在深度勾連中促進理解　感悟數(shù)與運算的一致性

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將數(shù)的認識與數(shù)的運算進行了整合，旨在使學(xué)生從整體上基于數(shù)與運算，感悟數(shù)的概念和運算的一致性。教師要理解數(shù)與運算一致性的價值與內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)的概念及數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，深化對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，建立知識之間的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：數(shù)的認識；數(shù)的運算；一致性；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）將數(shù)的認識與數(shù)的運算進行了整合，對數(shù)與運算的教學(xué)提出了新的要求。這樣的整合，有助于學(xué)生從整體上理解數(shù)與運算，感悟數(shù)的概念和運算的一致性。教師要基于數(shù)與運算一致性的價值與內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)的概念及數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，深化對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，建立知識之間的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者以北師大版數(shù)學(xué)教材四年級下冊第一單元“小數(shù)的意義和加減法”中的“買菜”一課為例，談一談如何在深度勾連中促進學(xué)生理解算理，感悟數(shù)與運算的一致性。一、勾連數(shù)的認識和運算，凸顯核心概念核心概念是體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容的核心要素。教師要從整體視角審視教學(xué)對象，準(zhǔn)確提取單元主題的核心概念，以核心概念勾連零散的知識點，自上而下、由表及里地梳理單元內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)，為達成教學(xué)目標(biāo)，落實核心素養(yǎng)提供有力保障。那么，“小數(shù)的意義和加減法”這一單元的核心概念是什么？我們從新課標(biāo)、教材、學(xué)情等角度進行深入分析。首先，我們從新課標(biāo)的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求及教學(xué)提示中找依據(jù)（見表1）?！靶?shù)的意義和加減法”主要包括：小數(shù)的意義、小數(shù)的大小比較及小數(shù)的加減運算。小數(shù)的意義的教學(xué)是重點引導(dǎo)學(xué)生理解0.1，0.01，0.001等計數(shù)單位的含義；小數(shù)的大小比較也是基于計數(shù)單位多少的比較，而小數(shù)加減法對算理的理解也要追溯到數(shù)的意義，本質(zhì)上就是小數(shù)計數(shù)單位個數(shù)的運算。所以本單元的核心概念就是“小數(shù)的計數(shù)單位”。教師在教學(xué)時應(yīng)以此為核心，立足數(shù)與運算的一致性，構(gòu)建出本課的整體結(jié)構(gòu)。【教學(xué)片段】師：數(shù)字寶寶要進行一場足球比賽，你們看，它們邁著整齊的步伐上場了。數(shù)字寶寶們組成了一個什么數(shù)？（1.43）看到1.43，你能想到在生活中它可以表示什么嗎？生：可以表示1元4角3分。生：可以表示1米4分米3厘米。生：我們還可以用計數(shù)器、面積模型等來表示1.43?！舅伎肌吭谝陨系慕虒W(xué)導(dǎo)入中，教師從復(fù)習(xí)小數(shù)1.43的意義入手，引導(dǎo)學(xué)生“運用不同方法表示小數(shù)”，結(jié)合具體的元、角、分、米、分米、厘米，拓展到使用計數(shù)器表示，再到抽象的面積模型，深入理解1.43中的1表示1個1、4表示4個0.1、3表示3個0.01，從而達到對小數(shù)意義概括性的理解水平。此教學(xué)環(huán)節(jié)不僅調(diào)動了學(xué)生對小數(shù)的認識、計數(shù)單位及其意義的原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗，還為后續(xù)探索小數(shù)加減法的計算方法做好了鋪墊。二、勾連直觀模型，從算法到算理算法是指在解決相同類型的計算或問題時，按照一定的計算方法和步驟得到結(jié)果的程序。算理則是指說明這種程序合理性的理論依據(jù)（比如小數(shù)點對齊即相同計數(shù)單位相加減）。對學(xué)生來說，算法是學(xué)習(xí)的外顯性表現(xiàn)，而算理是內(nèi)顯性理解。解決問題時，學(xué)生通常從怎么算入手，在教師的引導(dǎo)下完成對于算理的理解，在此基礎(chǔ)上總結(jié)出算法，以此實現(xiàn)算理與算法的真正勾連。那么，如何引導(dǎo)學(xué)生真正理解算理、掌握算法呢？在本課教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的真實想法，鼓勵他們思考遷移已有的經(jīng)驗，用多種直觀模型探索1.25+2.41和3.66-1.25的計算結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系數(shù)和運算的意義，在擺、撥、畫等操作活動中，感受計算小數(shù)加減法中相同數(shù)位對齊的道理，在探索算法中自覺地邁出感悟算理的第一步?！窘虒W(xué)片段】笑笑去買菜，付錢時售貨員叔叔的算法是：一把油菜1.25元，一把芹菜2.41元，應(yīng)該付3.66元。師：售貨員叔叔算得對嗎？我們應(yīng)該如何來驗證？生：可以求笑笑買菜一共花了多少元。