高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：函數(shù)的極值與最值

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、函數(shù)的極值二、最值問(wèn)題函數(shù)的極值和最值微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)(

)恒有或，則稱點(diǎn)為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），而為函數(shù)的極大值（或極小值）。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。顯然，極值是局部性概念，它只是在局部范圍內(nèi)（即在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)）達(dá)到最大或最小，未必是區(qū)間上的最大（或最?。┲怠膱D象中還可看到，函數(shù)取得極值處，曲線的切線是水平的，但曲線上有水平切線處卻未必取得極值。注意：是為極值點(diǎn)的必要條件而非充分條件。我們稱使的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)。即對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)。定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值，則。另外，函數(shù)在不可導(dǎo)的點(diǎn)處也可能取得極值，例如在處不可導(dǎo)，但函數(shù)在該點(diǎn)取極小值。定義2如果函數(shù)在定義域的某一點(diǎn)處滿足或該點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)不存在，則我們稱該點(diǎn)為函數(shù)的臨界點(diǎn)。由此，我們可以得到如下結(jié)論：函數(shù)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的臨界點(diǎn)；但臨界點(diǎn)卻不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；（3）當(dāng)，或時(shí)不變號(hào)，則在點(diǎn)處無(wú)極值。（1）當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；定理2（一階充分性條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)連續(xù)并可導(dǎo)，（1） 如果在處從負(fù)變到正，則為的極小值點(diǎn)，為的極小值。（2） 如果在處從正變到負(fù)，則為的極大值點(diǎn)，為的極大值。當(dāng)為函數(shù)的臨界點(diǎn)時(shí)，有（3） 如果在處兩邊正負(fù)號(hào)相同，則在處沒(méi)有極值。例1

求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間和極值。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋湟浑A導(dǎo)數(shù)為令，得，不存在的點(diǎn)，臨界點(diǎn)為：，。其把定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，其結(jié)果列表定理3（二階充分性條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處，，則（1） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；（2） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值。例2

求的極值。解：由于令得駐點(diǎn)為，，而得故是極大值，是極小值。例3

求函數(shù)的極值。由于解：令,得駐點(diǎn)為，，，而得所以在處取得極小值。當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由定理2得出在處無(wú)極值。同理，在處也無(wú)極值。此外，由于，綜上所述，我們可以把求函數(shù)極值的步驟歸納如下：（1）由導(dǎo)數(shù)求出在定義域內(nèi)的臨界點(diǎn)；（2）通過(guò)應(yīng)用極值存在的一階充分條件或二階充分條件，確定上述點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。若是的話，確定是極大還是極小值點(diǎn)；(3)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，從而求得的全部極值。二、最值問(wèn)題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常會(huì)遇到這樣一類問(wèn)題：在一定條件下，如何使“投入最少，產(chǎn)出最多，成本最低，收益最高，利潤(rùn)最大”等等。這些問(wèn)題反映在數(shù)學(xué)上就是求某一函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題（這里簡(jiǎn)稱為求最值問(wèn)題）。

最值是個(gè)全局性的概念，它有別于極值，最值是函數(shù)在所考慮的區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大值或最小值。而極值是函數(shù)某點(diǎn)鄰域內(nèi)的最值。一般說(shuō)來(lái)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值，可以由以下兩個(gè)方面取得：它們可以在閉區(qū)間內(nèi)部取得，此時(shí)這個(gè)最大值或最小值同時(shí)是極大值或極小值，也就是在內(nèi)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；另外它們有可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。由此，我們把求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法歸納如下：(1)求出在閉區(qū)間上的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(3)對(duì)上述函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。(2)求出上述諸點(diǎn)及端點(diǎn)的函數(shù)值；(2)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值，則此極大值就是在上的最大值。同樣，如在內(nèi)有且僅有一個(gè)極小值，則該極小值就是在上的最小值。特殊地，(1)如果函數(shù)在上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）則是在上的最小值（或最大值），是在上的最大值（或最小值）。(3)實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用中，往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)確有最大值或最小值，而且一定在區(qū)間內(nèi)部取得，這時(shí)如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有惟一駐點(diǎn)，則立即可斷定就是最大或最小值。解：令，解得，，比較三個(gè)函數(shù)值，得出在