化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學中的應用

摘

要：基于當前的教學變化與發(fā)展，高中數(shù)學解題教學模式亟待創(chuàng)新與升級。而在高中數(shù)學解題過程中滲透并深入應用轉(zhuǎn)化思想，將幫助學生明晰轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵與應用特點，繼而培養(yǎng)學生應用轉(zhuǎn)化思想的意識和能力，從而提高學生解決數(shù)學問題的能力。此外，此舉還將幫助教師挖掘數(shù)學學科的精髓，鍛煉學生的數(shù)學思維，讓學生擁有清晰的解題思路，最終更新數(shù)學教學模式。因此，促進化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學解題中的教學應用，對教師的教和學生的學都有著十分重要的意義。關鍵詞：化歸與轉(zhuǎn)化思想；高中數(shù)學；數(shù)學思想數(shù)學問題的解決過程就是一系列問題的轉(zhuǎn)化過程，具體表現(xiàn)為由難到易、由繁到簡、由未知到已知等。也就是說，在數(shù)學解題教學中，教師要善于引導學生學會將一個復雜的問題通過轉(zhuǎn)化分析，化歸為一個簡單的熟悉問題，從而使問題得到有效解決。因此，文章將探討化歸思想在高中數(shù)學解題過程中的應用。一、化歸與轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵化歸與轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學中的一種重要思維方式和工作方法，它通過將一個復雜的問題轉(zhuǎn)化為另一個更簡單的問題，從而幫助學生解決難題?；瘹w指的是將復雜或抽象的問題化簡為具體、易于處理的問題，通過轉(zhuǎn)化使問題的難度降低，從而更容易找到問題的解決方法。轉(zhuǎn)化則是指通過改變問題的形式或角度，將問題轉(zhuǎn)化為與已知知識相關的問題，利用已有的數(shù)學知識和方法來解決問題。換句話說，化歸與轉(zhuǎn)化思想能夠幫助學生從不同的角度理解和解決問題，提高數(shù)學問題的分析能力和解決能力。二、化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學解題中的應用意義化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學解題中的應用，不僅可以幫助學生更好地理解和解決問題，還能培養(yǎng)他們的抽象思維能力、問題轉(zhuǎn)化能力以及創(chuàng)新思維能力。具體而言，通過化歸與轉(zhuǎn)化思想，學生可以將原問題轉(zhuǎn)化為已知的或更容易處理的問題。這樣一來，問題的難度得以降低，學生可以利用已有的知識和解題方法更快地找到解決方案。例如，在解代數(shù)方程時，化歸思想可以將復雜的高次方程轉(zhuǎn)化為一次或二次方程，進而應用解方程的方法求解。這種思維方式使學生能夠應對更加復雜的數(shù)學問題，提高解題效率和準確性。另外，通過將問題從具體的形式抽象化，學生可以發(fā)現(xiàn)問題之間的共性和規(guī)律，從而掌握一類問題的解決方法。這對學生深入掌握數(shù)學知識和解決不同類型的問題具有重要意義?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想還促進了學生的創(chuàng)新思維能力，在解決數(shù)學問題時，問題的轉(zhuǎn)化要求學生有發(fā)散性思維和創(chuàng)造性靈感。通過不斷轉(zhuǎn)化問題，學生可以發(fā)現(xiàn)問題的多種角度和解法，形成對問題的獨特見解和創(chuàng)新的解決方法。三、高中數(shù)學思想方法教學原則高中數(shù)學教學中應合理且有效地應用數(shù)學思想方法，以便引導學生主動學習、思考及探究，提高個人知識水平、個人能力以及個人素養(yǎng)等。但要想真正做到這一點，需要遵循以下原則：其一，重視過程性。數(shù)學思想方法并不是游離在數(shù)學學習之外的另一種學習內(nèi)容，它產(chǎn)生于數(shù)學理論知識與解題過程，不能單獨存在。所以，為了使數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中充分發(fā)揮作用，首先需要教師正確認識數(shù)學思想方法的應用價值，其次需要教師在組織學生學習數(shù)學知識、引導學生解答數(shù)學習題的過程中，和學生一起發(fā)現(xiàn)、認識、了解及總結(jié)數(shù)學思想方法，逐漸形成數(shù)學思想應用體系，使學生能夠在自主學習或者獨立解題的過程中，靈活應用數(shù)學思想方法，達到事半功倍的效果。