87均值與方差在生活中的運(yùn)用（提升）（原卷版）

8.7均值與方差在生活中的運(yùn)用（提升）1．（2021·江蘇海安·高三開學(xué)考試）有9個外觀相同的同規(guī)格砝碼，其中1個由于生產(chǎn)瑕疵導(dǎo)致質(zhì)量略有減少，小明想通過托盤天平稱量出這個有瑕疵的砝碼，設(shè)計了如下兩種方案：方案一：每次從待稱量的砝碼中隨機(jī)選2個，按個數(shù)平分后分別放在天平的左、右托盤上，若天平平衡，則選出的2個砝碼是沒有瑕疵的；否則，有瑕疵砝的砝碼在下降一側(cè)．按此方法，直到找出有瑕疵的砝碼為止．方案二：從待稱量的砝碼中隨機(jī)選8個，按個數(shù)平分后分別放在天平的左、右托盤上，若天平平衡，則未被選出的那個砝碼是有瑕疵的；否則，有瑕疵的砝碼在下降一側(cè)，每次再將該側(cè)砝碼按個數(shù)平分，分別放在天平的左、右托盤上，…，直到找出有瑕疵的砝碼為止．（1）記方案一的稱量次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布；（2）上述兩種方案中，小明應(yīng)選擇何種方案可使稱量次數(shù)的期望較??？并說明理由．2．（2021·重慶市秀山高級中學(xué)校高三月考）某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果只有兩個等級．三道工序的加工結(jié)果直接決定該儀器的產(chǎn)品等級：三道工序的加工結(jié)果均為級時，產(chǎn)品為一等品；第三工序的加工結(jié)果為級，且第一、第二工序至少有一道工序加工結(jié)果為級時，產(chǎn)品為二等品；其余均為三等品．每一道工序加工結(jié)果為級的概率如表一所示，一件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）如表二所示：表一工序第一工序第二工序第三工序概率表二等級一等品二等品三等品利潤2385（1）用表示一件產(chǎn)品的利潤，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）因第一工序加工結(jié)果為級的概率較低，工廠計劃通過增加檢測成本對第一工序進(jìn)行改良，假如改良過程中，每件產(chǎn)品檢測成本增加萬元（即每件產(chǎn)品利潤相應(yīng)減少萬元）時，第一工序加工結(jié)果為級的概率增加．問該改良方案對一件產(chǎn)品利潤的期望是否會產(chǎn)生影響？并說明理由．3．（2021·全國高三模擬預(yù)測）2020年抗擊新冠肺炎武漢封城期間，某公司的產(chǎn)品因符合抗疫要求（全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝且有物流配送支持）能繼續(xù)直銷武漢．為了把握準(zhǔn)確的需求信息，他們使用大數(shù)據(jù)統(tǒng)計了武漢2019年末近100天內(nèi)每天此產(chǎn)品的售貨量（單位：箱）如下表所示：售貨量（箱）天數(shù)5203030105統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)服從正態(tài)分布．（1）畫出售貨量的頻率分布直方圖，并求出的值．（2）估計該公司一個月（30天）內(nèi)售貨量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．（3）為鼓勵分銷商，該公司出臺了兩種不同的促銷方案．方案一：直接返現(xiàn)，按每日售貨量三級返現(xiàn)：時，返現(xiàn)400元；時，返現(xiàn)800元；時，返現(xiàn)1200元．方案二：通過抽獎返現(xiàn)：每日售貨量低于時有一次抽獎機(jī)會；每日售貨量不低于時有兩次抽獎機(jī)會．每次抽獎獲得獎金40O元的概率為，獲得獎金800元的概率為．據(jù)你分析，分銷商應(yīng)采用哪種方案？請說明理由．附：若，則，．4．（2021·廣東龍崗·橫崗高中）2020年底，因疫情影響，在上海打工的張某響應(yīng)國家的號召，決定就地過年，他購買了四件禮物，重量分別為1.1kg，2.8kg，3.3kg和6.7kg.張某欲將四件禮物隨機(jī)分成兩份，每份兩件，寄給遠(yuǎn)在安徽老家的父母和孩子.已知某快遞公司的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：首重9元，續(xù)重4元/kg(注：首重是1kg以內(nèi)(含1kg)，續(xù)重是指超過首重部分的重量，不足1kg的按1kg計算，如1.1kg的按2kg計算).