b]），都有一個(gè)確定的積分值與之相對(duì)應(yīng)，因此，它是上限x的函數(shù)．為此，我們給出如下定義：177積分上限函數(shù)Φ（x）＝

（t）dt，x∈[a，b]的幾何意義如圖所示．它具有下面重要性質(zhì)．178定理1

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)Φ（x）＝

（t）dt在[a，b]上可導(dǎo)，且有證明如圖所示．179180因?yàn)閒（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，又Δx→0時(shí)，ξ→x，所以有即定理1體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)（或微分）與積分的內(nèi)在聯(lián)系．181原函數(shù)的概念若把積分上限函數(shù)

（t）dt記為F（x），當(dāng)F（x）可導(dǎo)時(shí)，則有F′（x）＝f（x），我們稱F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，由此給出原函數(shù)的定義．182定理2如果函數(shù)F（x）是f（x）在某一區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則可用F（x）＋C（C為任意常數(shù)）表示f（x）在該區(qū)間內(nèi)的全體原函數(shù)．定理2包含兩層意思：第一，F(xiàn)（x）＋C中的任一個(gè)都是f（x）的原函數(shù)；第二，f（x）的任一原函數(shù)都可以表示成F（x）＋C的形式．183微積分基本定理定理1的重要意義在于，一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，另一方面揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系．因此，我們就能通過(guò)原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分．事實(shí)上，如果F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，而Φ（x）＝

（t）dt也是f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，則有F（x）－Φ（x）＝C，即184將x＝a，x＝b分別代入上式，得兩式相減，整理得把積分變量t換成x，得由此，我們得到微積分基本定理．185微積分基本定理設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，則有上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式．微積分基本定理揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系．它表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的增量．這就給定積分提供了一個(gè)簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，大大簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算．為了簡(jiǎn)便，公式常采用下面的格式：186不定積分的概念及性質(zhì)不定積分的定義我們知道，如果函數(shù)F（x）是f（x）在某一區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則F（x）＋C（C為任意常數(shù)）可以表示f（x）的全體原函數(shù)．由此給出不定積分的定義．187求不定積分∫f（x）dx就是求被積函數(shù)f（x）的全體原函數(shù)，為此，只需求得f（x）的一個(gè)原函數(shù)，然后再加上積分常數(shù)C即可．今后在不致引起混淆的情況下，不定積分簡(jiǎn)稱為積分，求不定積分的運(yùn)算和方法分別稱為積分運(yùn)算和積分法．