其二，重視反復性。幫助學生構(gòu)建數(shù)學思想應用體系并非一朝一夕就能夠?qū)崿F(xiàn)的，需要反復練習、反復總結(jié)、反復積累，如此才能夠達到融會貫通的狀態(tài)?；诖耍瑪?shù)學教師在組織學生進行數(shù)學學習或者復習的過程中，要為他們創(chuàng)造實踐鍛煉的機會。比如針對不同類型習題，要求學生運用不同數(shù)學思想方法進行思考與解答。教師在這一過程中觀察學生解題實際情況，進而判斷他們是靈活地運用數(shù)學思想方法還是生搬硬套。如若后者，教師應注意了解學生數(shù)學學習的特點，遵循因材施教原則，采取恰當?shù)姆绞椒椒▉碇笇W生。四、化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學中的應用（一）充分挖掘數(shù)學思想理論教學與解題教學是中學數(shù)學教學的兩條主線，數(shù)學思想的教學應貫穿于這兩條主線中。由于學生對數(shù)學思想從了解到認識，從理解到掌握應用，需經(jīng)歷較長的時間，而且解題教學更側(cè)重于數(shù)學思想的應用，因此，教師必須把數(shù)學知識的教學過程作為滲透數(shù)學思想的主渠道，充分挖掘教材中基礎知識部分蘊含的數(shù)學思想，盡可能創(chuàng)造較多的機會展現(xiàn)數(shù)學思想，讓學生在掌握知識的同時，逐步感知、理解數(shù)學思想的真諦。例如，立體幾何中多面體與旋轉(zhuǎn)體直觀圖的畫法，其實是借助于平面圖形來刻畫空間圖形，通過“展開圖”將柱體、錐體、臺體的側(cè)面置于某平面，把空間曲面的面積轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積來計算。這些看似平淡的內(nèi)容，無一不體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化思想——空間問題平面化，教師在教學中若因其簡單而忽視，就會失去滲透數(shù)學思想的良機。（二）轉(zhuǎn)化導入，促進知識遷移數(shù)學學科表現(xiàn)出強烈的邏輯性，很多知識之間均有密切的聯(lián)系，受數(shù)學知識連貫性的限制，要求教師的“教”與學生的“學”具有整體性，教師要充分利用學生認知范圍內(nèi)已學習的、使用熟練的舊知識，作為新知識的生長點，采用轉(zhuǎn)化的方式，使學生自然輕松地獲得新知識。轉(zhuǎn)化導入就是以此作為突破口，充分利用學生的原有經(jīng)驗，教師采用具有針對性的問題引導，使學生在舊知識的基礎上生長出新概念，從而獲取新知的導入方式。轉(zhuǎn)化導入通過有效的自我思維轉(zhuǎn)化全過程與教師的引導，不僅有助于學生學習新知識，也可以促進學生新舊知識融會貫通，厘清知識之間的清晰脈絡，將學習的新知識點納入自己的知識結(jié)構(gòu)，經(jīng)過一系列的沖突與融合，逐漸形成全新的知識體系。例如，在講解《直線與平面平行關系的判定》時，利用學生已有的豐富生活經(jīng)驗，引導學生觀察門邊框與墻面、書的紙張邊緣與書脊的位置關系，歸納其共有屬性，將實物位置關系轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，培養(yǎng)學生的抽象概括能力。教師在講授平面與在歸納推理判定定理的過程中，其核心在于要將直線與平面平行的空間問題轉(zhuǎn)化為直線與直線平行的平面問題，將直線與平面內(nèi)無數(shù)條線條直線平行的無限問題，轉(zhuǎn)化為已知直線與一條直線平行的有限問題。在本節(jié)課的導入過程中，教師要依靠學生對生活模型的理解和與平面三個基本事實及推論的掌握，作為新知識的生長點，精心設計問題串，為學生指明探究的方向，使轉(zhuǎn)化過程自然流暢地進行，并讓學生從中學習這種降維的轉(zhuǎn)化思想，提升學生在獨立解決立體幾何的相關習題時的轉(zhuǎn)化意識，這對學生的數(shù)學學習有很大益處。（三）強化專題訓練，提高解題效率化歸、類比思想也是函數(shù)解題過程中常用的思想方法，其在函數(shù)解題過程中的應用，能有效化抽象為直觀、化復雜為簡潔，從而有效提升函數(shù)問題的解題效率，提高函數(shù)問題解題的準確性。例如，在函數(shù)教學中，教師可以設計以下題目，將化歸、類比思想滲透于解題過程中。“已知f（x）為奇函數(shù)，當x>0時，f（x）=x2-sinx。問，若x<0，f（x）的解析式又當如何表示？”在分析這一問題時，教師可以先引導學生了解化歸思想，思考如何通過轉(zhuǎn)化題目條件得到問題的答案。