等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(第一課時(shí))課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修第二冊(cè)

4.2.2

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第1課時(shí)2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1、等差數(shù)列的定義3、等差數(shù)列的中項(xiàng)

復(fù)習(xí)通項(xiàng)公式的證明及推廣100與180特別地:當(dāng)m+n=2p時(shí),am+an=2ap創(chuàng)設(shè)情境

據(jù)說(shuō)，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題：1＋2＋3＋…＋100=？你準(zhǔn)備怎么算呢？探究新知高斯（Gauss，1777－1855），德國(guó)數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一.他在天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過(guò)杰出貢獻(xiàn).問(wèn)題1：為什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？

這是巧合嗎？試從數(shù)列角度給出解釋.

下面再來(lái)看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.設(shè)S100=1+2+3+…+98+99+100

反序S100=100+99+98+…+3+2+1作加法多少個(gè)101?100個(gè)1012S100=101+101+101+…+101+101+101//////////\\\\+++++++所以S100=(1+100)×100？？首項(xiàng)尾項(xiàng)？總和？項(xiàng)數(shù)這就是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式！=5050問(wèn)題.上述方法的妙處在哪里？倒序求和法+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).

證明{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則證：Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,即Sn=a1,an+a2++an-1+a3an-2+…+

多少個(gè)(a1+an)

?共有n個(gè)(a1+an)

=n(a1+an).這種求和的方法叫倒序相加法！因此，當(dāng)m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq【即時(shí)練習(xí)】由以上例題可以得出:在求等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和時(shí),當(dāng)知道首項(xiàng)和公差,或者首項(xiàng)和末項(xiàng),均可以得出.

已知等差數(shù)列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16項(xiàng)的和?由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18

=(16/2)×18

=144分析：可以由等差數(shù)列性質(zhì)，直接代入前n項(xiàng)和公式.例1：解：16a2+a15答:前16項(xiàng)的和為144探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的其他形式例

練習(xí)等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項(xiàng)的和是54？解：

n1=9，n2=-3等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前9項(xiàng)的和是54.例3：設(shè)題中的等差數(shù)列為{an}，前n項(xiàng)和是Sn，則a1=-10，d=-6-(-10)=4,設(shè)Sn=54，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得又因?yàn)閚要為正整數(shù)(舍去)C解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+99×1=98.∴a100=a10+90d=98.探究

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的其他形式（注意a還可以是0）一個(gè)關(guān)于

的，沒(méi)有

的“

”n常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)baab

已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求Sn.解：

S10=310，S20