由不定積分的定義可以看出，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算或微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算，它們的關(guān)系為：此式表明，若先求積分后求導(dǎo)數(shù)（或微分），則兩者的作用互相抵消．188此式表明，若先求導(dǎo)數(shù)（或微分）后求積分，則兩者的作用互相抵消后還相差一個(gè)常數(shù)．特別地，有∫dx＝x＋C．189不定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）的不定積分是函數(shù)f（x）的全體原函數(shù)．其中C每取一個(gè)值C0，就確定f（x）的一個(gè)原函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中確定一條曲線y＝F（x）＋C0，這條曲線稱為函數(shù)f（x）的一條積分曲線．所有這些積分曲線y＝F（x）＋C構(gòu)成一個(gè)曲線族，稱為函數(shù)f（x）的積分曲線族，如圖所示．這就是不定積分的幾何意義．190191如上圖所示，積分曲線族y＝F（x）＋C的特點(diǎn)如下：（1）積分曲線中任意一條曲線，可由其中任一條沿y軸平移若干個(gè)單位得到，即積分曲線族中任意兩條曲線上，具有相同的橫坐標(biāo)x的點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)y的差是一個(gè)常數(shù)．（2）由于[F（x）＋C]′＝F′（x）＝f（x），即橫坐標(biāo)相同點(diǎn)x處，每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)處的切線斜率相等，都等于f（x），從而使相應(yīng)點(diǎn)處的切線互相平行．192積分的基本公式由于積分運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此，從基本導(dǎo)數(shù)公式，可以直接得到相應(yīng)的基本積分公式．類似地，可以得到其他積分公式，常用的基本積分公式有：193194積分的基本運(yùn)算法則法則1兩個(gè)函數(shù)加或減的不定積分等于各個(gè)函數(shù)不定積分的加或減，即法則1對(duì)于有限多個(gè)函數(shù)加或減的不定積分也是成立的，即法則2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面，即1954.2積分法196第一換元積分法定理若∫f（x）dx＝F（x）＋C，則∫f（u）du＝F（u）＋C，其中u＝φ（x）是可導(dǎo)函數(shù)．這個(gè)定理表明，在基本積分公式中，把自變量x換成任何一可導(dǎo)函數(shù)u＝φ（x）后公式仍成立．應(yīng)用定理我們可以得到以下的積分方法．通常把這樣的積分方法稱為第一換元積分法，也稱湊微分法．197把不定積分中的哪一部分湊成dφ（x）是湊微分法的關(guān)鍵，這是一種技巧，需要熟記以下結(jié)論，例如：方法熟悉后，換元的中間步驟可以省略．用湊微分法可計(jì)算一些定積分．在計(jì)算時(shí)，一般不引入中間變量，只需將不定積分的結(jié)果（只取一個(gè)原函數(shù)）代入積分上、下限作差即可．198第二換元積分法不定積分的問(wèn)題是分母含有根式，我們可以先做變換，將根式去掉．為此，令t＝，則x＝t2，dx＝2tdt，于是199由此可見(jiàn)，如果不定積分∫f（x）dx不易求出，但在做變換x＝φ（t）后，∫f（φ（t））φ′（t）dt可求，則可以按以下的方法計(jì)算不定積分．設(shè)x＝φ（t）單調(diào)且可導(dǎo)（φ′（t）≠0），則x＝φ（t）的反函數(shù)為t＝φ－1（x），若F（t）是f（φ（t））φ′（t）的一個(gè)原函數(shù)，即∫f（φ（t））φ′（t）dt＝F（t）＋C，則∫f（x）dx＝F（φ－1（x））＋C．通常把這樣的積分法稱為第二換元積分法．200一般地說(shuō)，應(yīng)用三角換元法計(jì)算積分時(shí)，一般有如下三種情形：（1）含