（1）試分析求張某如何組合可使支付的郵寄費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用；（2）該快遞公司對某一快遞網(wǎng)點(diǎn)近100天攬件數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計(如圖).該公司從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取8元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費(fèi)用.若前臺工作人員每人每天攬件的上限是120件，工資是150元/天.目前該網(wǎng)點(diǎn)前臺有工作人員3人，公司準(zhǔn)備將增加1名該網(wǎng)點(diǎn)的前臺工作人員，請你根據(jù)以上信息，判斷增加一名前臺工作人員后對提高公司利潤是否更有利？5．（2021·北京人大附中）某工廠每天生產(chǎn)1000箱某型號口罩，每箱300個，該型號口罩吸氣阻力不超過343.2pa的為合格品，否則為不合格品，不可出廠銷售.生產(chǎn)過程中隨機(jī)抽取了20個口罩進(jìn)行檢測，其吸氣阻力值（單位：pa）如下表所示：（1）從樣本中隨機(jī)抽取1個口罩，求其為不合格品的概率；（2）從樣本中隨機(jī)抽取3個口罩，求其中含有不合格品的概率；（3）已知每個口罩的檢測費(fèi)用為0.05元.按有關(guān)規(guī)定，該型號口罩出廠前，工廠要對每一個口罩進(jìn)行吸氣阻力檢測，為督促工廠執(zhí)行此規(guī)定，每天生產(chǎn)的口罩出廠后，質(zhì)檢部門將隨機(jī)抽取100箱，每箱抽3個口罩進(jìn)行檢測，每檢測出一個不合格品，罰款500元.這個處罰標(biāo)準(zhǔn)是否合理？說明理由.6．（2021·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高三一模（理））大學(xué)生知識競賽中，每個代表隊有3個隊員，編號為1、2、3，答編號為1號、2號、3號的3道題，答對兩道可過關(guān)，答對3道為優(yōu)秀，如表是星火代表隊答對各題的概率分布，其中第m行第n列的數(shù)字是第m號同學(xué)能答對第n號題的概率．0.70.60.40.70.70.50.80.80.6（1）按選手編號與題目編號相同的方式答題，求該隊過關(guān)的概率；（2）調(diào)整選手的答題次序，求出該隊優(yōu)秀的最大概率．7．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高三開學(xué)考試）2022年冬季奧林匹克運(yùn)動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動會和冬季奧林匹克運(yùn)動會以及亞洲運(yùn)動會三項國際賽事的城市！為迎接冬奧會的到來，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來調(diào)查研究，求這3所學(xué)校參與“自由式滑雪”都超過40人的概率；（2）“單板滑雪”參與人數(shù)超過45人的學(xué)校可以作為"基地學(xué)校"，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記X為選出可作“基地學(xué)?！钡膶W(xué)校個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，対“基礎(chǔ)站姿、滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這4個動作技巧進(jìn)行集訓(xùn)．規(guī)定：這4個動作中至少有3個動作達(dá)到“優(yōu)秀"，則總考核記為"優(yōu)秀"．在集訓(xùn)前，小李同學(xué)4個動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率為0.2，在集訓(xùn)后的考核中，小李同學(xué)總考核成績?yōu)椤皟?yōu)秀”．能否認(rèn)為小李同學(xué)在集訓(xùn)后總考核達(dá)到“優(yōu)秀”的概率發(fā)生了變化？并說明理由．8．