2024-2025學(xué)年湖北省宜昌市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省宜昌市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線和直線的位置關(guān)系為（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直2．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．03．已知直線l的一個(gè)方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A．0 B． C． D．4．袋子中有一些大小質(zhì)地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.56，摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68，則摸出的球是白球或黑球的概率為（）A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.825．如圖，已知是邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個(gè)格點(diǎn)，點(diǎn)P為平面ABC外一點(diǎn)，且，，若，則（）

A． B． C．6 D．6．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．7．若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實(shí)數(shù)（

）A．-1 B．2 C．-l或2 D．-2或l8．在正三棱錐P-ABC中，，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則（）A． B． C． D．3二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，則（）A．不過原點(diǎn) B．在x軸上的截距為C．的斜率為 D．與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10．甲、乙兩個(gè)口袋中裝有除了編號(hào)不同外其余完全相同的號(hào)簽.其中甲袋中有編號(hào)為1，2，3的三個(gè)號(hào)簽；乙袋中有編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)號(hào)簽.現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個(gè)號(hào)簽，從甲、乙兩袋抽取號(hào)簽的過程互不影響.記事件A：從甲袋中抽取號(hào)簽1；事件B：從乙袋中抽取號(hào)簽5；事件C：抽取的兩個(gè)號(hào)簽和為4；事件D：抽取的兩個(gè)號(hào)簽編號(hào)不同，則下列說法正確的是（）A． B．C．事件C與D互斥 D．事件A與事件D相互獨(dú)立11．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）

A．，，，四點(diǎn)共面B．與所成角的大小為C．在線段上存在點(diǎn)，使得平面D．在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線的方程為，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.13．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，若，則直線BD1與CD之間的距離為.14．九宮格數(shù)獨(dú)游戲是一種訓(xùn)練推理能力的數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個(gè)小宮格，某小九宮格如圖所示，小明需要在9個(gè)小格子中填上1～9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過推理已經(jīng)得到了4個(gè)小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，a，b，c，d，e這5個(gè)數(shù)字未知，且b，d為偶數(shù)，則的概率為.9a7bcd4e6四、解答題（本大題共5小題）15．在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，，關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱.(1)求邊上的高所在直線的一般式方程；(2)已知過點(diǎn)B的直線l平分△ABC的面積，求直線l的方程.16．如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)滿足.

(1)用表示；(2)若三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，求及.17．在荾形中，，，將菱形沿著翻折，得到三棱錐如圖所示，此時(shí)．(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．18．為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學(xué)科綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校數(shù)學(xué)組舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關(guān)形式．現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是和．假設(shè)兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響．(1)若乙回答了4個(gè)問題，求乙至少有1個(gè)回答正確的概率；(2)若甲、乙兩人各回答了3個(gè)問題，求甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的概率；(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答5次被退出比賽的概率．19．在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．(1)求經(jīng)過的直線的點(diǎn)方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，證明：；(3)已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn)，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大?。?/p>

答案1．【正確答案】A【詳解】直線和直線的斜率分別為，，因?yàn)?，所?故選：A2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋?，?故選：C3．【正確答案】D【詳解】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，所以l的斜率，又，所以，因?yàn)?，所?故選：D.4．【正確答案】C【詳解】設(shè)摸出紅球的概率為，摸出白球的概率為，摸出黑球的概率為，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率為0.76．故選C．5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋?，則，所以.故選：B.6．【正確答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則向量在向量上的投影向量為.故選D.7．【正確答案】A【詳解】①當(dāng)時(shí)，可得，，由，則此時(shí)不符合題意；②當(dāng)時(shí)，可得直線的斜率，直線的斜率，由，整理可得，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，，整理的方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，，整理的方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時(shí)符合題意.綜上可得.故選：A.8．【正確答案】B【詳解】在正三棱錐中，，又，，所以，所以，同理可得，，即兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，易得，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離，所以，故選B.

9．【正確答案】ACD【詳解】因?yàn)椋圆贿^原點(diǎn)，所以A正確；令，得，所以在軸上的截距為，所以B錯(cuò)誤；把化為，所以的斜率為，所以C正確；把化為，所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以D正確.故選：ACD.10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，樣本點(diǎn)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18種可能的結(jié)果，則，，A正確；對(duì)于B，事件C包含的樣本點(diǎn)有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3種可能的結(jié)果，則，故B正確；對(duì)于C，事件D包含的樣本點(diǎn)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15種可能的結(jié)果，故事件C與D不互斥，C錯(cuò)誤：對(duì)于D，，由，得A，D相互獨(dú)立，D正確.故選：ABD.11．【正確答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的共面定理可判斷A選項(xiàng)，利用坐標(biāo)法求異面直線夾角可直接判斷B選項(xiàng)，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，設(shè)，，利用坐標(biāo)法驗(yàn)證線面垂直，可判斷C選項(xiàng)；分別證明與上的所有點(diǎn)到平面的距離為定值，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)，

則，所以，解得，故，即，，，四點(diǎn)共面，故A正確；因?yàn)?，，所以，所以與所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意，設(shè)（），則，若平面，則，,因?yàn)?，，所以，此方程組無解，所以在線段上不存在點(diǎn)，使得平面，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值，故D正確；故選ABD.12．【正確答案】/【詳解】將直線化為一般方程可得，由點(diǎn)到直線距離公式可得坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.故13．【正確答案】【詳解】以為軸，為軸，為軸建立空間直線坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)與，都垂直的一個(gè)向量，則，取，則，，所以與BD1，CD都垂直的一個(gè)向量，所以直線與之間的距離為.故14．【正確答案】/【詳解】這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果用下表表示：a113355113355b222222888888c355113355113d888888222222e531531531531共有種等可能的結(jié)果，其中的結(jié)果有種，所以的概率為，故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)锽，C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以，，所以邊上高所在直線的斜率為，因?yàn)?，所以BC邊上高所在直線的方程為，所以BC邊上高所在直線的一般式方程為.（2）因?yàn)檫^點(diǎn)的直線平分的面積，所以直線l經(jīng)過邊AC的中點(diǎn)12又，所以直線l的方程16．【正確答案】(1)(2)，【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)槿忮F的所有棱長(zhǎng)均為，所以，所以，所以，所以，所以.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，由已知得到和的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理得到，再結(jié)合證明平面，由此證明平面平面；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出直線的方向向量和平面的法向量，利用空間坐標(biāo)求出角的正弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以與均為正三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；?）由（1）可知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則令，得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“乙至少有1個(gè)回答正確”為事件，所以，即乙至少有1個(gè)回答正確的概率是．（2）記“甲答對(duì)i個(gè)問題”為事件，“乙答對(duì)i個(gè)問題”為事件，則甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)為事件所以，即甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的概率是．（3）記“甲答對(duì)第i個(gè)問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比賽的概率是．19．【正確答案】(1)(2)證明見解析