2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.2.2利用空間向量求角和距離課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE課時(shí)作業(yè)19利用空間向量求角和距離|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知平面α的一個(gè)法向量為n＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(－1,3,0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2,1,4)到平面α的距離為()A．10B．3C.eq\f(8,3)D.eq\f(10,3)解析：點(diǎn)P到平面α的距離d＝eq\f(|\o(PA,\s\up13(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq\f(10,3).答案：D2．直三棱錐ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(30),10)解析：依據(jù)已知條件，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0,2)，N(1,0,0)，B(0,2,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，M(1,1,0)；所以eq\o(BM,\s\up13(→))＝(1，－1，－2)，eq\o(AN,\s\up13(→))＝(－1,0，－2)；所以cos〈eq\o(BM,\s\up13(→))，eq\o(AN,\s\up13(→))〉＝eq\f(3,\r(6)×\r(5))＝eq\f(\r(30),10)；所以BM與AN所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).故選D.答案：D3．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1DA.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(2\r(6),5)C.eq\f(\r(15),5)D.eq\f(\r(10),5)解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，∴eq\o(BC1,\s\up13(→))＝(－2,0,1)．連接AC，易證AC⊥平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一個(gè)法向量為a＝eq\o(AC,\s\up13(→))＝(－2,2,0)．∴所求角的正弦值為|cos〈a，eq\o(BC1,\s\up13(→))〉|＝eq\f(|a·\o(BC1,\s\up13(→))|,|a||\o(BC1,\s\up13(→))|)＝eq\f(4,\r(8)×\r(5))＝eq\f(\r(10),5).答案：D4．正方形ABCD所在平面外有一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：建系如圖，設(shè)AB＝1，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．平面PAB的法向量為n1＝(1,0,0)．設(shè)平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(PD,\s\up13(→))＝0，,n2·\o(CD,\s\up13(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－z＝0，,y＝0.))令x＝1，則z＝1.∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值為eq\f(\r(2),2).∴此角的大小為45°.答案：B5．已知矩形ABCD與ABEF全等，D-AB-F為直二面角，M為AB中點(diǎn)，F(xiàn)M與BD所成角為θ，且cosθ＝eq\f(\r(3),9)，則AB與BC的邊長(zhǎng)之比為()A．1∶1B.eq\r(2)∶1C.eq\r(2)∶2D．1∶2解析：設(shè)AB＝a，BC＝b，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，0))，B(0，a,0)，D(0,0，b)，eq\o(FM,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－b，\f(a,2)，0))，eq\o(BD,\s\up13(→))＝(0，－a，b)，所以|eq\o(FM,\s\up13(→))|＝eq\r(b2＋\f(a2,4))，|eq\o(BD,\s\up13(→))|＝eq\r(a2＋b2)，eq\o(FM,\s\up13(→))·eq\o(BD,\s\up13(→))＝－eq\f(a2,2)，|cos〈eq\o(FM,\s\up13(→))，eq\o(BD,\s\up13(→))〉|＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,2))),\r(b2＋\f(a2,4))×\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),9)，整理得4×eq\f(b4,a4)＋5×eq\f(b2,a2)－26＝0，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2).故選C.答案：C二、填空題(每小題5分，共15分)6．直線l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一個(gè)法向量n＝(4,0,1)，則直線l與平面α所成角的正弦值為_(kāi)_______．解析：設(shè)直線l與平面α所成的角是θ，a，n所成的角為β，sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|－2，3，2·4，0，1,\r(17)×\r(17))＝eq\f(6,17).答案：eq\f(6,17)7．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈eq\o(CM,\s\up13(→))，eq\o(D1N,\s\up13(→))〉＝________.解析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2.則C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)．