用加法計算，列式為1.25+2.41=。師：這是一個兩個加數(shù)都是小數(shù)的加法算式，該如何計算呢？生：我是用擺人民幣的方式計算的，先擺一個1元，2個1角，5個1分，表示1.25元。再擺兩個1元，4個1角，1個1分，表示2.41元。把它們合起來是3元6角6分，也就是3.66元。生：我是借助計數(shù)器，把珠子畫在了不同的數(shù)位上，來表示大小不同的數(shù)字。生：我是用面積模型來表達計算過程的。師：你能用列豎式的方法計算一下嗎？生：先用第一個加數(shù)1.25與另外一個加數(shù)2.41相加。注意要把相同數(shù)位對齊。先用百分位的5與百分位的1相加等于6，寫在百分位上。再用十分位的2與十分位的4相加等于6，寫在十分位上。最后，用個位的1與個位的2相加等于3，寫在個位上，點上小數(shù)點等于3.66。在小數(shù)減法的教學(xué)中，為了保證一致性，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生利用以上的四種方法進行計算。【教學(xué)片段】師：剛才同學(xué)們運用加法驗證了售貨員收3.66元是對的。聰明的你想想看，還有其他方法嗎？生：老師，我想到還能用減法來解決。求3.66元減去1把油菜的價錢還剩多少元，如果等于一把芹菜的價錢，那就說明是對的。列式為3.66-1.25。生：可以用擺人民幣的方法計算，可以借助計算器計算，可以借助面積模型計算。師：這道題通過列豎式該如何計算呢？【思考】本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識和經(jīng)驗選擇合適的方法，通過擺人民幣、撥珠子、涂面積模型等多種方法進行計算。學(xué)生在求和、求差的過程中，直觀感受到相同數(shù)位上的數(shù)字相加減的過程，初步理解“只有相同計數(shù)單位的個數(shù)才能直接相加減”的道理。三、勾連整數(shù)小數(shù)，感悟運算一致性新課標(biāo)中明確指出：“通過小數(shù)加減運算與整數(shù)運算進行比較，引導(dǎo)學(xué)生初步了解運算的一致性。培養(yǎng)運算能力?！痹诩訙p法運算中，無論是整數(shù)的數(shù)位對齊，還是小數(shù)的小數(shù)點對齊，都是為了相同計數(shù)單位上的數(shù)相加減。因此在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注加減法運算背后的道理，用核心概念“計數(shù)單位”打通整數(shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系。教師通過核心概念建構(gòu)脈絡(luò)清晰、條理分明、相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識體系，進而引導(dǎo)學(xué)生體會不同數(shù)學(xué)知識、學(xué)習(xí)方法之間的一致性和可遷移性，幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這一部分我們設(shè)計了兩個層次完成。一是在“用豎式計算，總結(jié)算法”這一環(huán)節(jié)中辨析錯例，感悟整數(shù)、小數(shù)運算的一致性?！窘虒W(xué)片段】師：這里有兩個算式，你能用豎式計算一下嗎？并試著說一說怎樣計算小數(shù)的加減法。生：整數(shù)加減法末位對齊就是相同數(shù)位對齊，小數(shù)的末位可能不同，計算小數(shù)加減法時，當(dāng)小數(shù)點對齊的時候才是相同數(shù)位對齊。生：數(shù)位不同，不能相減。我們之前學(xué)過小數(shù)末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變，添上個0就不容易弄錯了。師：在計算小數(shù)加減法時，要把相同數(shù)位上的數(shù)相加減。只要小數(shù)點對齊，相同數(shù)位就對齊了，其他就與整數(shù)加減法一樣了?！舅伎肌繉τ趯W(xué)生豎式計算時得到的不合理結(jié)果，教師并沒有武斷地加以評判，而是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和分析，發(fā)現(xiàn)錯誤原因，并基于“計數(shù)單位”這一核心概念，將小數(shù)加減法與整數(shù)加減法統(tǒng)整，引導(dǎo)學(xué)生在探究小數(shù)加減法的過程中始終抓住小數(shù)點對齊（相同數(shù)位上的數(shù)對齊）來進行計算。學(xué)生通過與整數(shù)加減計算方法的對比，體會計算方法中相同數(shù)位上的數(shù)相加減的道理，感悟小數(shù)加減法與整數(shù)加減法在本質(zhì)上的一致性，從而總結(jié)出小數(shù)加減法的計算方法。二是在總結(jié)過程中進一步深化。學(xué)生從一年級開始就學(xué)習(xí)了整數(shù)加減法，現(xiàn)在又學(xué)習(xí)了小數(shù)加減法，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探尋它們的相同點和不同點，進一步深化認知：末位對齊和小數(shù)點對齊，看似不同，其實都是保證相同數(shù)位對齊，也就是能進行相同計數(shù)單位的累加或減少。因此，整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的計算本質(zhì)是相同的，實質(zhì)上算的都是相同計數(shù)單位的個數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、比較整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的異同，總結(jié)它們之間的規(guī)律，加深學(xué)生對小數(shù)加減法與整數(shù)加減法運算的一致性的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)分數(shù)加減法運算打下基礎(chǔ)，形成對整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加減法的整體認