專題2平面向量基本定理及平面向量的應用（知識點串講）-2020-2021學年高一數(shù)學下學期期末考點大串講（人教A版2019浙江）

20202021學年高一數(shù)學下學期期末考點大串講（人教A版2019·浙江）專題2平面向量基本定理及平面向量的應用【知識網(wǎng)格】【知識講練】知識點一平面向量基本定理定理條件e1，e2是同一平面內的兩個__不共線__向量結論對于這一平面內的__任意__向量a，__有且只有__一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__基底把__不共線__的向量e1，e2叫做表這一平面內所有向量的一組__基底__例1.（2021·浙江高一期末）已知向量是不共線的兩個向量，．（1）若，當時，求的值．（2）若三點共線，求實數(shù)t的值；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用向量相等的知識列方程組，解方程組求得的值.（2）由三點共線列方程，由此求得的值.【詳解】（1）當時，，由于，所以，所以，解得.（2），，由于三點共線，所以.【變式訓練11】（2021·浙江高一期末）已知在中，點M為上的點，且，若，則（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】用表示出，求得后可得．【詳解】因為，所以，又，所以，所以．故選：B．【變式訓練12】（2021·浙江高一期末）如圖，在菱形中，，．（1）若，求的值；（2）若菱形的邊長為，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法法則可得出關于、的表達式，可得出、的值，進而可得出的值；（2）設，則，利用平面向量數(shù)量積的運算性質可得出，即可求得的取值范圍.【詳解】（1），，，因此，；（2）設，則，，所以，.【規(guī)律方法】(1)由平面向量基本定理可知，在平面內任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和，且這樣的分解是唯一的，同一個非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0．(2)對于固定的e1，e2(向量e1與e2不共線)而言，平面內任一確定的向量的分解是唯一的，但平面內的基底卻不唯一，只要平面內的兩個向量不共線，就可以作為基底，它有無數(shù)組．(3)這個定理可推廣為：平面內任意三個不共線的向量中，任何一個向量都可表示為其余兩個向量的線性組合且形式唯一．知識點二平面向量的坐標運算設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：文字描述符號表示加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的__和__a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的__差__a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的__相應坐標__λa＝__(λx1，λy1)__向量坐標公式一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝__(x2－x1，y2－y1)__平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當且僅當__x1y2＝x2y1__時，a∥b．數(shù)量積兩個向量的數(shù)量積等于__它們對應坐標的乘積的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__兩個向量垂直a⊥b?__x1x2＋y1y2＝0__模|a|2＝__xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)__或|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))模設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(a，b為非零向量)例2.【多選題】（2021·浙江高一期末）直角梯形中，是邊長為2的正三角形，是平面的動點，，設，則的值可以為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【解析】先建立坐標系，再通過向量的相等求出，最后求出即可作出判斷.【詳解】以為原點，為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系，,可設取,因為，所以，，，因為，所以，因此可得，所以，可知1和2在此區(qū)間內.故選：BC.【變式訓練21】（2021·浙江高一期末）設，p：向量與的夾角為鈍角，q：，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題知，進而根據(jù)題意得以且與的不共線，解得且，再結合集合關系判斷即可得答案.【詳解】由題知,因為向量與的夾角為鈍角,所以且與的不共線,所以且,解得且因為是的真子集,所以p是q的充分不必要條件,故選:A【變式訓練22】（2021·浙江高一期末）已知向量，則當________時，向量；當______時，向量．【答案】【解析】根據(jù)向量平行關系，得出關于參數(shù)的方程即可求解；若，則，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律，計算可得.【詳解】解：因為，所以，，當，所以，解得；當，所以，即，所以解得.故答案為：；.【方法技巧】1.向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，要注意三角形法則及平行四邊形法則的應用．2.若是給出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．3.兩個向量共線條件的三種表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)當b≠0時，a＝λb．這是幾何運算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關系．