∴eq\o(CM,\s\up13(→))＝(2，－2,1)，eq\o(D1N,\s\up13(→))＝(2,2，－1)．∴cos〈eq\o(CM,\s\up13(→))，eq\o(D1N,\s\up13(→))〉＝eq\f(4－4－1,3×3)＝－eq\f(1,9).∴sin〈eq\o(CM,\s\up13(→))，eq\o(D1N,\s\up13(→))〉＝eq\f(4\r(5),9).答案：eq\f(4\r(5),9)8．棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBD解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0,0,0)，B(a，a,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(a,2)))，A1(a,0，a)，所以eq\o(DB,\s\up13(→))＝(a，a,0)，eq\o(DM,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(a,2)))，eq\o(MA1,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(a,2)))，設(shè)平面MBD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up13(→))＝0，,n·\o(DM,\s\up13(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋ay＝0，,ax＋\f(a,2)z＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x，,z＝－2x，))令x＝1，則n＝(1，－1，－2)，所以點(diǎn)A1到平面MBD的距離為d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(MA1,\s\up13(→))·n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(a,2)))·1，－1，－2,\r(1＋1＋4))))＝eq\f(\r(6),6)a.答案：eq\f(\r(6),6)a三、解答題(每小題10分，共20分)9．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)a，求AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角．解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，eq\r(2)a)，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，B1(0，a，eq\r(2)a)．方法一如圖，取A1B1的中點(diǎn)M，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\r(2)a))，連接AM，MC1，則eq\o(MC1,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，0，0))，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(0，a,0)，eq\o(AA1,\s\up13(→))＝(0,0，eq\r(2)a)．∵eq\o(MC1,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→))＝0，eq\o(MC1,\s\up13(→))·eq\o(AA1,\s\up13(→))＝0，∴MC1⊥平面ABB1A1∴∠C1AM即直線AC1與側(cè)面ABB1A1∵eq\o(AC1,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，eq\o(AM,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\r(2)a))，∴eq\o(AC1,\s\up13(→))·eq\o(AM,\s\up13(→))＝0＋eq\f(a2,4)＋2a2＝eq\f(9a2,4).又|eq\o(AC1,\s\up13(→))|＝eq\r(\f(3a2,4)＋\f(a2,4)＋2a2)＝eq\r(3)a，|eq\o(AM,\s\up13(→))|＝eq\r(\f(a2,4)＋2a2)＝eq\f(3a,2)，∴cos〈eq\o(AC1,\s\up13(→))，eq\o(AM,\s\up13(→))〉＝eq\f(\f(9a2,4),\r(3)a·\f(3a,2))＝eq\f(\r(3),2).∴〈eq\o(AC1,\s\up13(→))，eq\o(AM,\s\up13(→))〉＝30°，即AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角為30°.方法二eq\o(AB,\s\up13(→))＝(0，a,0)，eq\o(AA1,\s\up13(→))＝(0,0，eq\r(2)a)．設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n＝(λ，x，y則n·eq\o(AB,\s\up13(→))＝0且n·eq\o(AA1,\s\up13(→))＝0，∴ax＝0且eq\r(2)ay＝0，∴x＝y(tǒng)＝0，故n＝(λ，0,0)．又eq\o(AC1,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，∴cos〈eq\o(AC1,\s\up13(→))，n〉＝eq\f(\o(AC1,\s\up13(→))·n,|\o(AC1,\s\up13(→))||n|)＝eq\f(－\f(\r(3),2)a·λ,\r(3)a·|λ|)＝－eq\f(λ,2|λ|).設(shè)AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(AC1,\s\up13(→))，n〉|＝eq\f(1,2)，∴θ＝30°，即AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角為30°.10．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，點(diǎn)M在線段A1B1上．(1)若A1M＝3MB1，求異面直線AM與A1(2)若直線AM與平面ABC1所成角為30°，試確定點(diǎn)M的位置．