時(shí)，作三角代換x＝asint或x＝acost；（2）含

時(shí)，作三角代換x＝atant或x＝acott；（3）含

時(shí)，作三角代換x＝asect或x＝acsct．用第二換元法計(jì)算定積分時(shí)，由于引入了新變量，應(yīng)相應(yīng)地變換積分上、下限，即“換元必?fù)Q限”．設(shè)函數(shù)f（x）在積分區(qū)間[a，b]上連續(xù)，函數(shù)x＝φ（t）在區(qū)間[α，β]上是單調(diào)的，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)φ′（t）．當(dāng)t在α和β之間變化時(shí)，x＝φ（t）的值在[a，b]上變化，并且φ（α）＝a，φ（β）＝b，則定積分201分部積分法設(shè)函數(shù)u＝u（x），v＝v（x）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)u′＝u′（x），v′＝v′（x）．根據(jù)函數(shù)乘積的微分法則（uv）′＝u′v＋uv′或

d（uv）＝vdu＋udv，移項(xiàng)后，得uv′＝（uv）′－u′v或udv＝d（uv）－vdu．對(duì)上式兩邊求不定積分，得202上式稱為分部積分公式，利用分部積分公式計(jì)算不定積分的方法稱為分部積分法．應(yīng)用分部積分公式的作用在于把不容易求出的積分∫uv′dx或∫udv轉(zhuǎn)化為容易求出的積分∫u′vdx或∫vdu．運(yùn)用分部積分法的關(guān)鍵是如何選擇u和v′（或dv），一般原則是：（1）使v容易求出；（2）新積分∫u′vdx（或∫vdu）要比原積分∫uv′dx（或∫udv）容易求出．203一般情況下，u與v′可按以下規(guī)律選擇．（1）形如∫xnsinkxdx，∫xncoskxdx，∫xnekxdx（其中n為正整數(shù)）的不定積分，在被積函數(shù)中，選取u＝xn，v′＝sinkx（或v′＝coskx或v′＝ekx）．（2）形如∫xnlnxdx，∫xnarctanxdx，∫xnarcsinxdx（其中n為自然數(shù)）的不定積分，在被積函數(shù)中，選取u＝lnx（或u＝arctanx或u＝arcsinx），令v′＝xn．（3）形如∫eaxsinbxdx，∫eaxcosbxdx的不定積分，可以任意選擇u和v′，但因?yàn)橐褂脙纱畏植糠e分公式，兩次選擇的u和v′應(yīng)分別保持一致，即如果第一次令u＝eax，則第二次也須令u＝eax，這樣才能出現(xiàn)循環(huán)公式，然后用解方程的方法求出原積分．204用分部積分法計(jì)算定積分時(shí)，可以由不定積分的分部積分法直接得來(lái)，但要先把積出來(lái)的那一部分代入上、下限求值，余下的部分繼續(xù)積分．設(shè)函數(shù)u＝u（x），v＝v（x）在區(qū)間[a，b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)u′，v′，則即若同時(shí)使用了換元積分法，則要根據(jù)引入的變量相應(yīng)地變換積分上、下限．205簡(jiǎn)易積分表的應(yīng)用通過(guò)前面的討論可以看出，積分計(jì)算要比導(dǎo)數(shù)計(jì)算靈活、復(fù)雜．為了使用方便，人們已將一些函數(shù)的不定積分匯編成表，這種表稱為簡(jiǎn)易積分表．本書附錄列出的簡(jiǎn)易積分表是按照被積函數(shù)的類型編排的，其中包括一些常用的積分公式．一般地，查積分表可節(jié)省計(jì)算積分的時(shí)間，但是只有在掌握了前面學(xué)過(guò)的基本積分方法后才能靈活地使用積分表，而且對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的積分，應(yīng)用基本積分方法來(lái)計(jì)算比查表更快．2064.3定積分的應(yīng)用207定積分的微元法在用定積分方法計(jì)算某個(gè)量時(shí)，關(guān)鍵是如何把所求的量用定積分表示出來(lái)，常用的方法就是“微元法”．為了分析這種方法，我們先回顧一下引入定積分概念時(shí)討論的曲邊梯形的面積問(wèn)題．若f（x）≥0，我們把由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A表示成定積分，即208其基本步驟是：（1）分割用任意一組分點(diǎn)把區(qū)間[a，b]分成長(zhǎng)度為Δxi（i＝１，２，···，n）的n個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)地把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，第i個(gè)小曲邊梯形的面積為ΔAi．（2）取近似得到第i個(gè)小曲邊梯形的面積ΔAi的近似值ΔAi≈f（ξi）Δxi（xi－1≤ξi≤xi）．（3）求和得到曲邊梯形面積A的近似值209（4）取極限得到曲邊梯形面積A的精確值其中λ＝不難發(fā)現(xiàn)，在表示定積分

