專題04立體幾何

專題04立體幾何立體幾何解答題是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容，該考點命題相對穩(wěn)定，難度中等，是考生必須突破的核心內(nèi)容之一.高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題，主要采用“論證與計算”相結(jié)合的方式，在命題上一般包含小問，會涉及到空間點、線、面位置關(guān)系的判定與探究，特別是平行與垂直關(guān)系的證明；空間角(包括異面直線夾角、直線與平面所成角和二面角)或空間距離(包括空間幾何體的體積、表面積和點到平面的距離等)的計算.立體幾何在解題能力方面的要求是：在數(shù)學(xué)思想上，一般涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想；在解題方法上，一般涉及幾何法、向量法，往往是兩種方式相結(jié)合進行處理.一、線線角、線面角、二面角、距離問題例1.如圖，在直三棱柱中，D、E分別是棱、上的點，，．(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面ABC所成的角為45°，且，求二面角的正弦值．【解析】(1)解：取中點，AB中點O，連交于F，連，，則，∵，∴，∴是平行四邊形，∴，∵，∴．又平面平面，交線為，∴平面，∴平面，又平面，∴平面平面．(2)由（1）知，OC、OB、兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，取上一點M，使，連AM，則，又平面ABC，與平面ABC所成角為，∴，∴，不妨設(shè)，則，，，，∴，，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，∴，取，得，平面的一個法向量，，∴二面角的平面角的正弦值為．本類試題一般分兩種設(shè)問方式，一種是直接求解空間角或空間距離；另外一種是已知空間角或者空間距離，求解相關(guān)幾何量的大小..解決這類問題一般需要先根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標系，然后通過數(shù)學(xué)抽象將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，找到關(guān)鍵量的坐標表示(需引入?yún)?shù)，但要求盡可能少的參數(shù)，一般可以用共線向量處理)，再用待定系數(shù)的方法進行直接運算，求解函數(shù)或方程，得出參數(shù)的具體值，最后還原到幾何體中求解相應(yīng)的幾何量.1.三棱錐中，，平面平面，，，分別為和的中點，平面平面.（1）證明：直線；（2）設(shè)直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，則在直線上是否存在一點，使得.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）證明：∵、分別為、的中點，∴，又∵面，面∴面，又∵面，面面，∴（2）以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，則，，可求得面法向量設(shè)與面所成角為，則∵∴∴即存在滿足題意，此時.1.【2022·全國·高三專題練習】如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，O為中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大小；（3）線段上是否存在點Q，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）在中，，O為中點，∴，又側(cè)面底面，平面平面，平面，∴平面．（2）如圖所示，以O(shè)為坐標原點，、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，依題意，易得，，，，．∴，，∴異面直線與所成角是．（3）假設(shè)存在點Q，使得它到平面的距離為．由（2）知，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，即，取，得平面的一個法向量為．設(shè)，，，由，得，解得或（舍去），此時，，∴存在點Q滿足題意，此時．1．【2021·全國·高考真題】如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【解析】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標法如圖所示，以O(shè)為坐標原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結(jié)，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.二、翻折問題例2.如圖，四邊形ABCD中，，，，沿對角線AC將△ACD翻折成△，使得.(1)證明：；(2)若為等邊三角形，求二面角的余弦值.【解析】(1)取中點F，連接EF，BF，因為，所以EF是的中位線，故∥，因為，所以，又因為，，所以平面BEF，因為平面BEF，所以，由三線合一得：(2)因為為等邊三角性，所以，由第一問可知：，從而，由三線合一得：，取AB的中點H，過點H作HG⊥AB交AC于點G，連接，從而，故為二面角的平面角，由勾股定理得：，從而，，由可得：，由勾股定理得：，因為，在中，由余弦定理得：，故，又，在中，由余弦定理得：，故二面角的余弦值為.翻折問題主要包含兩大問題：平面圖形的折疊與幾何體的表面展開.這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)，展開與折疊問題就是一個由抽象到直觀，由直觀到抽象的過程.解決翻折問題，關(guān)鍵是對翻折前后不變量及不變性的把握，即將翻折前后的圖形進行比較，弄清楚哪些角和長度變了，哪些沒變(可以觀察各面的位置關(guān)系變化，同一面上的邊角基本不會變)；哪些點、線共面，哪些不共面；翻折后的線與原來的線有什么關(guān)系，尤其要注意找出相互平行或垂直的直線.2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，，將平面ABD沿BD翻折得到四面體A'﹣BCD，點E為棱A'B的中點，過點D作DF⊥A'C于點F，當四面體A'﹣BCD的體積最大時．（1）證明：EF⊥A'C；（2）求點B到平面DEF的距離．【解析】證明：（1）∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，AB＝，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD為等腰直角三角形，且AD⊥BD，∴BC⊥BD，設(shè)點A′到面BCD的距離為h，則，∴當四面體A'﹣BCD的體積最大時，h最大，此時h＝A′D，即A′D⊥面BCD，∵BC?