5.3 誘導(dǎo)公式 課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

誘導(dǎo)公式一切立體圖形中最美的是球，一切平面圖形中最美的是圓.

——畢達(dá)哥拉斯

xyOP(x,y)前面我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，是借助于單位圓給出的，并根據(jù)定義得出了誘導(dǎo)公式一，刻畫(huà)“周而復(fù)始”這種變化規(guī)律及其幾何意義．之后利用單位圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合定義，獲得了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系．事實(shí)上，圓的最重要的性質(zhì)是對(duì)稱(chēng)性，而對(duì)稱(chēng)性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)．由此想到，我們可以利用圓的對(duì)稱(chēng)性，研究三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性．圓的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題1：

在直角坐標(biāo)系中能找到單位圓的哪些特殊對(duì)稱(chēng)性呢？如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，若設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1，你能想到單位圓上點(diǎn)P1的哪些特殊對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？可能想到的對(duì)稱(chēng)性有：①點(diǎn)P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；②點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；③點(diǎn)P1關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．追問(wèn)

如果允許在坐標(biāo)系內(nèi)添加直線，你又能想到哪些？如果允許做兩次對(duì)稱(chēng)變換，你還能想到哪些？④點(diǎn)P1關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；⑤點(diǎn)P1關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；⑥點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；……如何將這些對(duì)稱(chēng)性代數(shù)化呢？可能想到的對(duì)稱(chēng)性有：①點(diǎn)P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；②點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；③點(diǎn)P1關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．

問(wèn)題2：

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1，作P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2．（1）以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？（2）角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？xyOxyO關(guān)注一下對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和的坐標(biāo)之間的關(guān)系。xyOxyO因?yàn)镻2是點(diǎn)P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以xyO根據(jù)三角函數(shù)的定義，得公式二：追問(wèn)1上述推導(dǎo)過(guò)程中用到點(diǎn)P1所在位置的條件了嗎？如果點(diǎn)P1在第二象限，那么點(diǎn)P2的坐標(biāo)與點(diǎn)P1的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？如果點(diǎn)P1在y軸負(fù)半軸上呢？在其他位置呢？據(jù)此，公式二中的角α的大小是多少？回顧推導(dǎo)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)不論點(diǎn)P1在哪里，點(diǎn)P2的坐標(biāo)與點(diǎn)P1的坐標(biāo)之間的關(guān)系都不變.

即對(duì)于正弦和余弦的誘導(dǎo)公式，可以是任意角；對(duì)于正切的誘導(dǎo)公式，的終邊不能落在y軸上，即

追問(wèn)2探究公式二的過(guò)程，可以概括為哪些步驟？每一步蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是什么？第一步，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，建立角之間的聯(lián)系；第三步，等量代換，得到三角函數(shù)值的關(guān)系.第二步，形的關(guān)系代數(shù)化，建立坐標(biāo)之間的關(guān)系；形聯(lián)系性數(shù)研究誘導(dǎo)公式的一般套路追問(wèn)3角π＋α還可以看作是角α的終邊經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？結(jié)論：角α的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角π得到的．

問(wèn)題3：

請(qǐng)你類(lèi)比公式二的研究思路，如果作關(guān)于x軸（或y軸）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（或），那么又可以得到什么結(jié)論？請(qǐng)大家自主探究和推理論證圓的對(duì)稱(chēng)性角與角的關(guān)系坐標(biāo)間的關(guān)系三角函數(shù)的關(guān)系xyO以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即：因此，只要探究角與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可.設(shè)因?yàn)槭屈c(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所以作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)xyO所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，得公式三：作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)xyO以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即：因此，只要探究角與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可.設(shè)因?yàn)槭屈c(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所以作點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，得公式四：xyO作點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)追問(wèn)公式三和公式四中的角α是多大的角？類(lèi)比公式二我們可以知道，發(fā)現(xiàn)不論點(diǎn)P1在哪里，點(diǎn)P3（

或P4）的坐標(biāo)與點(diǎn)P1的坐標(biāo)之間的關(guān)系都不變.

即對(duì)于正弦和余弦的誘導(dǎo)公式，可以是任意角；對(duì)于正切的誘導(dǎo)公式，的終邊不能落在y軸上，即誘導(dǎo)公式一～四公式三：公式四：公式二：公式一：誘導(dǎo)公式一～四

的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)的原函數(shù)值的符號(hào)例1利用公式求下列三角函數(shù)值分析：題目中的角與那個(gè)特殊角接近？拆分之后應(yīng)該選擇哪個(gè)誘導(dǎo)公式?例1利用公式求下列三角函數(shù)值解：例1利用公式求下列三角函數(shù)值解：例1利用公式求下列三角函數(shù)值解：例1利用公式求下列三角函數(shù)值解：?jiǎn)栴}4：由例1，你對(duì)公式一～公式四的作用有什么進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？你能自己歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？任意正角的三角函數(shù)任意負(fù)角的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)的角的三角函數(shù)用公式三或一用公式一用公式二或四例2化簡(jiǎn)分析：本題與例1的異同是什么？由例1總結(jié)出的求解程序在此如何應(yīng)用？例2化簡(jiǎn)小結(jié)思考：誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)和圓之間有怎樣的關(guān)系？你學(xué)習(xí)了哪些基本知識(shí)，獲得了怎樣的研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)？（1）誘導(dǎo)公式是圓的對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)化，是三角函數(shù)的性質(zhì).（2）學(xué)習(xí)了三組誘導(dǎo)公式，其研究方法如下：作業(yè)基本作業(yè)：課本191頁(yè)練習(xí)1、2、3、4題.拓展作業(yè)：你能類(lèi)比公式二的研究方法，利用④點(diǎn)P1關(guān)于直線