江蘇省鎮(zhèn)江市“五校聯(lián)考”2025屆高三上學(xué)期10月數(shù)學(xué)試卷

高三10月數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，再集合交集的概念求解可得答案.【詳解】由題意得，又因?yàn)?，所以，所以，故選：C.2.將函數(shù)圖象先向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，則（）A. B.1 C. D.－1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出y=gx的表達(dá)式，再求的值.【詳解】函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位得到，將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)，所以，故選：A.3.已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算后與比較可得．【詳解】，則，即，故選：A．4.“”是“函數(shù)的值域?yàn)椤钡模ǎ〢.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】若函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)與軸有交點(diǎn)，列出不等式求解出的范圍，結(jié)合充分條件與必要條件的性質(zhì)即可得解．【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)與軸有交點(diǎn)，所以，則或，“”是或的既不充分也不必要條件，故選：D．5.已知，都是銳角，，，求（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可求得，，再利用兩角差的余弦公式可得結(jié)果.【詳解】由，以及，都是銳角可得，；所以.故選：A6.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是（）A.1895秒 B.1896秒 C.1985秒 D.2528秒【答案】C【解析】【分析】由圓錐的體積公式計(jì)算細(xì)沙體積和沙堆體積，根據(jù)細(xì)沙體積不變即可求解．【詳解】沙漏中的細(xì)沙對應(yīng)的圓錐底面半徑為，高為，所以細(xì)沙體積為所以該沙漏的一個(gè)沙時(shí)為秒，故選：C7.在三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感．假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則這個(gè)人患流感的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】考慮患流感的這個(gè)人可能來至于哪個(gè)地區(qū)，結(jié)合互斥事件的概率計(jì)算可得答案.【詳解】由題意得，從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則這個(gè)人可能來至于三個(gè)地區(qū)中患流感的人當(dāng)中，故這個(gè)人患流感概率為，故選：D8.已知，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先證明此函數(shù)為偶函數(shù)，再利用其導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，利用其是偶函數(shù)得到，，通過指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，再根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)證明出，同取對數(shù)得到，則有，再利用單調(diào)性即可得到大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí),，設(shè)，則，，，所以即在上單調(diào)遞減,所以,所以在上單調(diào)遞減,又因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?,又因?yàn)?因?yàn)?，所以,所以，即,所以,所以,即.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題首先證明函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，對于其單調(diào)性的求解需要二次求導(dǎo)，其次就是利用函數(shù)的奇偶性對進(jìn)行一定的變形得，,然后就是比較的大小關(guān)系，需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行合理放縮，對于這種較為接近的數(shù)字比較大小問題，通常需要利用函數(shù)的單調(diào)性以及尋找合適的中間量放縮.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.一組數(shù)據(jù)：x1，x2，…，x10是公差為－2的等差數(shù)列，去掉首末兩項(xiàng)x1，x10后得到一組新數(shù)據(jù)，則（）A.兩組數(shù)據(jù)的極差相同 B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 D.兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷C，由中位數(shù)的概念可判斷B，由方差及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可判斷D，根據(jù)極差及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷A．【詳解】對于C，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，去掉，后平均數(shù)為，則C正確；對于B，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，去掉，后的中位數(shù)仍為，即中位數(shù)沒變，則B正確；對于A，原數(shù)據(jù)的極差為，去掉，后的極差為，即極差變小，則A錯(cuò)誤；對于D，設(shè)公差為d，則原數(shù)據(jù)的方差為，去掉，后的方差為，即方差變?。畼?biāo)準(zhǔn)差也變小，則D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.點(diǎn)為圖象的一個(gè)對稱中心C.若在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，直接由周期公式即可判斷；對于B，直接代入檢驗(yàn)即可；對于C，畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合即可判斷；對于D，求得后結(jié)合輔助角公式即可得解.【詳解】由題意可得，故A正確；，所以不是圖象的一個(gè)對稱中心，故B錯(cuò)誤；令，由得，根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為直線與曲線，有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得，故C正確；設(shè)f′x為則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故D正確，故選：ACD．11.在正方體中，，點(diǎn)P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)平面時(shí)，不可能垂直B.若與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長度為C.