數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)?鞏固1.tan10°·tan20°+（tan10°+tan20°)的值等于（)A。B.1C.D.思路分析：∵，∴tan10°+tan20°=（1-tan10°·tan20°).∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1。答案:B2.若sin（α-β）cosα—cos（α-β)sinα=m，且β為第三象限角，則cosβ的值為(）A.B。C.D.思路分析:由條件，得sin［（α—β)—α]=sin（—β)=-sinβ=m，∴sinβ=—m。又∵β為第三象限角,∴cosβ=.答案：B3.若tanθ=，則cos2θ-sin2θ的值等于(）A.B。C。D。思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sinθcosθ，tanθ=，∴原式=。答案：C4.若tan（α+β）=,tan(β—)=，那么tan（α+)等于（)A。B.C。D。思路分析：tan（α+）=tan［(α+β)—（β—)］。答案:B5。函數(shù)y=2sin(—x)-cos(+x），(x∈R）的最小值是__________。思路分析：y=2sincosx—2cossinx-coscosx+sinsinx=cosx-sinxcosx+sinx=cosxsinx=cos（x-)。所以函數(shù)的最小值為—1。答案:-16。設(shè)tanα=，tanβ=，α、β均為銳角，則tan(α+2β）=_________。思路分析：∵tanβ=，∴tan2β=tan（β+β)=。又∵tanα=，∴tan（α+2β）=.答案：1綜合?應(yīng)用7.已知銳角三角形ABC中，sin（A+B）=,sin(A-B)=，（1)求證：tanA=2tanB;(2)設(shè)AB=3,求AB邊上的高.（1)證明：∵sin(A+B)=,sin（A-B)=，∴.∴tanA=2tanB。(2）解:∵＜A+B＜π,sin（A+B）=，∴tan(A+B）=，即，將tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB—1=0.解之,得tanB=,舍去負(fù)值得tanB=。∴tanA=2tanB=.設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=。由AB=3，得CD=。所以AB邊上的高等于。8.重量為G的小車在地面上，卷揚(yáng)機(jī)通過定滑輪牽引著它（如圖3-1-8），小車和地面間的動摩擦因數(shù)為μ，問牽引角φ等于多大時,用力最??？圖3—1—8思路分析：作出小車的受力分析如右圖,由平衡條件得關(guān)于各力的方程，消元求解即可。解:由小車的受力分析可得解得。要使F最小，分母應(yīng)最大，即cos(α—φ）=1，α=φ.又tanα=μ，所以當(dāng)φ=arctanμ時,F最小，最小值為Fmin==Gsinα=Gsinφ.9.tanα、tanβ是方程x2—3x—3=0的兩個根,試求sin2(α+β)—3sin（α+β)cos(α+β）—3cos2（α+β）的值.思路分析:本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和兩角和與差的正切公式的應(yīng)用。在解題過程中,要利用兩角和的正切公式統(tǒng)一角，再用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系統(tǒng)一函數(shù)。在解決三角函數(shù)問題里,常需要遵循這樣的原則：化簡、計算、證明。解:由已知tanα、tanβ是方程x2-3x—3=0的兩個根，根據(jù)韋達(dá)定理，有tanα+tanβ=3，tanα·tanβ=-3。所以tan(α+β)=.所以sin2（α+β)-3sin（α+β）cos(α+β)—3cos2(α+β）〔分子、分母同時除以cos2（α+β)可得此式〕.10.如圖3-1—9，扇形薄鐵板的半徑是1m，中心角為60°，四邊形PQRS是扇形的內(nèi)接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS的面積最大？圖3—1-9思路分析：可以設(shè)∠POS=α,然后將矩形的兩邊用α的三角函數(shù)式來表示,經(jīng)過適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化成一個三角函數(shù),進(jìn)而求出最大面積。解:令∠POS=α，在Rt△POS中，PS=OP·sinα=sinα，OS=OP·cosα=cosα；在Rt△ROQ中,OR=QR·cot60°=QR=PS=sinα.RS=OS—OR=cosα—sinα.S矩形=PS·RS=（cosα—sinα）sinα=sinαcosα—sin2α。當(dāng)α=30°時，上式有最大值，最大值為.回顧?展望11。(2006蘇州統(tǒng)考)是否存在銳角α、β，使得①α+2β=，②tantanβ=2-同時成立?若存在,求出銳角α、β的值；若不存在，請說明理由.思路分析：對于探索存在性問題,通常先假設(shè)存在,然后求解，如果能求出結(jié)果，則說明存在,否則就說明不存在.解:假設(shè)存在銳角α、β使得①α+2β=，②tantanβ=同時成立.由①得+β=，所以tan（+β)=。又tantanβ=，所以tan+tanβ=。于是tan、tanβ可以看成是方程x2—(3—3）x+2-3=0的兩個根.解得x1=1,x2=。若tan=1，則α=，這與α為銳角矛盾。所以tan=，tanβ=1.所以α=30°,β=45°.所以存在滿足條件的α、β且α=30°