(2)x1y2－x2y1＝0．這是代數(shù)運算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)的個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點和，程序化的特征．(3)當x2y2≠0時，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)．即兩向量的相應坐標成比例，通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯誤．4.用坐標求兩個向量夾角的四個步驟：(1)求a·b的值；(2)求|a||b|的值；(3)根據(jù)向量夾角的余弦公式求出兩向量夾角的余弦；(4)由向量夾角的范圍及兩向量夾角的余弦值求出夾角．知識點三平面向量的應用平面幾何、物理1．向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用主要有以下方面：(1)證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用到向量減法的意義．(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運用向量平行(共線)的條件：a∥b?a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(線段)是否垂直等，常運用向量垂直的條件：a⊥b?a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求與夾角相關的問題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．(5)向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．2．向量在物理中的應用數(shù)學中對物理背景問題主要研究下面兩類：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用點的向量，它與前面學習的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不計作用點的情況下，__可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個速度的合速度__．例3.（2021·四川成都市·樹德中學高一月考）如圖，在中，，分別為邊，上的點，且，，為上任意一點，實數(shù)，滿足，設，，，的面積分別為，，，，記，，，則當取最大值時，的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由長度關系可確定，由，結合基本不等式可求得的最大值，并得到當時取得最大值，由此確定為中點；根據(jù)向量線性運算可得到，由此得到的值，代入可得結果.【詳解】，；，，且，，即，，又，即，（當且僅當時取等號），當時，為中點，則由得：，，.故選：D.例4.（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高一月考）某人在靜水中游泳的速度為，水流的速度為，他沿著垂直于對岸的方向前進，那么他實際前進的方向與水流方向的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】用表示水速，用表示某人沿著垂直于岸的方向前進的速度，則他實際前進的方向與水流方向的夾角為，求出即可.【詳解】如圖，用表示水速，用表示某人沿著垂直于岸的方向前進的速度，則他實際前進的方向與水流方向的夾角為因為，所以故選：B【變式訓練31】（2021·全國高一課時練習）已知三個力F1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3,2)，F(xiàn)3＝(7，－3)同時作用于某物體上一點，為使該物體保持平衡，再加上一個力F4，則F4等于（）A．(－2，－2) B．(2，－2)C．(－1,2) D．(－2,2)【答案】D【解析】根據(jù)向量加法運算坐標表示公式，結合相反向量的定義進行求解即可.【詳解】因為F1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3,2)，F(xiàn)3＝(7，－3)，所以F1F2F3，要想使該物體保持平衡，只需F4，故選：D【變式訓練32】（2021·四川成都市·樹德中學高一月考）已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的最小值為______.【答案】7【解析】以為軸的正方向建立直角坐標系，設，然后表示出，然后可得答案.【詳解】以為軸的正方向建立直角坐標系，如圖所示：設，則，當時取得最小值7故答案為：7【方法技巧】1.借助平面直角坐標系將平面幾何問題轉化為向量問題解決，是解決平面幾何問題的一種重要方法．2.建立平面直角坐標系的原則，應盡量多的使圖形頂點及邊落在原點或坐標軸上．知識點四平面向量的應用正弦定理1．正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即__eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)__．2．由正弦定理導出的結論(1)a∶b∶c＝__sinA∶sinB∶sinC__．(2)由等比性質和圓的性質可知，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝__eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)__＝2R.其中，R為△ABC外接圓的半徑．(3)A<B?a<b?sinA<sinB．例5．（2021·浙江高一期末）在中，，則（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．【答案】D【解析】利用兩個向量的數(shù)量積的定義可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.【詳解】由題意，在中，，利用向量的數(shù)量積的定義可知，即即，即，設，解得，所以，所以由正弦定理可得.