面BCD，∴A′D⊥BC，∵BD⊥BC，BD∩A′D＝D，BD，A′D?面A′BD，∴BC⊥面A′BD，∵DE?面A′BD，∴BC⊥DE，∵A′D＝BD，E為A′D中點，∴DE⊥A′B，∵A′B∩BC＝B，A′B，BC?面A′BC，∴DE⊥面A′BC，∵A′C?面A′BC，∴DE⊥A′C，∵DF⊥A′C，DF∩DE＝D，DF，DE?面DEF，∴A′C⊥面DEF，∵EF?面DEF，∴EF⊥A′C．解：（2）過點F作FH⊥A′B交A′B于點H．由（1）知DE⊥面A′BC，∵EF?面A′BC，∴DE⊥EF，∵A′D＝BD＝1，∴AB＝，∵E是A′B的中點，∴DE＝BE＝，在Rt△A′BC中，EF＝，A′F＝，∴FH＝，設(shè)點B到面DEF的距離為d′，則VB﹣DEF＝VD﹣BEF，∴，d′＝．2.【2022·重慶·一?！咳鐖D，在平面四邊形中，，將沿翻折，使點到達點的位置，且平面平面.(1)證明：；(2)若為的中點，二面角的平面角等于，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值.【解析】(1)證明：因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又因為平面，所以.又因為，所以平面，又因為平面，所以(2)（法一）因為，所以是二面角的平面角，即，在中，，設(shè)，因為平面，所以點到平面的距離，所以點到平面的距離，，設(shè)P點到平面的距離為,因為，所以，所以，設(shè)直線與平面所成角為.（法二）因為，所以是二面角的平面角，即，在中，，因為平面，即兩兩垂直，以為原點建立如圖所示的坐標系，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則由得，令，得，令直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.2．【2018·全國·高考真題（理）】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【解析】（1）由已知可得，，，又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）作，垂足為.由（1）得，平面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）可得，.又，，所以.又，，故.可得.則為平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.三、存在性問題例3.如圖，在四棱錐中，已知底面，，異面直線與所成角等于.(1)求證：平面平面(2)在棱上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的切值為？若存在，指出點的位置，若不存在，請說明理由.【解析】(1)證明：底面，又平面，平面平面，平面平面.(2)解：如圖，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，假設(shè)棱上存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為，設(shè)，且，則，，設(shè)平面DEB的一個法向量為，，則，取，得，平面的法向量，平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為，平面PAB與平面BDE所成銳二面角的余弦值為，，解得或（舍），在棱上存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為為棱上靠近的三等分點.解決存在性問題主要有以下方法：(1)幾何法，即分析法與綜合法并用，一般先假設(shè)存在，借助相應(yīng)的性質(zhì)定理進行分析推理，得出結(jié)論.若存在，再用判定定理證明，即先猜后證；若不存在，則用反證法證明.(2)向量法，即建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用假設(shè)存在符合題意的條件，結(jié)合題意，根據(jù)空間向量的坐標運算列出方程.若方程有解，則存在；若方程無解或者所求不符合題意，則不存在.3.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PB的中點，______．從①；②平面PAD這兩個條件中選一個，補充在上面問題的橫線中，并完成解答．注：如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分．(1)求證：四邊形ABCD是直角梯形．(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PB上是否存在一點F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【解析】(1)解：選擇①：證明：平面，平面，，，因為，，，，，，平面，平面，平面，，，，四邊形是直角梯形．選擇②：證明：平面，平面，，，，，，，，，平面，平面，平面，，，四邊形是直角梯形．(2)解：過作的垂線交于點，平面，，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，2，，，2，，，0，，，，，為的中點，，，，，，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，得，1，，設(shè)直線與平面所成角為，則，．直線與平面所成角的正弦值為．(3)解：設(shè)，則，，，，，，，，平面，，，解得．故存在點F，且．3.【2022·湖南岳陽·一?！咳鐖D，在三棱錐中，，．(1)證明：平面SAB⊥平面ABC；(2)若，，試問在線段SC上是否存在點D，使直線BD與平面SAB所成的角為60°，若存在，請求出D點的位置；若不存在，請說明理由．【解析】(1)法一證明：取AB的中點E，連接SE，CE，∵，∴，因為所以三角形ACB為直角三角形，所以又所以所以所以又，，∴平面ABC．又平面SAB，∴平面平面ABC．法二、作平面ABC，連EA，EC，EB，EA，EC，EB都在平面ABC內(nèi)所以，，又所以因為所以三角形ACB為直角三角形，所以E為AB的中點則平面SAB，∴平面平面ABC．(2)以E為坐標原點，平行AC的直線為x軸，平行BC的直線為y軸，ES為z軸建立空間直角坐標系，如圖，不妨設(shè)，，則，知，則，，，，，∴，，設(shè)，，則，∴，．設(shè)平面SAB的一個法向量為則，取，得，，則，得，又∵，方程無解，∴不存在點D，使直線BD與平面SAB所成的角為60°3．【2016·北京·高考真題（理）】如圖，在四棱錐中，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【解析】（Ⅰ）因為平面平面，，所以平面.所以.又因為，所以平面.（Ⅱ）取的中點，連結(jié).因為，所以.又因為平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為，所以.如圖建立空間直角坐標系.