x<0可以轉(zhuǎn)化為-x>0，然后推導出f（-x）=-f（x），從而得出當x<0時，f（x）=x2-sinx。在該函數(shù)問題的整個分析、推導過程中，化歸思想發(fā)揮了重要作用。所以，對函數(shù)問題的分析、解決，化歸思想是最基礎、最關鍵的數(shù)學思想與方法。在教學過程中，教師應循序漸進地引導學生掌握該思想與方法。（四）數(shù)形轉(zhuǎn)化思想促進思維發(fā)展分析數(shù)學是研究空間形式與數(shù)量關系的一門學科，解析幾何就是將數(shù)與形真正統(tǒng)一起來，利用代數(shù)方法解決代數(shù)問題。在這一部分中，數(shù)形轉(zhuǎn)化是重要的轉(zhuǎn)化思維，其中包含“數(shù)轉(zhuǎn)形”“形轉(zhuǎn)數(shù)”等類型。數(shù)形轉(zhuǎn)化將抽象的數(shù)學知識與直觀圖形聯(lián)系起來，可以使知識直觀化、簡單化，提高學生的學習效率，加深學生對數(shù)學知識的本質(zhì)與知識之間的內(nèi)在聯(lián)系的理解。同時數(shù)形轉(zhuǎn)化可以促進學生抽象思維與形象思維的協(xié)同發(fā)展，數(shù)形轉(zhuǎn)化意識使學生跳出思維定式，從不同的角度去思考條件與結(jié)論的等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學解題途徑和有效策略，會恰當?shù)厥褂脭?shù)形結(jié)合，有助于學生事半功倍地解決數(shù)學問題。下面以數(shù)學實例說明數(shù)形結(jié)合在解決數(shù)學問題中的妙用。已知點P是拋物線y2=4x上的一動點，問點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值？根據(jù)拋物線的性質(zhì)，點P到該拋物線準線的距離，等于點P到該拋物線焦點的距離。因此，該問題便可以轉(zhuǎn)化為動點P到點（0，2）與到點（1，0）的距離和的最小值，根據(jù)兩點之間線段最短與圖像，即可確定點P的位置與最短距離。（五）掌握函數(shù)題根，化復雜為簡單復雜化為簡單是化歸思想的核心內(nèi)涵之一，也是高中數(shù)學函數(shù)教學滲透化歸思想的不二之選。對此，高中數(shù)學教師應當重視函數(shù)問題的題根的發(fā)掘，對同類型或者題根相同的函數(shù)題目進行分門別類，要求學生掌握不同題根的辨別方法，并傳授一些行之有效的題根轉(zhuǎn)化法，使學生在面對一些較為困難復雜的函數(shù)問題時，能夠準確地發(fā)掘該函數(shù)的題根，根據(jù)題根所衍生的函數(shù)問題來選擇對應的解題方法。教師可以通過這樣的題根轉(zhuǎn)化模式來培養(yǎng)學生舉一反三的數(shù)學思維能力，培養(yǎng)其“化復雜為簡單”的“化歸”能力。例如，以題目“已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)m，n都有f（m+n）=f（m）·f（n）數(shù)量關系，并且當x>0時，都有0<f（x）0驗證得出f（0）=1成立，求出實數(shù)a的取值范圍為（0，1），解題步驟如下：</f（x）代入x=0可得f（0）=f（0+0）=f（0）·f（0）=f2（0）?；喌胒（0）-f2（0）=f（0）［1-f（0）］=0。所以f（0）=1或f（0）=0。設f（0）=0，得f（n-n）=f（n）·f（-n）=0。所以f（n）或f（-n）至少有一個為0。設f（n）=0，有f（x）=0。因為x>0時，0<f（x）<p=""></f（x）<>（六）注重類比思想解題，鍛煉學生的轉(zhuǎn)化能力高中數(shù)學教學主要分為理論知識講授與解題訓練兩大部分，類比思想不僅可以運用于理論知識講授中，也可以運用于解題過程中，運用類比思想解題往往能夠收到意想不到的效果。這就要求高中數(shù)學教師在解題訓練中重視指導學生運用類比思想，先把數(shù)學題目做簡化處理，結(jié)合相關數(shù)學概念與公式，確定解題的切入點；再通過類比命題的解題思路，讓學生利用邏輯推理找到新的解題思路和方法，進而高效地處理數(shù)學試題，并進一步提高學生的轉(zhuǎn)化能力。在高中數(shù)學問題中，動和靜之間的轉(zhuǎn)化是化歸思想的主要內(nèi)容，這一內(nèi)容常常體現(xiàn)在函數(shù)問題中。函數(shù)問題常包含了生活中的變量關系，對事物的變化和運動規(guī)律進行研究。在教授函數(shù)知識的過程中，教師要引導學生探究變量間的關系，提煉出數(shù)學模型，借助化歸思想，將靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化成變量動態(tài)問題，