第01講余弦定理

第11章 解三角形第01講余弦定理目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)1.借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系．2.掌握余弦定理、正弦定理．3.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.弄清正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)思路，并在此基礎(chǔ)上掌握正、余弦定理的本質(zhì)．2.解決三角形的邊長(zhǎng)夾角問(wèn)題知識(shí)精講知識(shí)精講1．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常見(jiàn)變形(1)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；(2)cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).2．余弦定理與勾股定理的關(guān)系余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．3．余弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立．(2)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個(gè)不同的量，知道其中的三個(gè)量，就可求得第四個(gè)量．4．利用余弦定理可以解決兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知兩邊和一邊的對(duì)角，可以用余弦定理解三角形能力拓展能力拓展考法01已知兩邊一角解三角形例1(1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝60eq\r(3)cm，A＝eq\f(π,6)，則a＝________cm；例1(2)在△ABC中，若AB＝eq\r(5)，AC＝5，且cosC＝eq\f(9,10)，則BC＝________.【答案】(1)60(2)4或5【解析】(1)由余弦定理得：a＝eq\r(602＋60\r(3)2－2×60×60\r(3)×cos\f(π,6))＝eq\r(4×602－3×602)＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(eq\r(5))2＝52＋BC2－2×5×BC×eq\f(9,10)，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.【練后悟通】已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其它角．【跟蹤訓(xùn)練】1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝eq\f(1,3)，則c＝()A．4 B.eq\r(15)C．3 D.eq\r(17)【答案】D【解析】cosC＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,3).又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝17，所以c＝eq\r(17).故選D.2．在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，解這個(gè)三角形．【解析】根據(jù)余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(2eq\r(3))2＋(eq\r(6)＋eq\r(2))2－2×2eq\r(3)×(eq\r(6)＋eq\r(2))×cos45°＝8，∴b＝2eq\r(2).又∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq\f(1,2)，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.考法02已知三邊解三角形例2在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C.例2【解析】根據(jù)余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,26＋2\r(3)4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,6)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).∴B＝π－A－C＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,4)＝eq\f(7,12)π，∴A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(7,12)π，C＝eq\f(π,4).【方法總結(jié)】已知三角形三邊解三角形的方法先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理的推論(或由求得的第一個(gè)角利用正弦定理)求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．【變式訓(xùn)練】1．[變條件]已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC中各角的度數(shù)．【解析】已知a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推論，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(6)2＋\r(3)＋12－22,2×\r(6)×\r(3)＋1)＝eq\f(\r(2),2)，∵0°<A<180°，∴A＝45°.cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(22＋\r(3)＋12－\r(6)2,2×2×\r(3)＋1)＝eq\f(1,2)，∵0°<B<180°，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.2．[變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)]若三角形三邊長(zhǎng)之比是1∶eq\r(3)∶2，則其所對(duì)角之比是()A．1∶2∶3 B．1∶eq\r(3)∶2C．1∶eq\r(2)∶eq\r(3) D.eq\r(2)∶eq\r(3)∶2【答案】A【解析】設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為m，eq\r(3)m,2m(m＞0)，最大角為A，則cosA＝eq\f(m2＋\r(3)m2－2m2,2m·\r(3)m)＝0，∴A＝90°.設(shè)最小角為B，則cosB＝eq\f(2m2＋\r(3)m2－m2,2·2m·\r(3)m)＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝30°，∴C＝60°.故三角形三角之比為1∶2∶3.故選A.3．[變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)]在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sinA∶sinC＝(eq\r(3)＋1)∶2，求角C.【解析】∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B.∴2accosB＝ac，∴cosB＝eq\f(1,2).∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，A＋C＝120°.∵eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，∴2sinA＝(eq\r(3)＋1)sinC.∴2sin(120°－C)＝(eq\r(3)＋1)sinC.∴2sin120°cosC－2cos120°sinC＝(eq\r(3)＋1)sinC.∴sinC＝cosC.∴tanC＝1.∵0°<C<180°.∴C＝45°.考法03判斷三角形的形狀例3在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，試判斷△ABC的形狀例3【解析】將已知等式變形為b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC.由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2ac)))2＝2bc×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴b2＋c2＝eq\f([a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2,4a2)＝eq\f(4a4,4a2)＝a2.∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．【方法總結(jié)】利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)(1)利用余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解．【跟蹤訓(xùn)練】在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷△ABC的形狀．【解析】由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知條件得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開(kāi)整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單選題1．在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，可得，，則．故選：C.2．從長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5的5根細(xì)木棒中選擇三根圍成一個(gè)三角形，則最大內(nèi)角（

