《12.3 一次函數(shù)與二元一次方程》知識(shí)清單

《12.3一次函數(shù)與二元一次方程》知識(shí)清單初中滬科版（2012）八年級(jí)上冊(cè)第12章12.3一次函數(shù)與二元一次方程知識(shí)清單一、一次函數(shù)與二元一次方程的聯(lián)系1、從方程到函數(shù)我們先來(lái)看一個(gè)二元一次方程，比如說(shuō)2x＋y=5。我們可以把這個(gè)方程變形為y＝2x+5。這時(shí)候你發(fā)現(xiàn)沒(méi)，這個(gè)式子就變成了一次函數(shù)的形式。就好像把一個(gè)藏在幕后的演員拉到了臺(tái)前，換了個(gè)身份一樣。真實(shí)體驗(yàn)：我有一次在整理舊書(shū)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)一本數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)，里面有很多這種二元一次方程的題目。我就突發(fā)奇想，把這些方程都試著變成函數(shù)形式，就像給它們換了一身新衣服。結(jié)果發(fā)現(xiàn)這樣看問(wèn)題的角度完全不一樣了，以前覺(jué)得很復(fù)雜的方程，變成函數(shù)后好像變得更直觀了。2、解的聯(lián)系二元一次方程的解呢，就和一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的。比如說(shuō)方程xy＝3，它的一個(gè)解是x＝4,y＝1。那在一次函數(shù)y=x3的圖象上，點(diǎn)（4,1)就在這個(gè)圖象上。這就像是一對(duì)對(duì)的小伙伴，方程的解和函數(shù)圖象上的點(diǎn)手拉手。舉個(gè)例子，就像我們?cè)诮淌依锝o每個(gè)同學(xué)安排座位一樣。方程的解就像是同學(xué)的名字，函數(shù)圖象上的點(diǎn)就像是座位的坐標(biāo)。一個(gè)同學(xué)只能坐在一個(gè)對(duì)應(yīng)的座位上，方程的一個(gè)解也只能對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)。二、一次函數(shù)圖象與二元一次方程組1、方程組的解與圖象交點(diǎn)對(duì)于二元一次方程組，比如說(shuō)＼（＼begin{cases}y＝2x+1\＼y=x＋4\end{cases}＼），這個(gè)方程組的解就是這兩個(gè)一次函數(shù)y＝2x+1和y=x＋4圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)。你可以想象成兩條小路在某個(gè)地方交匯了，這個(gè)交匯點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解。我記得有一次去爬山，山上有很多小路。我從一條小路往上走，我的朋友從另一條小路往上走，最后我們?cè)谝粋€(gè)觀景臺(tái)相遇了。這個(gè)觀景臺(tái)就像是函數(shù)圖象的交點(diǎn)，我們的出發(fā)點(diǎn)和路線就像是兩個(gè)不同的函數(shù)，而我們相遇的這個(gè)點(diǎn)就是方程組的解。2、用圖象法解方程組我們先畫(huà)出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象。比如上面那個(gè)方程組，畫(huà)出y＝2x+1和y=x＋4的圖象。然后找到它們的交點(diǎn)。這個(gè)交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)就是方程組的解。不過(guò)呢，這種方法有時(shí)候不太精確，就像你用眼睛估計(jì)距離一樣，可能會(huì)有一點(diǎn)小誤差。就像我們?cè)谧鍪止さ臅r(shí)候，想要把兩根紙條交叉粘在一起，我們得先找到它們交叉的位置。畫(huà)函數(shù)圖象解方程組就有點(diǎn)像這個(gè)過(guò)程，我們要在坐標(biāo)紙上找到兩個(gè)函數(shù)圖象交叉的那個(gè)小方格的坐標(biāo)。三、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的應(yīng)用1、實(shí)際問(wèn)題中的方程與函數(shù)在實(shí)際生活中，很多問(wèn)題既可以用二元一次方程來(lái)解決，也可以用一次函數(shù)來(lái)解決。比如說(shuō)，有個(gè)商店賣(mài)兩種文具，鉛筆和筆記本。鉛筆每支2元，筆記本每本5元。我們知道一共賣(mài)了30元，設(shè)鉛筆賣(mài)了x支，筆記本賣(mài)了y本，那么就可以列出方程2x＋5y=30。如果我們把這個(gè)方程變形為y=＼frac{302x}｛5}，這就成了一次函數(shù)。我曾經(jīng)去文具店買(mǎi)東西，就遇到類似的情況。