2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章概率統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第二節(jié)古典概型課時規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第九章概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例其次節(jié)古典概型課時規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對點練1．某同學(xué)先后投擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x，其次次向上的點數(shù)記為y，在直角坐標系xOy中，以(x，y)為坐標的點落在直線2x－y＝1上的概率為 ()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,9)C.eq\f(5,36) D.eq\f(1,6)解析：先后投擲兩次骰子的結(jié)果共有6×6＝36種，而以(x，y)為坐標的點落在直線2x－y＝1上的結(jié)果有(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3種，故所求概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).答案：A2．拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的點數(shù)之差的肯定值為3的概率是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,18) D.eq\f(1,12)解析：拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的點數(shù)之差的肯定值為3的狀況有：1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3共6種，而拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子的狀況有36種，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，故選B.答案：B3．若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為 ()A.eq\f(2,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析：由題意知，從五位高校畢業(yè)生中錄用三人，全部不同的可能結(jié)果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種，其中“甲與乙均未被錄用”的全部不同的可能結(jié)果只有(丙，丁，戌)這1種，故其對立事務(wù)“甲或乙被錄用”的可能結(jié)果有9種，所求概率P＝eq\f(9,10).答案：D4．在2，0，1，5這組數(shù)據(jù)中，隨機取出三個不同的數(shù)，則數(shù)字2是取出的三個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：分析題意可知，共有(0，1，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4種取法，符合題意的取法有2種，故所求概率P＝eq\f(1,2).答案：C5．(2024·河北三市聯(lián)考)袋子中裝有大小相同的5個小球，分別有2個紅球、3個白球．現(xiàn)從中隨機抽取2個小球，則這2個小球中既有紅球也有白球的概率為 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,10)C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,5)解析：設(shè)2個紅球分別為a、b，3個白球分別為A、B、C，從中隨機抽取2個，則有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10個基本領(lǐng)件，其中既有紅球也有白球的基本領(lǐng)件有6個，則所求概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：D6．(2024·商丘模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為 ()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知全部的基本領(lǐng)件有9個，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，其次個數(shù)表示b的取值．滿意a2>b2的共有6個，P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：D7．(2024·榆林質(zhì)檢)從1，2，3，4這四個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：從1，2，3，4中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共12種結(jié)果，其中大于30的兩位數(shù)有31，32，34，41，42，43，共6個，所以這個兩位數(shù)大于30的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).答案：A8．(2024·武漢部分學(xué)校調(diào)研)標有數(shù)字1，2，3，4，5的卡片各1張，從這5張卡片中隨機抽取1張，不放回地再隨機抽取1張，則抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,5)解析：5張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，從這5張卡片中隨機抽取2張，基本領(lǐng)件的總數(shù)n＝5×4＝20，抽得的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的狀況有：①第1張抽到2，第2張抽到1；②第1張抽到3，第2張抽到1或2；③第1張抽到4，第2張抽到1或2或3；④第1張抽到5，第2張抽到1或2或3或4.共10種．故抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率P＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).答案：A9．(2024·武漢調(diào)研)已知某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率都為80%.現(xiàn)采納隨機模擬的方法估計該運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，表示沒有擊中目標，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標；再以每4個隨機數(shù)為一組，代表4次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281據(jù)此估計，該射擊運動員4次射擊至少3次擊中目標的概率為________．解析：∵4次射擊中有1次或2次擊中目標的有：7140，1417，0371，6011，7610，∴所求概率P＝1－eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)10．(2024·安陽模擬)盒中有三張分別標有號碼3，4，5的卡片，從盒中隨機抽取一張登記號碼后放回，再隨機抽取一張登記號碼，則兩次抽取的卡片號碼中至少有一個為奇數(shù)的概率為________．解析：法一：兩次抽取的卡片號碼有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9種狀況，其中至少有一個是奇數(shù)的有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共8種狀況，因此所求概率為eq\f(8,9).法二：所求事務(wù)的對立事務(wù)為：兩次抽取的卡片號碼都為偶數(shù)，只有(4，4)這1種取法，而兩次抽取的卡片號碼有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9種狀況，因此所求事務(wù)的概率為1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).答案：eq\f(8,9)B組——素養(yǎng)提升練11．將一顆骰子投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為________．解析：圓心(2，0)到直線ax－by＝0的距離d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，當d<eq\r(2)時，直線與圓相交，則有d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))<eq\r(2)，得b>a，滿意b>a的共有15種狀況，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)12．(2024·桂林模擬)從正五邊形ABCDE的5個頂點中隨機選擇3個頂點，則以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的概率是________．解析：從正五邊形ABCDE的5個頂點中隨機選擇3個頂點，基本領(lǐng)件總數(shù)為10，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的個數(shù)為5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．某商場實行有獎促銷活動，顧客購買肯定金額的商品即可抽獎．抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機摸出1個球．若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎．(1)用球的標號列出全部可能的摸出結(jié)果；(2)有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率．你認為正確嗎？請說明理由．解析：(1)全部可能的摸出結(jié)果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．(2)不正確．理由如下：由(1)知，全部可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中獎的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)＞eq\f(1,3)，故這種說法不正確．14．設(shè)a∈{2，4}，b∈{1，3}，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2＋bx＋1.(1)求f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率；(2)從f(x)中隨機抽取兩個，求它們在(1，f(1))處的切線相互平行的概率．解析：(1)由題意，得－eq