f（x）dx的和式極限中，f（ξi）Δxi為曲邊梯形的面積A在代表性小區(qū)間[xi－1，xi]上的部分（即第i個(gè)小曲邊梯形）面積ΔAi的近似值．因此，我們只要把ξi換成x，把Δxi換成dx，就可以把f（ξi）Δxi寫成f（x）dx的形式．這就是說(shuō)，f（x）dx是曲邊梯形的面積A在代表性小區(qū)間[x，x＋dx]上的部分面積ΔA（代替ΔAi）的近似值，而f（x）dx正是將曲邊梯形的面積A表示成定積分f（x）dx的被積式．210因此，今后我們可以把實(shí)際問(wèn)題中的“待求量”A通過(guò)如下步驟表示成定積分：第一步根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，選取積分變量x及變化區(qū)間（即積分區(qū)間）[a，b]．第二步在積分區(qū)間[a，b]上任取一個(gè)小區(qū)間[x，x＋dx]，然后求出這個(gè)小區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的待求量A的部分量ΔA的近似值，記為dA＝f（x）dx，把它稱為待求量A的微元．第三步將待求量A的微元dA＝f（x）dx在積分區(qū)間[a，b]上積分（也就是無(wú)限累加），即得上述這種解決問(wèn)題的方法稱為定積分的微元法．211關(guān)于微元dA＝f（x）dx，要注意以下兩點(diǎn)：（1）f（x）dx作為ΔA的近似表達(dá)式，應(yīng)該足夠準(zhǔn)確．確切地說(shuō)，就是要求它們的差ΔA－f（x）dx是比Δx高階的無(wú)窮小，且所有小區(qū)間上差的總和還是無(wú)窮?。?）利用微元法解決問(wèn)題的關(guān)鍵是如何求出微元．要分析問(wèn)題的實(shí)際意義及數(shù)量關(guān)系，一般可在某一小區(qū)間[x，x＋dx]上，采用“以常代變”“以勻代變”“以直代曲”等思路，寫出小區(qū)間上所求量的近似值，即為微元dA＝f（x）dx．212求平面圖形的面積若f（x）≥0，曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的平面圖形的面積微元為dA＝f（x）dx，則面積213一般地，曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的平面圖形的面積微元為dA＝丨f（x）丨dx，則面積214若g（x）≤

f（x），由上下兩條曲線y＝f（x），y＝g（x）與直線x＝a，x＝b（a＜b）所圍成的平面圖形的面積微元為dA＝[f（x）－g（x）]dx，則面積215若ψ（y）≤φ（y），由左右兩條曲線x＝φ（y），x＝ψ（y）與直線y＝c，y＝d（c＜d）所圍成的平面圖形的面積微元為dA＝[φ（y）－ψ（y）]dy，則面積216求旋轉(zhuǎn)體的體積如圖所示的旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b（a＜b）及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的．它的主要特征是用垂直于曲邊梯形底邊的平面截旋轉(zhuǎn)體所得的截面都是圓．217下面我們采用定積分的微元法來(lái)分析旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算方法．第一步取x為積分變量，它的變化區(qū)間為[a，b]．第二步在區(qū)間[a，b]上任取一小區(qū)間[x，x＋dx]，設(shè)此小區(qū)間對(duì)應(yīng)的那部分旋轉(zhuǎn)體的體積為ΔV，則ΔV近似于以f（x）為底，以dx為高的小圓柱體的體積，從而得到體積微元為218第三步以π[f（x）]2dx為被積表達(dá)式，在區(qū)間[a，b]上作定積分，就是所求的旋轉(zhuǎn)體的體積，即類似地，由連續(xù)曲線x＝φ（y），直線y＝c，y＝d（c＜d）及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為219求平面曲線的弧長(zhǎng)設(shè)曲線y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f′（x），現(xiàn)在我們用微元法來(lái)計(jì)算從x＝a到x＝b的一段弧的長(zhǎng)度l．第一步取x為積分變量，x∈[a，b]．第二步在區(qū)間[a，b]上任取一小區(qū)間[x，x＋dx]，則此小區(qū)間對(duì)應(yīng)的那段弧長(zhǎng)Δl可用相應(yīng)的切線段近似代替，從而得到弧長(zhǎng)微元為220第三步

以

dx為被積表達(dá)式，在區(qū)間[a，b]上求定積分，就是所求的弧長(zhǎng)，即如果曲線是由參數(shù)方程