（2021·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)（理））某學(xué)校高一年級進(jìn)行班級之間的中國歷史知識競賽活動，甲、乙兩位同學(xué)代表各自班級以搶答的形式展開，共五道題，搶到并回答正確者得一分，答錯則對方得一分，先得三分者獲勝.每一次搶題甲、乙兩人搶到每道題的概率都是，甲、乙正確回答每道題的概率分別為，，且兩人各道題是否回答正確均相互獨(dú)立.（1）比賽開始，求甲先得一分的概率；（2）求甲獲勝的概率；（3）問：若將題干中的搶答五道題改為搶答三道題，先得兩分者獲勝，其余條件不變，則對甲更有利還是更不利?請說明理由.9．（2021·北京海淀·）在某地區(qū)，某項職業(yè)的從業(yè)者共約8.5萬人，其中約3.4萬人患有某種職業(yè)?。疄榱私膺@種職業(yè)病與某項身體指標(biāo)（檢測值為不超過6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100名從業(yè)者，記錄他們該項身體指標(biāo)的檢測值，整理得到如下統(tǒng)計圖：（1）求樣本中患病者的人數(shù)和圖中，的值；（2）在該指標(biāo)檢測值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，求這2人中有患病者的概率；（3）某研究機(jī)構(gòu)提出，可以選取常數(shù)（），若一名從業(yè)者該項身體指標(biāo)檢測值大于，則判斷其患有這種職業(yè)??；若檢測值小于，則判斷其未患有這種職業(yè)病．從樣本中隨機(jī)選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患有職業(yè)病．寫出使得判斷錯誤的概率最小的的值及相應(yīng)的概率（只需寫出結(jié)論）．10．（2021·全國）在高中理科綜合試卷中，多項選擇題一般是給出四個選項，其中全部選對的得分，選對但不全的得分，有選錯的得分.在某次考試的理科綜合試卷多項選擇題第，題中，第題有且只有兩個選項符合要求，第題有且只有三個選項符合要求，甲?乙兩位同學(xué)由于考前準(zhǔn)備不足，只能對這兩道題的選項進(jìn)行隨機(jī)選取，每個選項是否被選到是等可能的.（1）若甲?乙兩位同學(xué)每題均隨機(jī)選取一項，求甲?乙兩位同學(xué)合計得分的概率；（2）若甲同學(xué)計劃每題均隨機(jī)選取兩項，乙同學(xué)計劃每題均隨機(jī)選取一項，請根據(jù)你學(xué)過的概率知識判斷誰的方案更優(yōu).11．（2021·湖南長沙·高三模擬預(yù)測）核酸檢測是診斷新冠病毒（nCoV）的重要標(biāo)準(zhǔn)之一，通過被檢者核酸檢測可以盡早發(fā)現(xiàn)感染者，感染者新冠病毒核酸檢測呈陽性.2020年抗疫期間，某社區(qū)擬對其中850戶4口之家以家庭為單位進(jìn)行核酸檢測，假定每個人核酸檢測呈陽性還是陰性相互獨(dú)立，且每個人核酸檢測呈陽性的概率都是．在進(jìn)行核酸檢測時，可以逐個檢測，也可以將幾個樣本混合在一起檢測．檢測方式有三種選擇：方式一：逐個檢測；方式二：將每個4口之家檢測樣本平均分成兩組后，分組混合檢測；方式三：將每個4口之家4個檢測樣本混合在一起檢測；其中，若混合樣本1次檢測結(jié)果呈陰性，則認(rèn)為該組樣本核酸檢測全部呈陰性，不再檢測，若混合樣本1次檢測結(jié)果呈陽性，則對該組樣本中的各個樣本再逐個檢測．（1）假設(shè)某4口之家中有2個樣本呈陽性，逐個檢測，求恰好經(jīng)過3次檢測能把這個家庭陽性樣本全部檢測出來的概率；（2）若，分別求該社區(qū)選擇上述三種檢測方式，對其中850戶4口之家進(jìn)行核酸檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，你建議選擇哪種檢測方式較好，請簡述其實(shí)際意義（不要求證明）．（附：，，．）12（2021·江西南昌·高三三模（文））“自媒體”是指普通大眾通過網(wǎng)絡(luò)等途徑向外發(fā)布他們本身的事實(shí)和新聞的傳播方式某“自媒體”作者2020年度在“自媒體”平臺A上發(fā)布了200條事實(shí)和新聞，現(xiàn)對其點(diǎn)擊量進(jìn)行統(tǒng)計，如表格所示：點(diǎn)擊量（萬次）條數(shù)201006020（Ⅰ）現(xiàn)從這200條事實(shí)和新聞中采用分層抽樣的方式選出10條，求點(diǎn)擊量超過50萬次的條數(shù)；（Ⅱ）為了鼓勵作者，平臺A在2021年針對每條事實(shí)和新聞推出如下獎勵措施：點(diǎn)擊量（萬次）獎金（元）02005001000若該作者在2021年5月份發(fā)布了20條事實(shí)和新聞，請估計其可以獲得的獎金數(shù)．