當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)、P、C的截面面積的取值范圍為[，]D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】BD【解析】【分析】對A，作出如圖空間直角坐標(biāo)系，由向量法結(jié)合向量垂直判斷即可；對B，由幾何關(guān)系得出與平面所成線面角，可得，則點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓；對C，由得點(diǎn)P在上，利用幾何關(guān)系可得的面積最值在端點(diǎn)及中點(diǎn)位置；對D，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理即可求.【詳解】對A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，即平面的一個(gè)法向量為，若平面，則，即，由，則，即P為中點(diǎn)時(shí)，有平面，且，A錯(cuò)；對B，因?yàn)槠矫?，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，于是點(diǎn)P的軌跡長度為，B對；對C，因?yàn)?，所以點(diǎn)P一定在上，又因?yàn)楫?dāng)或1時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)截面面積為，設(shè)的中點(diǎn)為H，由圖形的變化可得當(dāng)點(diǎn)P在DH和運(yùn)動時(shí)，所得截面對稱相同，于是當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，此時(shí)截面面積為，C錯(cuò)；對D，如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，D對.故選：BD【點(diǎn)睛】（1）容易建系的幾何體一般可通過建系快速解決長度、角度等問題.本題A中，通過線面平行得線與該面的法向量垂直，即可得參數(shù)間的關(guān)系，即可進(jìn)一步討論線線垂直的問題；（2）B中軌跡問題，關(guān)鍵結(jié)合正方體的線面垂直性質(zhì)得出線面角，即可得出所求軌跡為圓??；（3）C中截面問題，關(guān)鍵結(jié)合正方體的對稱性，轉(zhuǎn)化為三角形面積的和，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成討論高的范圍問題；（4）D中求不同表面線段和問題，一般展開成平面討論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若，則______．【答案】【解析】【分析】運(yùn)用條件概率和并事件的概率公式即可解決.【詳解】，將代入可以求得，，將，代入，求得故答案為：.13.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開__________.【答案】【解析】【分析】分離常數(shù)，求出函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】解：，則，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.14.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是______【答案】8【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可知，然后結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對邊分別為、、且．（1）求角的大??；（2）若，邊上的高為，求三角形的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用內(nèi)角和為化簡，利用二倍角公式化簡，再利用輔助角公式化簡即可求得；（2）由面積公式和余弦定理，聯(lián)立方程組求解三角形即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，為?nèi)角，所以，因?yàn)?，所以可化為：，即，即，因?yàn)?，解得：，即．【小?詳解】由三角形面積公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周長為.16.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)O處出發(fā)，每次等可能地向左或者向右移動一個(gè)單位.（1）求質(zhì)點(diǎn)移動5次后移動到1的位置的概率；（2）設(shè)移動5次中向右移動的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)向左或向右移動的概率均為，且是等可能的，要使得質(zhì)點(diǎn)移動5次后移動到1的位置，只需質(zhì)點(diǎn)向右移動3次，向左移動2次，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量可能取值為，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【小問1詳解】由題意，從原點(diǎn)O處出發(fā)，每次等可能地向左或者向右移動一個(gè)單位，可得質(zhì)點(diǎn)向左或向右移動的概率均為，且是等可能的，要使得質(zhì)點(diǎn)移動5次后移動到1的位置，則質(zhì)點(diǎn)向右移動3次，向左移動2次，所以概率為.【小問2詳解】由題意知，質(zhì)點(diǎn)向左或向右移動的概率均為，且是等可能的，移動5次中向右移動的次數(shù)為，可得隨機(jī)變量可能取值為，可得，，，，，，所以變量的分布列為012345則期望為.17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值.18.如圖，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面與平面交于.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知利用線面平行的判定定理得平面，進(jìn)而由線面平行的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，連接，，，由等邊三角形的性質(zhì)得，又由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得三線兩兩垂直，建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫媾c平面交于，平面，所以；【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，，所以是等邊三角形，由三線合一得：，又因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故三線兩兩垂直，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)榍矣桑?）知，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又平面的一個(gè)法向量可取，所以，設(shè)二面角的大小為，由題意為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.19.已知函數(shù).（1）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)特征，分與兩種情況，結(jié)合，得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，取，得到在上恒成立，令，則，從而，再用裂項(xiàng)相消法求和，不等式