解析：(1)分別以CA，CB，CC1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示C－xyz，則C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,2eq\r(2))，B1(0,4,2eq\r(2))．因?yàn)锳1M＝3MB1所以M(1,3,2eq\r(2))，可得eq\o(A1C,\s\up13(→))＝(－4,0，－2eq\r(2))，eq\o(AM,\s\up13(→))＝(－3,3,2eq\r(2))，所以cos〈eq\o(A1C,\s\up13(→))，eq\o(AM,\s\up13(→))〉＝eq\f(\o(A1C,\s\up13(→))·\o(AM,\s\up13(→)),|\o(A1C,\s\up13(→))||\o(AM,\s\up13(→))|)＝eq\f(4,\r(24)×\r(26))＝eq\f(\r(39),39).所以異面直線AM與A1C所成角的余弦值為eq\f(\r(39),39).(2)由(1)得B(0,4,0)，B1(0,4,2eq\r(2))，所以eq\o(AB,\s\up13(→))＝(－4,4,0)，eq\o(AC1,\s\up13(→))＝(－4,0,2eq\r(2))．設(shè)n＝(a，b，c)是平面ABC1的法向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up13(→))＝－4a＋4b＝0，,n·\o(AC1,\s\up13(→))＝－4a＋2\r(2)c＝0，))取a＝1，得b＝1，c＝eq\r(2)，所以n＝(1,1，eq\r(2))，而直線AM與平面ABC1所成角為30°，可得eq\o(AM,\s\up13(→))與n所成角為60°或120°，所以|cos〈eq\o(AM,\s\up13(→))，n〉|＝eq\f(1,2)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則eq\o(AM,\s\up13(→))＝(x－4,4－x,2eq\r(2))，即eq\f(|\o(AM,\s\up13(→))·n|,|\o(AM,\s\up13(→))||n|)＝eq\f(|1·x－4＋1·4－x＋\r(2)×2\r(2)|,2\r(x－42＋4－x2＋8))＝eq\f(2,\r(2x－42＋8))＝eq\f(1,2)，解得x＝2或6.由M在線段A1B1上可得0≤x≤4，故x＝2，即點(diǎn)M為線段A1B1的中點(diǎn)時(shí)，滿意直線AM與平面ABC1所成角為30°.|實(shí)力提升|(20分鐘，40分)11．正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)C1到平面A1BDA.eq\f(\r(2),2)aB.eq\f(\r(3),3)aC.eq\r(3)aD.eq\f(2\r(3),3)a解析：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則eq\o(AC1,\s\up13(→))＝(a，a，a)，eq\o(BC1,\s\up13(→))＝(0，a，a)，由于AC1⊥平面A1BD，所以點(diǎn)C1到平面A1BD的距離是eq\f(|\o(AC1,\s\up13(→))·\o(BC1,\s\up13(→))|,|\o(A1C,\s\up13(→))|)＝eq\f(2a2,\r(3)a)＝eq\f(2\r(3),3)a.故選D.答案：D12．如圖正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是平面A1B1C1D1的中心，則BO與平面ABC1D解析：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則B(1,1,0)，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，eq\o(DA1,\s\up13(→))＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一個(gè)法向量．又eq\o(OB,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－1))，∴BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為eq\f(|\o(OB,\s\up13(→))·\o(DA1,\s\up13(→))|,|\o(OB,\s\up13(→))|·|\o(DA1,\s\up13(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(6),2)×\r(2))＝eq\f(\r(3),6).答案：eq\f(\r(3),6)13．如圖，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面相互垂直，∠ADE＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2.請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系解答下列問(wèn)題：(1)求證：AC∥平面BEF；(2)求平面BEF與平面ABCD所成角的余弦值．解析：(1)證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DE為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(2,0,1)．eq\o(BF,\s\up13(→))＝(0，－2,1)，eq\o(BE,\s\up13(→))＝(－2，－2,2)，eq\o(AC,\s\up13(→))＝(－2,2,0)．設(shè)平面BEF的法向量n＝(x，y，z)，則有n·eq\o(BF,\s\up13(→))＝0，n·eq\o(BE,\s\up13(→))＝0.即－2y＋z＝0，－2x－2y＋2z＝0，取y＝1，則z＝2，x＝1，所以n＝(1,1,2)，又n·eq\o(AC,\s\up13(→))＝0，所以n⊥eq\o(AC,\s\up13(→))，又AC?平面BEF，所以AC∥平面BEF.(2)易知eq\o(DE,\s\up13(→))＝(0,0,2)是平面ABCD的一個(gè)法向量，cos〈eq\o(DE,\s\up13(→))，n〉＝eq\f(|n·\o(DE,\s\up13(→))|,|\o(DE,\s\up13(→))||n|)＝eq\f(|4|,\r(1＋1＋22)×\r(22))＝eq\f(\r(6),3).即平面BEF與平面ABCD所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3).14．如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形AA′A′1A1中，BB