13．（2021·全國高三月考（理））核酸檢測也就是病毒DNA和RNA的檢測，是目前病毒檢測最先進(jìn)的檢驗(yàn)方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝、丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無病原體感染.某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測效率降低檢測成本，設(shè)計了如下試驗(yàn)，預(yù)備12份試驗(yàn)用血液標(biāo)本，其中2份陽性，10份陰性，從標(biāo)本中隨機(jī)取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰性，不再逐一檢測；若結(jié)果為陽性，需對該組標(biāo)本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果.若每次檢測費(fèi)用為元，記檢測的總費(fèi)用為元.（1）當(dāng)時，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）（?。┍容^與兩種方案哪一個更好，說明理由；（ⅱ）試猜想100份標(biāo)本中有2份陽性，98份陰性時，和兩種方案哪一個更好（只需給出結(jié)論不必證明）.14．（2021·北京房山·高三二模）為了提高中小學(xué)生的身體素質(zhì)，某地區(qū)開展了中小學(xué)生跳繩比賽系列活動，活動結(jié)束后，利用簡單隨機(jī)抽樣的方法，抽取了部分學(xué)生的成績，按照不同年齡段公組記錄如下表：組別男生女生合格不合格合格不合格第一組90108020第二組88127228第三組60405842第四組80206238第五組82187822合計400100350150假設(shè)每個中小學(xué)生跳繩成績是否合格相互獨(dú)立.（1）從樣本中的中小學(xué)生隨機(jī)抽取1人，求該同學(xué)跳繩成績合格的概率；（2）從該地區(qū)眾多中小學(xué)的男生?女生中各隨機(jī)抽取1人，記這2人中恰有X人跳繩成績合格，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績合格的概率與表格中該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績合格的頻率相等，用“”表示第k組同學(xué)跳繩成績合格，“”表示第k組同學(xué)跳繩成績不合格()，試確定方差中哪個最大？哪個最??？(只需寫出結(jié)論).15．（2021·黑龍江大慶·鐵人中學(xué)（理））甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4．甲、乙約定比賽當(dāng)天上午進(jìn)行3局熱身訓(xùn)練，下午進(jìn)行正式比賽．（1）上午的3局熱身訓(xùn)練中，求甲恰好勝2局的概率；（2）下午的正式比賽中：①若采用“3局2勝制”，求甲所勝局?jǐn)?shù)x的分布列與數(shù)學(xué)期望；②分別求采用“3局2勝制”與“5局3勝制”時，甲獲勝的概率；對甲而言，哪種局制更有利？你對局制長短的設(shè)置有何認(rèn)識？16．（2021·全國高三專題練習(xí)）城市大氣中總懸浮顆粒物(簡稱TSP)是影響城市空氣質(zhì)量的首要污染物，我國的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，TSP日平均濃度(單位：)在時為一級水平，在時為二級水平.為打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)，有效管控和治理那些會加重TSP日平均濃度的揚(yáng)塵污染刻不容緩.揚(yáng)塵監(jiān)測儀與智能霧化噴淋降塵系統(tǒng)為城市建筑工地的有效抑塵提供了技術(shù)支持.某建筑工地現(xiàn)新配置了智能霧化噴淋降塵系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了依據(jù)揚(yáng)塵監(jiān)測儀的TSP日平均濃度進(jìn)行