故選:D.例6.（2021·浙江高一期末）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．在中，內角、、所對的邊分別為、、，已知，且滿足_______，試判斷的形狀，并寫出推理過程．【答案】條件選擇見解析，為等邊三角形，理由見解析.【解析】根據(jù)題中已知條件、正弦定理以及余弦定理化簡可得.選擇①：利用正弦定理、二倍角公式化簡可得的值，結合角的取值范圍求出角的值，可判斷出的形狀；選擇②：利用正弦定理、二倍角的正弦公式化簡可得的值，結合角的取值范圍求出角的值，可判斷出的形狀；選擇③：利用正弦定理、兩角和的正弦公式化簡可得的值，結合角的取值范圍求出角的值，可判斷出的形狀.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，所以，，則，可得.選①：，由正弦定理可得，，則，故，故，，則，故，則，可得，得，所以，為等邊三角形；選②：且，由正弦定理可得，，則，則，，則，故，所以，，則，得，所以，為等邊三角形；選③：，由正弦定理可得，，則，故，即，整理可得，，則，所以，為等邊三角形.【變式訓練41】(全國卷Ⅲ真題)△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，則A＝____．【答案】75°．【解析】如圖，由正弦定理，得eq\f(3,sin60°)＝eq\f(\r(6),sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)．又c>b，∴C>B，∴B＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°．【變式訓練42】在△ABC中，A＝60°，sinB＝eq\f(1,2)，a＝3，求三角形中其他邊與角的大?。敬鸢浮緽＝30°或150°．C＝90°．∴b＝eq\r(3)．c＝2eq\r(3)．【解析】∵sinB＝eq\f(1,2)，0°<B<180°，∴B＝30°或150°．當B＝150°時，不合題意舍去．當B＝30°時，C＝90°．由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(3×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\r(3)．由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝9＋3＝12，∴c＝2eq\r(3)．【總結提升】1.用正弦定理可以解決怎樣的解三角形問題？①__已知任意兩角與一邊，求其他兩邊和一角__．②__已知任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角__(從而進一步求出其他的邊和角)．(3)兩角和一邊分別對應相等的兩個三角形全等嗎？兩邊和其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形全等嗎？下圖中，AC＝AD；△ABC與△ABD的邊角有何關系？你發(fā)現(xiàn)了什么？(4)已知兩邊及其中一邊對角，怎樣判斷三角形解的個數(shù)？①應用三角形中大邊對大角的性質以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個數(shù)．②在△ABC中，已知a、b和A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數(shù)即為三角形的個數(shù)，解的個數(shù)見下表：A為鈍角A為直角A為銳角a>b__一解____一解____一解__a＝b__無解____無解____一解__a<b__無解____無解__a>bsinA__兩解__a＝bsinA__一解__a<bsinA__無解__2.已知a、b、A，△ABC解的情況如下圖示．(ⅰ)A為鈍角或直角時解的情況如下：(ⅱ)A為銳角時，解的情況如下：知識點五平面向量的應用余弦定理余弦定理文字語言三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和__減去__這兩邊與它們的夾角的余弦的積的__兩__倍符號語言在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝__a2＋b2－2abcosC__推論在△ABC中，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋c2－b2,2ac)cosC＝__eq\f(a2＋b2－c2,2ab)__例7.（2021·浙江高一期末）在中，，若，則的最大值是____________．【答案】【解析】由，結合向量數(shù)量積的定義及余弦定理可得，進而可求得，而要求的最大值，只要求解的最小值即可【詳解】解：因為，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值，根據(jù)余弦函數(shù)在上單調遞減可知，此時角取得最大值為，所以的最大值是，故答案為：例8.（2021·浙江高一期末）中，角的對邊分別為，（1）若為銳角三角形，其面積為，求a的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）結合已知條件和正弦定理先求解出的值，再根據(jù)三角形的面積公式求解出的值，最后根據(jù)余弦定理求解出的值；（2）根據(jù)已知條件先用表示出，然后利用余弦定理表示出，由此求解出之間的倍數(shù)關系，結合倍數(shù)關系即可計算出的值，則的值可求，故的值可求.【詳解】（1）因為且，所以且，所以，又因為為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以；（2）因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以.【變式訓練51】【多選題】（2021·浙江高一期末）已知中，角的對邊分別為為邊上的高，以下結論：其中正確的選項是（）A． B．為銳角三角形C． D．【答案】ACD【解析】畫出圖形，利用向量的數(shù)量積公式，三角形中余弦定理及向量的運算法則對各命題進行判斷，看出每一個命題的正誤【詳解】解：，所以，故A正確；若，則為銳角，無法得