我想買(mǎi)一些筆和本子，我知道我?guī)Я硕嗌馘X(qián)，也知道筆和本子的單價(jià)，我就在心里算著，怎么搭配才能把錢(qián)正好花完呢。這就像在解那個(gè)二元一次方程一樣。2、用函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題還是上面文具店的例子，我們可以把這個(gè)函數(shù)y=＼frac{302x}｛5}的圖象畫(huà)出來(lái)。然后根據(jù)圖象來(lái)分析不同情況下鉛筆和筆記本的銷售數(shù)量。比如說(shuō)，從圖象上我們可以很直觀地看到，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，這就表示如果不買(mǎi)鉛筆，可以買(mǎi)6本筆記本。就像看地圖一樣，圖象就像是一張?zhí)厥獾牡貓D，上面標(biāo)記著不同情況下的信息。我們可以通過(guò)看這張“地圖”，找到我們想要的答案。四、重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)換二元一次方程可以通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)。這個(gè)過(guò)程很重要哦，就像變形金剛一樣，一個(gè)東西可以變成另一個(gè)樣子，但本質(zhì)還是有聯(lián)系的。重點(diǎn)記住變形的方法，把方程中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，就得到了函數(shù)形式。例如，對(duì)于方程3x2y＝6，我們可以變形為y=＼frac{3x6}｛2}。2、解的對(duì)應(yīng)關(guān)系二元一次方程（組）的解與一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)（交點(diǎn)）是一一對(duì)應(yīng)的。這就像鑰匙和鎖的關(guān)系，一把鑰匙只能開(kāi)一把鎖。在解題的時(shí)候，要能靈活地在方程的解和函數(shù)圖象的點(diǎn)之間轉(zhuǎn)換思維。比如，對(duì)于方程組＼（＼begin{cases}y＝3x1\＼y=－2x＋4\end{cases}＼），先求出函數(shù)y＝3x1和y=－2x＋4的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解。3、圖象法解題用圖象法解二元一次方程組的時(shí)候，要準(zhǔn)確地畫(huà)出函數(shù)圖象。這就需要我們掌握好一次函數(shù)圖象的畫(huà)法，比如確定兩個(gè)點(diǎn)就能畫(huà)出一條直線。但是要注意圖象法可能存在誤差，有時(shí)候需要用代數(shù)法來(lái)精確求解。像畫(huà)y＝x+2和y＝2x+5的圖象來(lái)解方程組，我們可以先找到y(tǒng)＝x+2上的兩個(gè)點(diǎn)，比如當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0。然后畫(huà)出直線，同樣畫(huà)出y＝2x+5的圖象，找到交點(diǎn)。五、相關(guān)習(xí)題1、已知二元一次方程4x3y＝9，將其轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)形式。2、對(duì)于方程組＼（＼begin{cases}y＝2x3\＼y=x＋3\end{cases}＼），用圖象法求解，并與代數(shù)法求解的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。3、在一個(gè)應(yīng)用題中，甲種商品單價(jià)為3元，乙種商品單價(jià)為4元，一共花費(fèi)50元，設(shè)甲種商品買(mǎi)了x件，乙種商品買(mǎi)了y件。列出二元一次方程并轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)形式，然后畫(huà)出函數(shù)圖象，分析當(dāng)x＝10時(shí)，y的值是多少。習(xí)題答案：1、對(duì)于方程4x3y＝9，變形為一次函數(shù)形式為y=＼frac{4x9}｛3}。2、代數(shù)法：將方程組＼（＼begin{cases}y＝2x3\＼y=x＋3\end{cases}＼）中的兩個(gè)方程聯(lián)立，即2x3=x＋3，移項(xiàng)可得2x+x＝3＋3，3x＝6，解得x＝2，把x＝2代入y=x＋3得y＝1。圖象法：先畫(huà)出y＝2x3和y=x＋3的圖象。對(duì)于y＝2x3，當(dāng)x＝0時(shí)，y=－3；當(dāng)y＝0時(shí)，x=＼frac{3}｛2}。對(duì)于y=x＋3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)y＝0時(shí)