2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章概率統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第二節(jié)古典概型課時(shí)規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第九章概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例其次節(jié)古典概型課時(shí)規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．某同學(xué)先后投擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，其次次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的概率為 ()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,9)C.eq\f(5,36) D.eq\f(1,6)解析：先后投擲兩次骰子的結(jié)果共有6×6＝36種，而以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的結(jié)果有(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3種，故所求概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).答案：A2．拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之差的肯定值為3的概率是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,18) D.eq\f(1,12)解析：拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之差的肯定值為3的狀況有：1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3共6種，而拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子的狀況有36種，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，故選B.答案：B3．若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為 ()A.eq\f(2,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析：由題意知，從五位高校畢業(yè)生中錄用三人，全部不同的可能結(jié)果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種，其中“甲與乙均未被錄用”的全部不同的可能結(jié)果只有(丙，丁，戌)這1種，故其對(duì)立事務(wù)“甲或乙被錄用”的可能結(jié)果有9種，所求概率P＝eq\f(9,10).答案：D4．在2，0，1，5這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù)，則數(shù)字2是取出的三個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)的概率為 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：分析題意可知，共有(0，1，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4種取法，符合題意的取法有2種，故所求概率P＝eq\f(1,2).答案：C5．(2024·河北三市聯(lián)考)袋子中裝有大小相同的5個(gè)小球，分別有2個(gè)紅球、3個(gè)白球．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2個(gè)小球，則這2個(gè)小球中既有紅球也有白球的概率為 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,10)C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,5)解析：設(shè)2個(gè)紅球分別為a、b，3個(gè)白球分別為A、B、C，從中隨機(jī)抽取2個(gè)，則有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10個(gè)基本領(lǐng)件，其中既有紅球也有白球的基本領(lǐng)件有6個(gè)，則所求概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：D6．(2024·商丘模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為 ()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知全部的基本領(lǐng)件有9個(gè)，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，其次個(gè)數(shù)表示b的取值．滿意a2>b2的共有6個(gè)，P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：D7．(2024·榆林質(zhì)檢)從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：從1，2，3，4中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共12種結(jié)果，其中大于30的兩位數(shù)有31，32，34，41，42，43，共6個(gè)，所以這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).答案：A8．(2024·武漢部分學(xué)校調(diào)研)標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的卡片各1張，從這5張卡片中隨機(jī)抽取1張，不放回地再隨機(jī)抽取1張，則抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,5)解析：5張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，基本領(lǐng)件的總數(shù)n＝5×4＝20，抽得的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的狀況有：①第1張抽到2，第2張抽到1；②第1張抽到3，第2張抽到1或2；③第1張抽到4，第2張抽到1或2或3；④第1張抽到5，第2張抽到1或2或3或4.共10種．故抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率P＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).答案：A9．(2024·武漢調(diào)研)已知某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率都為80%.現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員4次射擊至少3次擊中目標(biāo)的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)；再以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表4次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281據(jù)此估計(jì)，該射擊運(yùn)動(dòng)員4次射擊至少3次擊中目標(biāo)的概率為________．解析：∵4次射擊中有1次或2次擊中目標(biāo)的有：7140，1417，0371，6011，7610，∴所求概率P＝1－eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)10．(2024·安陽(yáng)模擬)盒中有三張分別標(biāo)有號(hào)碼3，4，5的卡片，從盒中隨機(jī)抽取一張登記號(hào)碼后放回，再隨機(jī)抽取一張登記號(hào)碼，則兩次抽取的卡片號(hào)碼中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率為________．解析：法一：兩次抽取的卡片號(hào)碼有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9種狀況，其中至少有一個(gè)是奇數(shù)的有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共8種狀況，因此所求概率為eq\f(8,9).法二：所求事務(wù)的對(duì)立事務(wù)為：兩次抽取的卡片號(hào)碼都為偶數(shù)，只有(4，4)這1種取法，而兩次抽取的卡片號(hào)碼有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9種狀況，因此所求事務(wù)的概率為1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).答案：eq\f(8,9)B組——素養(yǎng)提升練11．將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為________．解析：圓心(2，0)到直線ax－by＝0的距離d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，當(dāng)d<eq\r(2)時(shí)，直線與圓相交，則有d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))<eq\r(2)，得b>a，滿意b>a的共有15種狀況，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)12．(2024·桂林模擬)從正五邊形ABCDE的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇3個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的概率是________．解析：從正五邊形ABCDE的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇3個(gè)頂點(diǎn)，基本領(lǐng)件總數(shù)為10，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它們作為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的個(gè)數(shù)為5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它們作為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．某商場(chǎng)實(shí)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買肯定金額的商品即可抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球A1，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球．若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．(1)用球的標(biāo)號(hào)列出全部可能的摸出結(jié)果；(2)有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率．你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)全部可能的摸出結(jié)果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．(2)不正確．理由如下：由(1)知，全部可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎(jiǎng)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中獎(jiǎng)的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)＞eq\f(1,3)，故這種說(shuō)法不正確．14．設(shè)a∈{2，4}，b∈{1，3}，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2＋bx＋1.(1)求f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率；(2)從f(x)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求它們?cè)?1，f(1))處的切線相互平行的概率．解析：(1)由題意，得－eq