由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）設(shè)是棱上一點，則存在使得.因此點.因為平面，所以平面當且僅當，即，解得.所以在棱上存在點使得平面，此時.四、開放性問題例4.如圖，在正四棱柱中，，，分別為棱，的中點，為棱上的動點.(1)求證：，，，四點共面；(2)是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的長度；若不存在，說明理由.【解析】(1)證明：如圖所示：連接，，取的中點為M，連接，ME，因為E為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為F為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以B，E，，F(xiàn)四點共面；(2)以D為坐標原點，DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，假設(shè)存在滿足題意的點G，設(shè)，由已知，，，則，，，設(shè)平面BEF的一個法向量為，則，即，取，則；設(shè)平面GEF的一個法向量為，則，即，取，則；因為平面平面BEF，所以，所以，所以.所以存在滿足題意的點G，使得平面平面BEF，DG的長度為.開放性問題相對于存在性問題而言，有其結(jié)論的多樣性，即結(jié)論的不確定性.如果結(jié)論是肯定的，需要通過推理論證或者轉(zhuǎn)化為向量運算進行說明；如果是否定的，則需要得出矛盾，利用反證法或者通過數(shù)量關(guān)系的矛盾性解決.4.如圖，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，點為棱的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)判斷直線與平面是否相交，如果相交，求出到交點的距離；如果不相交，求直線到平面的距離．【解析】(1)證明：因為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．(2)證明：因為平面，平面，所以，又，所以兩兩互相垂直.如圖以A為原點，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.由，可知，，，，，則，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，則，所以，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，則，所以，則，易知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.(3)由，得，因為，所以與平面不平行，所以直線與平面相交，在四邊形中延長交的延長線于點.點就是直線與平面的交點，易知，所以.4.【2022·湖南婁底·高三期末】如圖，在長方體中，，．若平面APSB與棱，分別交于點P，S，且，Q，R分別為棱，BC上的點，且．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)平面APSB與平面所成銳二面角為，探究：是否成立？請說明理由．【解析】(1)在長方體中，因為平面，平面，所以，在和中，因為，,，所以，,所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面．(2)以D為坐標原點，射線DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，不妨設(shè)，其中，由（1）得，平面的法向量為，因為，，所以，則，若，則，解得，因為，所以成立．4．【2019·北京·高考真題（理）】如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．【解析】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點A為坐標原點，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知：，由可得點F的坐標為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為：，很明顯平面AEP的一個法向量為，，二面角FAEP的平面角為銳角，故二面角FAEP的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個法向量為：，其且點A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).五、立體幾何創(chuàng)新定義例5．（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點滿足：，求該正四面體的體積．【解析】（1）取的三等分點，，的中點，的中點，過三點，，作平面，過三點，，作平面，因為，，所以平面平面，再過點，分別作平面，與平面平行，那么四個平面，，，依次相互平行，由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，每相鄰兩個平面間的距離相等，故，，，為所求平面．（2）如圖，將此正四面體補形為正方體（如圖），分別取、、、的中點、、、，平面與是分別過點、的兩平行平面，若其距離為1，則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設(shè)正方體的棱長為，若，因為，，在直角三角形中，，所以，所以，又正四面體的棱長為，所以此正四面體的體積為．“新定義”題型解題步驟解題時可以分這樣幾步：(1)對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號。(2)細細品味新定義的概念、法則，對新定義所提取的信息進行加工，探求解決方法，有時可以尋求相近知識點，明確它們的共同點和不同點。(3)對定義中提取的知識進行轉(zhuǎn)換，有效的輸出，其中對定義信息的提取和化歸是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點。如果是新定義的運算、法則，直接按照運算法則計算即可；若是新定義的性質(zhì)，一般就要判斷性質(zhì)的適用性，能否利用定義的外延，可用特值排除等方法。5.已知，，，定義一種運算：，已知四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，（1）試計算的絕對值的值，并求證面；（2）求四棱錐的體積，說明的絕對值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運算的絕對值的幾何意義.【解析】（1）由題意＝48．，，∴，即．是平面內(nèi)兩相交直線，∴平面．（2）由題意，，，，∴．∴，猜想：的絕對值表示以為鄰邊的平行六面體的體積．5.【2021·全國·模擬預(yù)測】蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當蜂房表面