廣東省惠州市惠城區(qū)惠州中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題含答案

廣東省惠州市惠城區(qū)惠州中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)f(x)＝則f(1)－f(3)等于（

）A．－7 B．－2 C．7 D．274．若，則（）A． B． C．-1 D．±15．已知空間向量，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．設(shè)點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．7．方程表示的曲線是（）A．—個圓 B．兩個圓C．一個半圓 D．兩個半圓8．已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，，，則（

）A． B． C． D．向量，，共面10．已知直線：，下列說法正確的（

）A．直線過定點B．當(dāng)時，關(guān)于軸的對稱直線為C．點到直線的最大距離為D．直線一定經(jīng)過第四象限11．已知圓M：x2+y-22=1，點P為x軸上一個動點，過點P作圓M的兩條切線，切點分別為A，A．四邊形PAMB周長的最小值為2+23 B．AC．若P1,0，則△PAB的面積為85 D．若Q三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓M經(jīng)過點，，，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．13．已知直線經(jīng)過點，且是的方向向量，則點到的距離為．14．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點，之間的“折線距離”.則坐標(biāo)原點與直線上一點的“折線距離”的最小值是；圓上一點與直線上一點的“折線距離”的最小值是.四、解答題（本大題共5小題）15．為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、愛國的熱情，我校舉辦了“學(xué)黨史、育文化”暨“喜迎黨的生日”黨史知識競賽，并將名師生的競賽成績（滿分分）整理成如圖所示的頻率直方圖．(1)求頻率直方圖中的值以及師生競賽成績的中位數(shù)(2)從競賽成績在80,90，90,100的師生中，采用分層抽樣的方法抽取人，再從抽取的人中隨機抽取人，求人的成績來自同一區(qū)間的概率．16．已知平行六面體，，，，，設(shè)，，；(1)試用表示；(2)求的長度；(3)求直線與所成角的余弦值．17．已知函數(shù),(1)求的最小正周期;(2)在中,三個角所對的邊分別為,若,,,求的面積.18．已知點和直線點是點關(guān)于直線的對稱點．(1)求點的坐標(biāo)；(2)為坐標(biāo)原點，且點滿足，求點的軌跡方程；(3)若（2）中點的軌跡與直線有公共點，求的取值范圍．19．在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．

參考答案1．【答案】C【詳解】試題分析：由得，故，選項為C.考點：集合間的關(guān)系.2．【答案】C【分析】本題可根據(jù)虛部的定義得出結(jié)果.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以的虛部是，故選：C.3．【答案】C【詳解】依題意，，所以，選C.4．【答案】C【分析】首先對進行化簡整理，得到，將條件代入，求得結(jié)果.【詳解】=cosα+sinα=.故選：C.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點有兩角差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題目.5．【答案】B【詳解】由題意可知在上的投影向量為，故選：B.6．【答案】B【詳解】依題意，直線的斜率分別為，如圖所示：若直線過點且與線段相交，則的斜率滿足或，即的斜率的取值范圍是或.故選：B7．【答案】D【分析】方程可化為，去絕對值分，兩種情況解決即可.【詳解】方程可化為，因為，所以或，若時，則方程為；若時，則方程為，故選：D8．【答案】B【詳解】如圖所示：設(shè)Px,y為圓上的任意一點，則點P到直線的距離為，點P到原點的距離為，所以，設(shè)圓與直線相切則圓心到直線的距離：，解得，所以的最小值為，最大值為，所以，即故的最大值為，故選：B9．【答案】ABD【分析】空間向量模的坐標(biāo)計算可以驗證選項A，向量坐標(biāo)減法運算驗證選項B，兩向量數(shù)量積為0驗證選項C，利用向量共面條件驗證選項D.【詳解】因為，所以，，所以A正確；，故B正確；，故C不正確；由，所以，故選項D正確.故選：ABD.10．【答案】BC【詳解】解：對于A，由直線：可化簡為，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點-1,1，故A項錯誤；對于B，當(dāng)k=1時，直線的方程為，在直線上取兩點，則點關(guān)于軸對稱的點，點B-2,0關(guān)于軸對稱的點，所以關(guān)于軸對稱直線為，即，所以B正確；對于C，因為直線經(jīng)過定點，所以當(dāng)直線時，點到直線的距離最大，最大距離為，故C項正確；對于D，當(dāng)k=1時，直線：經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故D項錯誤．故選：BC．11．【答案】ACD【詳解】如圖所示，對于選項A，四邊形PAMB的周長為2+B∵BP=AP，∴四邊形PAMB的周長為2+2AP，設(shè)M則AP=t2-1則當(dāng)t取最小值2時，四邊形PAMB的周長最小，為23+2對于選項B，∵圓M：x2+y-22=1對于選項C，∵P1,0，∴MP=5，求得BC=25，AB=45，PC=對于選項D，當(dāng)點P與原點重合時，MP=2，則PB=3，則則CQ=94+1516=514則切點弦AB的方程為mx-2y+3=0直線MP的方程為y=-2mx消去m，得動點C的軌跡方程為x2+又∵Q154,0，∴C故選：ACD．12．【答案】【分析】設(shè)圓M的一般式方程為：，將點代入即可求解.【詳解】解：設(shè)圓M的一般式方程為：，因為圓M經(jīng)過點，，，所以，解得，得圓M的一般式方程為：，故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：13．【答案】【詳解】，故，，設(shè)直線與直線所成的角為，則，故，點到直線的距離為.故答案為：．14．【答案】【詳解】設(shè)直線上的一點為，則；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，取得最小值，即坐標(biāo)原點與直線上一點的“折線距離”的最小值為；設(shè)圓上點，直線上的一點為，則；，，則恒成立；當(dāng)時，，（其中，），則當(dāng)時，“折線距離”取得最小值；當(dāng)時，，（其中，），則當(dāng)時，“折線距離”取得最小值；當(dāng)時，，則，同上可知：此時“折線距離”最小值為；綜上所述：圓上一點與直線上一點的“折線距離”的最小值為.故答案為：；.15．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得：，所以，因為共五組，前四組的頻率和且最后一組的頻率，設(shè)中位數(shù)為，則，，根據(jù)中位數(shù)的定義，可得，所以；（2）因為第四組與第五組的頻率之比為，故按照分層抽樣第四組抽取人數(shù)為人，記為，，，；第五組抽取人數(shù)為人，記為，，從人中選出人，共有，，，，，，，，，，，，，，共有種，其中選出的人來自同一區(qū)間的有種，，，，，，，；則選出的人中來自同一組的概率為．16．【答案】(1)；(2)；(3)0.【詳解】（1）在平行六面體中，，，.（2）由（1）知，，而，，則，因此．所以的長度為.（3）由（2）知，，，，，則，即，所以直線與所成角為，其余弦值為0.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解:由題知,的最小正周期;（2）由于在中,三個角所對的邊分別為,,,,,,,在中由正弦定理得,,又有,,,,,中的內(nèi)角,且,,,的面積.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)，，因為點與點關(guān)于直線的對稱，則有線段AB的中點在直線上，即，①又直線直線，且直線的斜率為，則，即，②聯(lián)立①②式子解得，故點的坐標(biāo)；（2）設(shè)，由，則，故，化為.化簡得，所以點的軌跡是圓，其方程為，圓心坐標(biāo)，半徑．（3）又因為直線與圓有公共點，利用圓心到直線的距離小于等于半徑，則，，解得.故的取值范圍為.19．【答案】(1)證明見解析(2)存在，的長度為3或【詳解】（1）因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面.（2）由（1）知，以CD為軸，CB為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，故，由幾何關(guān)系可知，