）A．可能是銳角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于【答案】D【解析】從長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5的5根細(xì)木棒中選擇三根有，，，，，，，，，共10種取法，其中能夠圍成三角形的有，，三種，若三邊為2，3，4，設(shè)最大角為，則，故；若三邊為2，4，5，設(shè)最大角為，則，此時(shí)；若三邊為3，4，5，故最大角為直角，綜上所述，D選項(xiàng)正確.故選：D.3．在中，三邊長(zhǎng)分為5，7，8，則最大角和最小角之和是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)為的最小角，為的最大角，由余弦定理，可得，因?yàn)椋?，所以，即最大角和最小角之和?故選：B.4．在銳角△ABC中，b＝1，c＝2，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在銳角△ABC中，b＝1，c＝2.若C為最大角，即，則，即，解得：；若A為最大角，即，則，即，解得：；所以.故選：D5．在中，分別是角的對(duì)邊，若，則角等于（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】，又余弦定理得故故選：C6．勾股定理被稱(chēng)為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱(chēng)商高定理．漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱(chēng)趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性．現(xiàn)將弦圖中的四條股延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度（如將延長(zhǎng)至）得到圖2．在圖2中，若，，、兩點(diǎn)間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由條件可得，在中，由余弦定理得，所以，，所以，，，，所以弦圖中小正方形的邊長(zhǎng)為．故選：C.二、多選題7．在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，已知，，，則邊長(zhǎng)的值為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】在中，，，，由余弦定理得，，，，解得或，故選：AB8．設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為、、，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，，可以得出，∴，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)，則，，則，所以與矛盾，∴，故C正確，對(duì)于D選項(xiàng)，取，滿(mǎn)足，此時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題9．已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且，則的最小角的余弦值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】因?yàn)椋士稍O(shè)，因?yàn)椋首钚?，從?故答案為：.10．在中，已知，，，則______.【答案】【解析】在中，已知，，，由余弦定理得：，所以.故答案為：四、解答題11．如圖，兩條筆直的公路相交成60°角，兩輛汽車(chē)A和B同時(shí)從交點(diǎn)O出發(fā)，分別沿兩條公路行駛．如果汽車(chē)A的速度是48km/h，那么汽車(chē)B應(yīng)以多大的速度行駛，才能使這兩輛汽車(chē)在出發(fā)1h后相距43km(結(jié)果精確到1km/h)？【答案】或【解析】如圖：設(shè)1小時(shí)后，汽車(chē)在點(diǎn)，汽車(chē)在點(diǎn)，由已知：在中，，，，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，解得或13．∴汽車(chē)的速度是，或時(shí)，兩輛汽車(chē)在出發(fā)后相距．12．在中，(1)已知b＝8，c＝3，，求a；(2)已知a＝7，b＝3，c＝5，求；(3)已知a＝20，b＝29，c＝21，求．【解析】(1)依題意.(2)由余弦定理得，由于，所以.(3)由余弦定理得，由于，所以.題組B能力提升練一、單選題1．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求職公式，即的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則的面積.已知在中，，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵，又∵，.∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.∴，∴面積的最大值為4.故選：D2．已知在三角形中，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因?yàn)?，所以，所以，即；故選：A3．銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵阡J角中，，所以，得，則所以，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，所以的最小值為.故選：B4．在中，，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【解析】在中，，又由余弦定理知，，兩式相加得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立），為的內(nèi)角，，，又，的形狀為等邊△．故選：．5．星等分為兩種：目視星等與絕對(duì)星等但它們之間可用公式轉(zhuǎn)換，其中為絕對(duì)星等，為目視星等，為距離（單位：光年）．現(xiàn)在地球某處測(cè)得牛郎星目視星等為0.77，絕對(duì)星等為2.19；織女星目視星等為0.03，絕對(duì)星等為0.5，且牛郎星和織女星與地球連線(xiàn)的夾角大約為34°，則牛郎星與織女星之間的距離約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．26光年 B．16光年 C．12光年 D．5光年【答案】B【解析】由，所以，由題意知：、、、，設(shè)地球與牛郎星距離為，地球與織女星距離為，織女星與牛郎星距離為，則，，如圖由余弦定理，所以，即牛郎星與織女星之間的距離約為16光年；故選：B6．在中，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可知，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.故選：A.二、多選題7．在中，，，，下列命題為真命題的有（

）A．若，則B．若，則為銳角三角形C．若，則為直角三角形D．若，則為直角三角形【答案】ACD【解析】A：若，由正弦定理得，，則A正確；B：若，則，，即為鈍角，為鈍角三角形，故B錯(cuò)誤；C：若，則，為直角三角形，故C正確；D：若，則，，，由余弦定理知，，則，，，為直角三角形，故D正確．故選：ACD．8．的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，對(duì)于，有如下命題，其中正確的有（

）A．sin(B+C)=sinAB．cos(B+C)=cosAC．若，則為直角三角形D．若，則為銳角三角形【答案】AC【解析】依題意，中，，，A正確；，B不正確；因，則由余弦定理得：，而，即有，為直角三角形，C正確；因，則，而，即有，為鈍角三角形，D不正確.故選：AC三、填空題9．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且，，，符合條件的三角形有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____【答案】【解析】在中，，，，由余弦定理得：，即.因?yàn)榉蠗l件的三角形有兩個(gè)，所以關(guān)于c的方程由兩個(gè)正根，所以，解得：.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：10．如圖，已知為重心，且，若，則的值為_(kāi)________．【答案】【解析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，所以，，，所以，，所以，，設(shè)，，，因?yàn)?，則，則，由余弦定理可得，所以，，因此，.故答案為：.四、解答題11．如圖，在中，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，.(1)若是正三角形，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的值.【解析】(1)因?yàn)?，，由余弦定理可?(2)因?yàn)?，則為銳角，則，則，由正弦定理得，則，因此，.題組C培優(yōu)拔尖練一、單選題1．銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是（

）A．(） B．(）C．[) D．[，1)【答案】C【解析】由題意得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），由于三角形是銳角三角形，所以，所以，解